Решение №936: Для решения задачи, в которой два рабочих одинаковой квалификации выполняют заказ, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность одного рабочего. \[ \text{Один рабочий выполняет заказ за 12 часов.} \]
2. Найдем долю заказа, выполненную одним рабочим за 1 час. \[ \text{Доля заказа, выполненная одним рабочим за 1 час} = \frac{1}{12} \]
3. Определим, сколько работы выполнил первый рабочий за первые 4 часа. \[ \text{За 4 часа первый рабочий выполнил} = 4 \times \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
4. Оставшаяся часть заказа после первых 4 часов. \[ \text{Оставшаяся часть заказа} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
5. Определим совместную производительность двух рабочих. \[ \text{Совместная производительность двух рабочих} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
6. Найдем время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. \[ \text{Оставшаяся часть заказа} = \frac{2}{3} \] \[ \text{Время для выполнения оставшейся части} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \text{ часа} \]
7. Общее время выполнения заказа. \[ \text{Общее время} = 4 \text{ часа (первый рабочий)} + 4 \text{ часа (оба рабочих)} = 8 \text{ часов} \]

Ответ: 8

Решение №940: Для решения задачи о встрече двух спортсменов на круговой беговой дорожке выполним следующие шаги: ### Встреча при движении в одном направлении

1. Обозначим длину круга как \(L\).
2. Скорость первого спортсмена: \[ v_1 = \frac{L}{15 \text{ мин}} \]
3. Скорость второго спортсмена: \[ v_2 = \frac{L}{20 \text{ мин}} \]
4. Встреча произойдет, когда суммарное расстояние, пройденное обоими спортсменами, будет равно \(L\). Пусть \(t\) — время до первой встречи. Тогда: \[ v_1 t + v_2 t = L \]
5. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t + \frac{L}{20} t = L \]
6. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) t = 1 \]
7. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60} \]
8. Решим уравнение: \[ \frac{7}{60} t = 1 \implies t = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ мин} \]

1. Обозначим длину круга как \(L\).
2. Скорость первого спортсмена: \[ v_1 = \frac{L}{15 \text{ мин}} \]
3. Скорость второго спортсмена: \[ v_2 = \frac{L}{20 \text{ мин}} \]
4. Встреча произойдет, когда разность расстояний, пройденных обоими спортсменами, будет равна \(L\). Пусть \(t\) — время до первой встречи. Тогда: \[ v_1 t - v_2 t = L \]
5. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t - \frac{L}{20} t = L \]
6. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{20}\right) t = 1 \]
7. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60} \]
8. Решим уравнение: \[ \frac{1}{60} t = 1 \implies t = 60 \text{ мин} \]

1. Пусть \(t_4\) — время до четвертой встречи.
2. Четвертая встреча произойдет, когда суммарное расстояние, пройденное обоими спортсменами, будет равно \(4L\). Тогда: \[ v_1 t_4 + v_2 t_4 = 4L \]
3. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t_4 + \frac{L}{20} t_4 = 4L \]
4. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) t_4 = 4 \]
5. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{7}{60} \]
6. Решим уравнение: \[ \frac{7}{60} t_4 = 4 \implies t_4 = \frac{4 \times 60}{7} \approx 34.29 \text{ мин} \]

1. Пусть \(t_4\) — время до четвертой встречи.
2. Четвертая встреча произойдет, когда разность расстояний, пройденных обоими спортсменами, будет равна \(4L\). Тогда: \[ v_1 t_4 - v_2 t_4 = 4L \]
3. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t_4 - \frac{L}{20} t_4 = 4L \]
4. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{20}\right) t_4 = 4 \]
5. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{1}{60} \]
6. Решим уравнение: \[ \frac{1}{60} t_4 = 4 \implies t_4 = 4 \times 60 = 240 \text{ мин} \]

Ответ: 60

Решение №2610: Пусть по плану токарь должен был обрабатывать \(x \) деталей в час, а фактически обрабатывал \( x+20 \) в час. Работу закончил на 1 час раньше, отсюда:\( \frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1 \frac{120(x+20)-120x-x(x+20)}{x(x+20)}=0 \frac{120x+2400-120x-x^{2}-20x}{x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+2400=0 x(x+20)\neq 0 D=(-20)^{2}-4*(-1)*2400=400+9600=10000=100^{2} x_{1}=\frac{20-100}{-2}=40 x_{2}=\frac{20+100}{-2}=-60 \).

