№3441

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Число 26 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, если известно, что второе слагаемое больше первого в 3 раза

Ответ

{4;10;12}

Решение № 3441:

Для решения задачи представления числа 26 в виде суммы трех положительных слагаемых \(a\), \(b\) и \(c\), таких что \(a + b + c = 26\) и \(b = 3a\), и при этом сумма их квадратов \(a^2 + b^2 + c^2\) была наименьшей, выполним следующие шаги: <ol> <li> Запишем условия задачи: </li> \[ a + b + c = 26 \] \[ b = 3a \] </li> <li> Подставим \(b = 3a\) в первое уравнение: </li> \[ a + 3a + c = 26 \] \[ 4a + c = 26 \] </li> <li> Выразим \(c\) через \(a\): </li> \[ c = 26 - 4a \] </li> <li> Теперь выразим сумму квадратов \(a^2 + b^2 + c^2\): </li> \[ a^2 + (3a)^2 + (26 - 4a)^2 \] \[ a^2 + 9a^2 + (26 - 4a)^2 \] \[ a^2 + 9a^2 + (676 - 208a + 16a^2) \] \[ a^2 + 9a^2 + 676 - 208a + 16a^2 \] \[ 26a^2 - 208a + 676 \] </li> <li> Найдем минимум функции \(f(a) = 26a^2 - 208a + 676\). Для этого найдем её производную и приравняем её к нулю: </li> \[ f'(a) = 52a - 208 \] \[ 52a - 208 = 0 \] \[ 52a = 208 \] \[ a = 4 \] </li> <li> Подставим \(a = 4\) в уравнения для \(b\) и \(c\): </li> \[ b = 3a = 3 \cdot 4 = 12 \] \[ c = 26 - 4a = 26 - 4 \cdot 4 = 26 - 16 = 10 \] </li> <li> Проверим, что сумма \(a + b + c = 26\): </li> \[ 4 + 12 + 10 = 26 \] </li> <li> Вычислим сумму квадратов: </li> \[ a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 + 12^2 + 10^2 \] \[ = 16 + 144 + 100 \] \[ = 260 \] </li> </ol> Ответ: <br> Слагаемые: \(a = 4\), \(b = 12\), \(c = 10\) <br> Наименьшая сумма квадратов: \(260\)