№940

Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Арифметика, Дробные числа, Текстовые задачи, Задачи «на части» и «на уравнивание», Текстовые арифметические задачи с использованием дробей, Задачи на совместную работу,

Задача в следующих классах: 5 класс 6 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из двух диаметрально противоположных точек круговой беговой дорожки одновременно в одном направлении стартовали два спортсмена. Первый пробегает полный круг за 15 мин, а второй – за 20 мин. Через какое время после старта они встретятся первый раз? В четвертый раз? Сформулируйте и решите задачу в случае движения в противоположных направлениях.

Ответ

60

Решение № 940:

Для решения задачи о встрече двух спортсменов на круговой беговой дорожке выполним следующие шаги: ### Встреча при движении в одном направлении <ol> <li>Обозначим длину круга как \(L\).</li> <li>Скорость первого спортсмена: \[ v_1 = \frac{L}{15 \text{ мин}} \] </li> <li>Скорость второго спортсмена: \[ v_2 = \frac{L}{20 \text{ мин}} \] </li> <li>Встреча произойдет, когда суммарное расстояние, пройденное обоими спортсменами, будет равно \(L\). Пусть \(t\) — время до первой встречи. Тогда: \[ v_1 t + v_2 t = L \] </li> <li>Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t + \frac{L}{20} t = L \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) t = 1 \] </li> <li>Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ \frac{7}{60} t = 1 \implies t = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ мин} \] </li> </ol> Таким образом, первая встреча произойдет примерно через 8.57 минут. ### Встреча при движении в противоположных направлениях <ol> <li>Обозначим длину круга как \(L\).</li> <li>Скорость первого спортсмена: \[ v_1 = \frac{L}{15 \text{ мин}} \] </li> <li>Скорость второго спортсмена: \[ v_2 = \frac{L}{20 \text{ мин}} \] </li> <li>Встреча произойдет, когда разность расстояний, пройденных обоими спортсменами, будет равна \(L\). Пусть \(t\) — время до первой встречи. Тогда: \[ v_1 t - v_2 t = L \] </li> <li>Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t - \frac{L}{20} t = L \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{20}\right) t = 1 \] </li> <li>Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ \frac{1}{60} t = 1 \implies t = 60 \text{ мин} \] </li> </ol> Таким образом, первая встреча произойдет через 60 минут. ### Встреча в четвертый раз при движении в одном направлении <ol> <li>Пусть \(t_4\) — время до четвертой встречи.</li> <li>Четвертая встреча произойдет, когда суммарное расстояние, пройденное обоими спортсменами, будет равно \(4L\). Тогда: \[ v_1 t_4 + v_2 t_4 = 4L \] </li> <li>Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t_4 + \frac{L}{20} t_4 = 4L \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) t_4 = 4 \] </li> <li>Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{7}{60} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ \frac{7}{60} t_4 = 4 \implies t_4 = \frac{4 \times 60}{7} \approx 34.29 \text{ мин} \] </li> </ol> Таким образом, четвертая встреча произойдет примерно через 34.29 минут. ### Встреча в четвертый раз при движении в противоположных направлениях <ol> <li>Пусть \(t_4\) — время до четвертой встречи.</li> <li>Четвертая встреча произойдет, когда разность расстояний, пройденных обоими спортсменами, будет равна \(4L\). Тогда: \[ v_1 t_4 - v_2 t_4 = 4L \] </li> <li>Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t_4 - \frac{L}{20} t_4 = 4L \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{20}\right) t_4 = 4 \] </li> <li>Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{1}{60} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ \frac{1}{60} t_4 = 4 \implies t_4 = 4 \times 60 = 240 \text{ мин} \] </li> </ol> Таким образом, четвертая встреча произойдет через 240 минут.