Ответ: 40 деталей

Решение №2611: Пусть по плану бригада должна была изготовить \( x \) деталей, фактически \( x+2\) детали. Должна изготовить 120 деталей и закончила работа на 3 дня раньше срока. Составляем уравнение: \( \frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}=3 \frac{120(x+2)-120x-3x(x+2)}{x(x+2)}=0 \frac{120x+240-120x-3x^{2}-6x}{x(x+2)}=0 -3x^{2}-6x+240=0 x(x+2)\neq 0 -x^{2}-2x+80=0 D=(-2)^{2}-4*(-1)*80=4+320=324=18^{2} x_{1}=\frac{2-18}{-2}=8 x_{2}=\frac{2+18}{-2}=-10 \).

Ответ: 8 деталей.

Решение №2612: Пусть с первого поля \( x \)т с 1 га,а со второго \( x+10 \). С первого поля убрали 550т, а со второго 540 т, общая 20 га. Составляем уравнение: \( \frac{550}{x}+\frac{540}{x+10}=20 \frac{550(x+10)+540x-20(x+10x)}{x(x+10)}=0 \frac{-20x^{2}+200x+550x+5500+540x}{x(x+10)}=0 -20x^{2}+89+550=0 x(x+10)\neq 0 -2x^{2}+89x+550=0 D=89^{2}-4*(-2)*550=4921+4400=12321=111^{2} x_{1}=\frac{-89-111}{-4}=50 x_{2}=\frac{-89+111}{-4}=-5,5 x=50, 50+10=60 \).

Ответ: 50 т, 60 т.

Решение №4806: Для решения задачи определим, за какое время один Петя вскапывает грядку. Обозначим время, за которое Петя вскапывает грядку, как \( t \) минут.

1. Пусть \( t \) — время, за которое Петя вскапывает грядку.
2. Определим производительность Коли и Пети:
   • Коля вскапывает грядку за 15 минут, значит, его производительность \( \frac{1}{15} \) грядки в минуту.
   • Коля и Петя вместе вскапывают грядку за 10 минут, значит, их совместная производительность \( \frac{1}{10} \) грядки в минуту.
3. Запишем уравнение для совместной производительности: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{t} = \frac{1}{10} \]
4. Решим уравнение для нахождения \( t \): \[ \frac{1}{t} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} \]
5. Найдем общий знаменатель для дробей: \[ \frac{1}{10} = \frac{3}{30}, \quad \frac{1}{15} = \frac{2}{30} \]
6. Вычтем дроби: \[ \frac{1}{t} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30} \]
7. Возьмем обратное значение: \[ t = 30 \]

Ответ: 30

Решение №4815: Для решения задачи о том, за какое время Аня, Настя и Маша вымоют окно, работая втроем, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность каждой пары девочек в минуту:
   • Аня и Настя: \(\frac{1}{12}\) окна в минуту.
   • Настя и Маша: \(\frac{1}{15}\) окна в минуту.
   • Аня и Маша: \(\frac{1}{20}\) окна в минуту.
2. Выразим суммарную производительность всех трех девочек. Для этого сложим производительности всех пар и разделим на 2 (так как каждая девочка входит в две пары): \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \] Разделим на 2: \[ \frac{1}{5} \div 2 = \frac{1}{10} \]
3. Найдем время, за которое все три девочки вымоют окно, работая вместе. Поскольку их суммарная производительность равна \(\frac{1}{10}\) окна в минуту, то время выполнения работы будет: \[ \text{Время} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 \text{ минут} \]

