№13617

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Число 18 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей

Ответ

{9;9}

Решение № 13615:

Для решения задачи представления числа 18 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Запишем число 18 как сумму двух положительных чисел \( a \) и \( b \): \[ a + b = 18 \] </li> <li> Нам нужно минимизировать сумму квадратов этих чисел: \[ a^2 + b^2 \] </li> <li> Используем метод Лагранжа для нахождения минимума функции \( f(a, b) = a^2 + b^2 \) при условии \( g(a, b) = a + b - 18 = 0 \). </li> <li> Составим функцию Лагранжа: \[ L(a, b, \lambda) = a^2 + b^2 + \lambda (a + b - 18) \] </li> <li> Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю: \[ \frac{\partial L}{\partial a} = 2a + \lambda = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial b} = 2b + \lambda = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = a + b - 18 = 0 \] </li> <li> Из первых двух уравнений: \[ 2a + \lambda = 0 \implies \lambda = -2a \] \[ 2b + \lambda = 0 \implies \lambda = -2b \] </li> <li> Из равенства \( \lambda = -2a \) и \( \lambda = -2b \) следует, что: \[ -2a = -2b \implies a = b \] </li> <li> Подставим \( a = b \) в уравнение \( a + b = 18 \): \[ a + a = 18 \implies 2a = 18 \implies a = 9 \] \[ b = 9 \] </li> <li> Таким образом, число 18 можно представить в виде суммы двух чисел \( a = 9 \) и \( b = 9 \), и сумма их квадратов будет: \[ a^2 + b^2 = 9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162 \] </li> </ol> Ответ: <br> Число 18 можно представить в виде суммы двух чисел \( 9 \) и \( 9 \), при этом сумма их квадратов будет минимальной и равна \( 162 \).