№13614

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Представить число 18 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного куба одного из них и удевятеренного квадрата другого была наименьшей

Ответ

{6;12}

Решение № 13612:

Для представления числа 18 в виде суммы двух положительных слагаемых \( x \) и \( y \) так, чтобы сумма удвоенного куба одного из них и удевятеренного квадрата другого была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать условие задачи в виде уравнения: \[ x + y = 18 \] </li> <li> Записать выражение для минимизации: \[ S = 2x^3 + 9y^2 \] </li> <li> Выразить \( y \) через \( x \) из первого уравнения: \[ y = 18 - x \] </li> <li> Подставить \( y \) в выражение для \( S \): \[ S = 2x^3 + 9(18 - x)^2 \] </li> <li> Раскрыть скобки и упростить выражение: \[ S = 2x^3 + 9(324 - 36x + x^2) = 2x^3 + 2916 - 324x + 9x^2 \] </li> <li> Найти производную \( S \) по \( x \): \[ S' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 - 324x + 2916) = 6x^2 + 18x - 324 \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( S' = 0 \): \[ 6x^2 + 18x - 324 = 0 \] </li> <li> Упростить уравнение: \[ x^2 + 3x - 54 = 0 \] </li> <li> Решить квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2} \] </li> <li> Получить два корня: \[ x_1 = \frac{-3 + 15}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 15}{2} = -9 \] </li> <li> Поскольку \( x \) и \( y \) должны быть положительными, отбросить отрицательное значение \( x = -9 \): \[ x = 6 \] </li> <li> Найти соответствующее значение \( y \): \[ y = 18 - x = 18 - 6 = 12 \] </li> <li> Проверить, что сумма удвоенного куба \( x \) и удевятеренного квадрата \( y \) минимальна: \[ S = 2(6)^3 + 9(12)^2 = 2 \cdot 216 + 9 \cdot 144 = 432 + 1296 = 1728 \] </li> </ol> Ответ: <br> Число 18 можно представить в виде суммы двух положительных слагаемых \( x = 6 \) и \( y = 12 \), чтобы сумма удвоенного куба одного из них и удевятеренного квадрата другого была наименьшей.