Ответ: 10

Решение №6482: Пусть мастерская должна по плану выпускать \( x \) пар обуви, фактически выпускала на 30 пар больше, т.е. \(x+30 \) пар. По плану заказ должен был быть выполнен за \( \frac{5400}{x} \) дней, а фактически за \( \frac{5400}{x+30} \) дней и это на 9 дней раньше срока, отсюда \( \frac{5400}{x}-\frac{5400}{x+30}=9 \frac{5400(x+30)-5400x-9x(x+30)}{x(x+30)}=0 \frac{5400x+162000-5400x-9x^{2}-270x}{x(x+30)}=0 -9x^{2}-270x+162000=0 | :(-9) x(x+30)\neq 0 x^{2}+30x-18000=0 D=30^{2}-4*1*(-18000)=900+72000=72900=270^{2} x_{1}=\frac{-30-270}{2}=\frac{-300}{2}=-150 x_{2}=\frac{-30+270}{2}=\frac{240}{2}=120\) - пар в день по плану. \(\frac{5400}{120+30}=\frac{5400}{150}=36 \) дней.

Ответ: 36 дней

Решение №6486: Пусть набор студентов увеличивался на \( \frac{x}{100} \) %, в первый год приняли \( 2000+2000*\frac{x}{100} \) студентов, второй год \( (2000+20x)+(2000+20x)*\frac{x}{100} \) и набор стал 2880. Составляем уравнение: \( (2000+22x)+(2000+20x)*\frac{x}{10}=2880 20x+20x+\frac{x^{2}}{5}=2880-2000 \frac{x^{2}}{5}+40x-880=0 x^{2}+200x-4400=0 2k=200, k=100 x_{1,2}=-k\pm \sqrt{k^{2}-c}=-100\pm \sqrt{10000+4400}=-100\pm \sqrt{14400}=-100\pm 120 x_{1}=-100-120=-220 x_{2}=-100+120=20 \).

Ответ: на 20 %

Решение №9514: Для решения задачи о том, как скоро лев, волк и пёс съедят одну овцу вместе, выполним следующие шаги:

1. Определим скорость, с которой каждое животное съедает овцу:
   • Лев съедает овцу за 2 часа, значит, его скорость \( \frac{1}{2} \) овцы в час.
   • Волк съедает овцу за 3 часа, значит, его скорость \( \frac{1}{3} \) овцы в час.
   • Пёс съедает овцу за 6 часов, значит, его скорость \( \frac{1}{6} \) овцы в час.
2. Сложим скорости всех животных, чтобы найти общую скорость, с которой они съедают овцу вместе: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \]
3. Найдём общий знаменатель и сложим дроби: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
4. Интерпретируем результат:
   • Общая скорость равна 1 овце в час, что означает, что все животные вместе съедят одну овцу за 1 час.

Ответ: 60

Решение №9516: Для решения задачи о том, за сколько минут одна Маша пропалывает грядку, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность Маши и Оли вместе. Они пропалывают грядку за 12 минут. Пусть производительность Маши \(M\) грядок в минуту, а производительность Оли \(O\) грядок в минуту. Тогда их совместная производительность равна: \[ M + O = \frac{1}{12} \]
2. Определим производительность Оли. Она пропалывает грядку за 15 минут, следовательно, её производительность: \[ O = \frac{1}{15} \]
3. Подставим производительность Оли в уравнение для совместной производительности: \[ M + \frac{1}{15} = \frac{1}{12} \]
4. Решим уравнение для \(M\). Вычтем \(O\) из обеих частей уравнения: \[ M = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} \]
5. Найдём общий знаменатель для дробей \(\frac{1}{12}\) и \(\frac{1}{15}\). Общий знаменатель равен 60: \[ M = \frac{5}{60} - \frac{4}{60} = \frac{1}{60} \]
6. Таким образом, производительность Маши \(M = \frac{1}{60}\) грядок в минуту. Это означает, что Маша пропалывает одну грядку за 60 минут.

