№13630

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Точка \(А\) лежит на графике функции \(y=\frac{1}{8}(x^{2}-12x)\), а точка \(B\) - на кривой \(x^{2}+y^{2}-18x-12y+97=0\). Чему равно наименьшее значение длины отрезка \(АB\)?

Ответ

\frac{\sqrt{5}}{2}

Решение № 13628:

Для нахождения наименьшего значения длины отрезка \( AB \), где точка \( A \) лежит на графике функции \( y = \frac{1}{8}(x^2 - 12x) \), а точка \( B \) — на кривой \( x^2 + y^2 - 18x - 12y + 97 = 0 \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Определить геометрическую форму кривой \( B \)**: \[ x^2 + y^2 - 18x - 12y + 97 = 0 \] 2. **Завершить квадраты для упрощения уравнения**: \[ x^2 - 18x + y^2 - 12y + 97 = 0 \] \[ (x^2 - 18x + 81) + (y^2 - 12y + 36) = 97 - 81 - 36 \] \[ (x - 9)^2 + (y - 6)^2 = 16 \] 3. **Интерпретировать уравнение как уравнение окружности**: \[ (x - 9)^2 + (y - 6)^2 = 4^2 \] Это уравнение окружности с центром в точке \( (9, 6) \) и радиусом \( 4 \). 4. **Выразить функцию \( y \) через \( x \)**: \[ y = \frac{1}{8}(x^2 - 12x) \] 5. **Найти точку на параболе, ближайшую к центру окружности \( (9, 6) \)**: Найти производную функции \( y \): \[ y' = \frac{1}{8}(2x - 12) = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2} \] 6. **Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \)**: \[ \frac{1}{4}x - \frac{3}{2} = 0 \] \[ \frac{1}{4}x = \frac{3}{2} \] \[ x = 6 \] 7. **Найти координаты точки \( A \) на параболе при \( x = 6 \)**: \[ y = \frac{1}{8}(6^2 - 12 \cdot 6) = \frac{1}{8}(36 - 72) = \frac{1}{8}(-36) = -4.5 \] Точка \( A \) имеет координаты \( (6, -4.5) \). 8. **Найти расстояние от точки \( A \) до центра окружности \( (9, 6) \)**: \[ \text{Расстояние} = \sqrt{(9 - 6)^2 + (6 + 4.5)^2} = \sqrt{3^2 + 10.5^2} = \sqrt{9 + 110.25} = \sqrt{119.25} \] 9. **Вычесть радиус окружности \( 4 \) из найденного расстояния**: \[ \text{Наименьшее расстояние} = \sqrt{119.25} - 4 \] 10. **Упростить выражение**: \[ \sqrt{119.25} \approx 10.92 \] \[ \text{Наименьшее расстояние} \approx 10.92 - 4 = 6.92 \] Ответ: <br> Наименьшее значение длины отрезка \( AB \): \( \approx 6.92 \)