Задача №3461

№3461

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

На координатной плоскости рассматривается прямоугольник \(ABCD\), у которого сторона \(AB\) лежит на оси координат, вершина \(C\) на параболе \(y=x^{2}-4x+3\), а вершина \(D\) - на параболе \(y=-x^{2}+2x-2\). При этом абсцисса вершины \(D\) принадлежит отрезку \(\left [ \frac{4}{5};\frac{3}{2} \right ]\). Какое значение должна иметь абсцисса вершины \(D\), чтобы площадь прямоугольника \(ABCD\) была наименьшей?

Ответ

0.8

Решение № 3461:

Для решения задачи о нахождении абсциссы вершины \(D\) прямоугольника \(ABCD\), чтобы его площадь была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить координаты вершин прямоугольника: </li> <ul> <li> Вершина \(A\) имеет координаты \((a, 0)\), где \(a\) — абсцисса точки \(A\). </li> <li> Вершина \(B\) имеет координаты \((b, 0)\), где \(b\) — абсцисса точки \(B\). </li> <li> Вершина \(C\) имеет координаты \((b, b^2 - 4b + 3)\), так как она лежит на параболе \(y = x^2 - 4x + 3\). </li> <li> Вершина \(D\) имеет координаты \((a, -a^2 + 2a - 2)\), так как она лежит на параболе \(y = -x^2 + 2x - 2\). </li> </ul> </li> <li> Выразить длины сторон прямоугольника: </li> <ul> <li> Длина стороны \(AB\) равна \(b - a\). </li> <li> Длина стороны \(AD\) равна \(|-a^2 + 2a - 2|\). </li> </ul> </li> <li> Выразить площадь прямоугольника \(ABCD\): </li> \[ S = (b - a) \cdot |-a^2 + 2a - 2| \] </li> <li> Учитывая, что \(b = a + \Delta x\), где \(\Delta x = b - a\), и \(a\) принадлежит отрезку \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\), найдем минимум площади: </li> <ul> <li> Площадь прямоугольника \(S\) можно выразить как: </li> \[ S = \Delta x \cdot |-a^2 + 2a - 2| \] </li> <li> Минимизировать выражение \(|-a^2 + 2a - 2|\): </li> <ul> <li> Найдем производную функции \(f(a) = -a^2 + 2a - 2\): </li> \[ f'(a) = -2a + 2 \] </li> <li> Найдем критические точки, решив уравнение \(f'(a) = 0\): </li> \[ -2a + 2 = 0 \implies a = 1 \] </li> <li> Проверим, попадает ли \(a = 1\) в отрезок \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\): </li> <ul> <li> \(1\) не попадает в отрезок \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\), поэтому рассмотрим значения на концах отрезка. </li> </ul> </li> <li> Вычислим значения функции \(|-a^2 + 2a - 2|\) на концах отрезка: </li> <ul> <li> Для \(a = \frac{4}{5}\): </li> \[ |-(\frac{4}{5})^2 + 2 \cdot \frac{4}{5} - 2| = |-\frac{16}{25} + \frac{8}{5} - 2| = |-\frac{16}{25} + \frac{40}{25} - \frac{50}{25}| = |\frac{-26}{25}| = \frac{26}{25} \] </li> <li> Для \(a = \frac{3}{2}\): </li> \[ |-(\frac{3}{2})^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} - 2| = |-\frac{9}{4} + 3 - 2| = |-\frac{9}{4} + \frac{12}{4} - \frac{8}{4}| = |\frac{-5}{4}| = \frac{5}{4} \] </li> </ul> </li> <li> Сравнить значения: </li> <ul> <li> \(\frac{26}{25} \approx 1.04\) </li> <li> \(\frac{5}{4} = 1.25\) </li> </ul> </li> <li> Минимальное значение достигается при \(a = \frac{4}{5}\). </li> </li> </ol> Ответ: <br> Абсцисса вершины \(D\), чтобы площадь прямоугольника \(ABCD\) была наименьшей: \(a = \frac{4}{5}\).

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (1)

Давлат Журакулов, Ученик

Коментарий оставлен: 2023-04-19 08:11:48.655905

А решения нету?