Ответ: 60

Решение №9517: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим производительность одного рабочего. Поскольку один рабочий может выполнить заказ за 8 часов, его производительность составляет: \[ \text{Производительность одного рабочего} = \frac{1}{8} \text{ заказа в час} \]
2. Определим, сколько заказа выполнил первый рабочий за первые два часа: \[ \text{Выполнено за 2 часа} = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \text{ заказа} \]
3. Определим, сколько заказа осталось выполнить после первых двух часов: \[ \text{Осталось выполнить} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \text{ заказа} \]
4. Определим общую производительность двух рабочих вместе: \[ \text{Производительность двух рабочих} = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \text{ заказа в час} \]
5. Определим время, за которое два рабочих вместе выполнят оставшуюся часть заказа: \[ \text{Время для оставшейся части} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3 \text{ часа} \]
6. Сложим время, за которое первый рабочий работал один, и время, за которое оба рабочих работали вместе: \[ \text{Общее время выполнения заказа} = 2 + 3 = 5 \text{ часов} \]

Ответ: 5

Решение №9521: Для решения задачи о встрече двух мотоциклистов, движущихся по круговой трассе, выполним следующие шаги: ### Встреча в одном направлении

1. Определим скорости мотоциклистов:
   • Первый мотоциклист проезжает полный круг за 18 минут, значит его скорость \( v_1 = \frac{1}{18} \) круга в минуту.
   • Второй мотоциклист проезжает полный круг за 45 минут, значит его скорость \( v_2 = \frac{1}{45} \) круга в минуту.
2. Вычислим разницу в скоростях мотоциклистов: \[ v_{\text{разница}} = v_1 - v_2 = \frac{1}{18} - \frac{1}{45} \]
3. Приведем дроби к общему знаменателю и вычтем: \[ v_{\text{разница}} = \frac{5}{90} - \frac{2}{90} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \] Таким образом, разница в скоростях составляет \( \frac{1}{30} \) круга в минуту.
4. Вычислим время первой встречи: \[ t_1 = \frac{1}{v_{\text{разница}}} = \frac{1}{\frac{1}{30}} = 30 \text{ минут} \]
5. Вычислим время третьей встречи: \[ t_3 = 3 \cdot t_1 = 3 \cdot 30 = 90 \text{ минут} \]

1. Определим суммарную скорость мотоциклистов: \[ v_{\text{сумма}} = v_1 + v_2 = \frac{1}{18} + \frac{1}{45} \]
2. Приведем дроби к общему знаменателю и сложим: \[ v_{\text{сумма}} = \frac{5}{90} + \frac{2}{90} = \frac{7}{90} \] Таким образом, суммарная скорость составляет \( \frac{7}{90} \) круга в минуту.
3. Вычислим время первой встречи: \[ t_1 = \frac{1}{v_{\text{сумма}}} = \frac{1}{\frac{7}{90}} = \frac{90}{7} \approx 12.86 \text{ минут} \]
4. Вычислим время третьей встречи: \[ t_3 = 3 \cdot t_1 = 3 \cdot \frac{90}{7} = \frac{270}{7} \approx 38.57 \text{ минут} \]

Ответ: 30

Решение №11099: Для решения задачи о времени наполнения бассейна через одну третью трубу выполним следующие шаги:

1. Обозначим производительности труб:
   • Производительность первой трубы: \(\frac{1}{10}\) бассейна в час.
   • Производительность второй трубы: \(\frac{1}{15}\) бассейна в час.
   • Производительность третьей трубы: \(T\) бассейна в час.
2. Суммарная производительность всех трех труб: \[ \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + T = \frac{1}{4} \]
3. Найдем общий знаменатель для дробей \(\frac{1}{10}\) и \(\frac{1}{15}\): \[ \frac{1}{10} = \frac{3}{30}, \quad \frac{1}{15} = \frac{2}{30} \]
4. Подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{3}{30} + \frac{2}{30} + T = \frac{1}{4} \]
5. Упростим левую часть уравнения: \[ \frac{5}{30} + T = \frac{1}{4} \]
6. Приведем \(\frac{1}{4}\) к общему знаменателю: \[ \frac{1}{4} = \frac{7.5}{30} \]
7. Решим уравнение: \[ \frac{5}{30} + T = \frac{7.5}{30} \] \[ T = \frac{7.5}{30} - \frac{5}{30} \] \[ T = \frac{2.5}{30} \] \[ T = \frac{1}{12} \]
8. Таким образом, производительность третьей трубы: \[ T = \frac{1}{12} \text{ бассейна в час} \]
9. Время наполнения бассейна через одну третью трубу: \[ \text{Время} = \frac{1}{T} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12 \text{ часов} \]

Ответ: 12

Решение №11100: Для решения задачи о времени, за которое бассейн может наполниться через одну третью трубу, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Бассейн наполняется за 4 часа при одновременном включении трех труб.
   • Первая труба наполняет бассейн за 9 часов.
   • Вторая труба наполняет бассейн за 12 часов.
2. Обозначим производительность труб:
   • Пусть \(P_1\) — производительность первой трубы, \(P_2\) — производительность второй трубы, \(P_3\) — производительность третьей трубы.
   • Пусть \(P\) — суммарная производительность всех трех труб.
3. Выразим производительность труб через время:
   • \(P_1 = \frac{1}{9}\) (часть бассейна в час).
   • \(P_2 = \frac{1}{12}\) (часть бассейна в час).
   • \(P = \frac{1}{4}\) (часть бассейна в час).
4. Выразим суммарную производительность всех трех труб: \[ P = P_1 + P_2 + P_3 \] Подставим известные значения: \[ \frac{1}{4} = \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + P_3 \]
5. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{1}{4} = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} + P_3 \] \[ \frac{1}{4} = \frac{7}{36} + P_3 \]
6. Решим уравнение для \(P_3\): \[ \frac{1}{4} - \frac{7}{36} = P_3 \] Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{9}{36} - \frac{7}{36} = P_3 \] \[ \frac{2}{36} = P_3 \] \[ P_3 = \frac{1}{18} \]
7. Найдем время, за которое третья труба наполняет бассейн: \[ P_3 = \frac{1}{18} \implies T_3 = 18 \text{ часов} \]

Ответ: 18

Решение №11106: Для решения задачи о том, за какое время мальчики покрасят забор, работая втроем, выполним следующие шаги:

1. Обозначим производительность каждого мальчика: \[ \text{Пусть } V \text{ — производительность Васи}, L \text{ — производительность Левы}, P \text{ — производительность Пети}. \]
2. Запишем уравнения производительности для каждой пары: \[ V + L = \frac{1}{3}, \quad L + P = \frac{1}{6}, \quad P + V = \frac{1}{4} \]
3. Сложим все три уравнения: \[ (V + L) + (L + P) + (P + V) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \]
4. Упростим левую часть уравнения: \[ 2V + 2L + 2P = 2(V + L + P) \]
5. Приведем правую часть к общему знаменателю: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]
6. Разделим обе части уравнения на 2: \[ V + L + P = \frac{3}{8} \]
7. Выразим общее время покраски забора: \[ \text{Общее время} = \frac{1}{V + L + P} = \frac{1}{\frac{3}{8}} = \frac{8}{3} \text{ часа} \]
8. Переведем дробное время в часы и минуты: \[ \frac{8}{3} \text{ часа} = 2 \text{ часа } 40 \text{ минут} \]

Ответ: 160

Решение №17581: Для решения задачи определим, сколько деталей делали в день рабочие. Обозначим количество деталей, которое делал второй рабочий в день, через \( x \). Тогда первый рабочий делал \( x + 2 \) деталей в день.

1. Пусть \( x \) — количество деталей, которое делал второй рабочий в день.
2. Тогда первый рабочий делал \( x + 2 \) деталей в день.
3. Определим количество дней, которое потребовалось каждому рабочему для выполнения своего заказа: \[ \text{Второй рабочий:} \quad \frac{20}{x} \] \[ \text{Первый рабочий:} \quad \frac{36}{x+2} \]
4. По условию задачи, первый рабочий затратил на выполнение своего заказа на 1 день больше, чем второй рабочий: \[ \frac{36}{x+2} = \frac{20}{x} + 1 \]
5. Умножим обе части уравнения на \( x(x+2) \) для избавления от знаменателей: \[ 36x = 20(x+2) + x(x+2) \]
6. Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 36x = 20x + 40 + x^2 + 2x \] \[ 36x = x^2 + 22x + 40 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 22x + 40 - 36x = 0 \] \[ x^2 - 14x + 40 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 14x + 40 = 0 \) методом факторизации: \[ (x - 4)(x - 10) = 0 \]
9. Найдем корни уравнения: \[ x - 4 = 0 \quad \text{или} \quad x - 10 = 0 \] \[ x = 4 \quad \text{или} \quad x = 10 \]
10. Проверим оба решения на соответствие условиям задачи:
    • Если \( x = 4 \): \[ \text{Второй рабочий:} \quad \frac{20}{4} = 5 \text{ дней} \] \[ \text{Первый рабочий:} \quad \frac{36}{4+2} = \frac{36}{6} = 6 \text{ дней} \] Условие задачи выполняется.
    • Если \( x = 10 \): \[ \text{Второй рабочий:} \quad \frac{20}{10} = 2 \text{ дня} \] \[ \text{Первый рабочий:} \quad \frac{36}{10+2} = \frac{36}{12} = 3 \text{ дня} \] Условие задачи также выполняется.
11. Таким образом, возможны два решения:
    • Второй рабочий делал 4 детали в день, а первый — 6 деталей в день.
    • Второй рабочий делал 10 деталей в день, а первый — 12 деталей в день.

Ответ: {2;4}

Решение №17594: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим исходную производительность труда предприятия как \( P \) насосов в месяц.
2. Обозначим количество месяцев, за которое предприятие должно было изготовить 6000 насосов, как \( M \).
3. Таким образом, исходное уравнение: \[ P \cdot M = 6000 \]
4. После увеличения производительности труда предприятие стало изготавливать \( P + 70 \) насосов в месяц.
5. Предприятие перевыполнило задание на 30 насосов и сделало это на 1 месяц раньше, то есть за \( M - 1 \) месяцев.
6. Таким образом, новое уравнение: \[ (P + 70) \cdot (M - 1) = 6030 \]
7. Подставим \( P \cdot M = 6000 \) в новое уравнение: \[ (P + 70) \cdot (M - 1) = 6030 \]
8. Раскроем скобки: \[ P \cdot M - P + 70M - 70 = 6030 \]
9. Подставим \( P \cdot M = 6000 \): \[ 6000 - P + 70M - 70 = 6030 \]
10. Упростим уравнение: \[ 6000 - P + 70M - 70 = 6030 \] \[ -P + 70M = 100 \]
11. Выразим \( P \) из первого уравнения: \[ P = \frac{6000}{M} \]
12. Подставим \( P \) в упрощенное уравнение: \[ -\frac{6000}{M} + 70M = 100 \]
13. Умножим все на \( M \) для избавления от дроби: \[ -6000 + 70M^2 = 100M \]
14. Перенесем все члены на одну сторону: \[ 70M^2 - 100M - 6000 = 0 \]
15. Разделим все на 10 для упрощения: \[ 7M^2 - 10M - 600 = 0 \]
16. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-600) = 100 + 16800 = 16900 \] \[ \sqrt{D} = 130 \]
17. Найдем корни уравнения: \[ M = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 130}{14} \] \[ M_1 = \frac{140}{14} = 10 \] \[ M_2 = \frac{-120}{14} \approx -8.57 \quad (\text{не подходит, так как количество месяцев не может быть отрицательным}) \]
18. Таким образом, \( M = 10 \).
19. Проверим решение: \[ P = \frac{6000}{10} = 600 \] \[ (600 + 70) \cdot (10 - 1) = 670 \cdot 9 = 6030 \]

Ответ: 9

Решение №17601: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим производительность первого рабочего как \(A\) (часть работы в день), а производительность второго рабочего как \(B\) (часть работы в день).
2. Из условия задачи следует, что двое рабочих, работая вместе, выполняют работу за 2 дня. Это означает, что их совместная производительность равна \( \frac{1}{2} \) работы в день: \[ A + B = \frac{1}{2} \]
3. Если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй 1 день, то они вместе выполнили бы \( \frac{5}{6} \) всей работы. Это можно записать следующим образом: \[ 2A + B = \frac{5}{6} \]
4. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} A + B = \frac{1}{2} \\ 2A + B = \frac{5}{6} \end{cases} \]
5. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти \(A\): \[ (2A + B) - (A + B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} \] \[ 2A + B - A - B = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} \] \[ A = \frac{1}{3} \]
6. Подставим \(A = \frac{1}{3}\) в первое уравнение, чтобы найти \(B\): \[ \frac{1}{3} + B = \frac{1}{2} \] \[ B = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \] \[ B = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \] \[ B = \frac{1}{6} \]
7. Теперь мы знаем, что первый рабочий выполняет \( \frac{1}{3} \) работы в день. Чтобы найти, за сколько дней он выполнит всю работу, нужно решить уравнение: \[ \frac{1}{3} \cdot x = 1 \] \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №17602: Для решения задачи о бассейне, который наполняется двумя трубами, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность первой трубы: \[ \text{Производительность первой трубы} = \frac{1}{5} \text{ бассейна в час} \]
2. Определим производительность обеих труб вместе: \[ \text{Производительность двух труб вместе} = \frac{1}{4} \text{ бассейна в час} \]
3. Определим производительность второй трубы: \[ \text{Производительность второй трубы} = \text{Производительность двух труб вместе} - \text{Производительность первой трубы} \] \[ \text{Производительность второй трубы} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \]
4. Найдем общий знаменатель и вычтем дроби: \[ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20} \]
5. Определим время, за которое вторая труба может наполнить бассейн: \[ \text{Время для второй трубы} = \frac{1}{\text{Производительность второй трубы}} \] \[ \text{Время для второй трубы} = \frac{1}{\frac{1}{20}} = 20 \text{ часов} \]

Ответ: 20

Решение №17603: Для решения задачи о том, за сколько дней трактористы вспашут поле, выполним следующие шаги:

1. Определим общее количество работы: площадь поля составляет 240 га.
2. Пусть \( x \) — количество гектаров, вспаханных за 2 дня. Тогда оставшаяся часть поля составляет \( 240 - x \) га.
3. Согласно условию, 80% вспаханной части в 2.5 раза меньше оставшейся части. Запишем это уравнение: \[ 0.8x = \frac{240 - x}{2.5} \]
4. Решим уравнение: \[ 0.8x = \frac{240 - x}{2.5} \] Умножим обе части уравнения на 2.5: \[ 2x = 240 - x \]
5. Перенесем \( x \) в одну сторону уравнения: \[ 2x + x = 240 \] \[ 3x = 240 \]
6. Разделим обе части уравнения на 3: \[ x = 80 \] Таким образом, за 2 дня трактористы вспахали 80 га.
7. Определим производительность трактористов: за 2 дня они вспахали 80 га, значит за 1 день они вспахивают: \[ \frac{80 \text{ га}}{2 \text{ дня}} = 40 \text{ га/день} \]
8. Определим общее количество дней, необходимое для вспашки всего поля: \[ \frac{240 \text{ га}}{40 \text{ га/день}} = 6 \text{ дней} \]

Ответ: 6

Решение №17604: Для решения задачи о двух бригадах, которые должны были закончить работу за 12 дней, выполним следующие шаги:

1. Обозначим общую работу как 1 единицу работы.
2. Пусть \(a\) — количество дней, за которое первая бригада может выполнить всю работу, а \(b\) — количество дней, за которое вторая бригада может выполнить всю работу.
3. Производительность первой бригады равна \(\frac{1}{a}\) единиц работы в день, а производительность второй бригады равна \(\frac{1}{b}\) единиц работы в день.
4. За 12 дней совместной работы обе бригады должны выполнить 1 единицу работы: \[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \cdot 12 = 1 \]
5. За 8 дней совместной работы обе бригады выполнят часть работы: \[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \cdot 8 \]
6. Оставшуюся часть работы вторая бригада выполняет за 7 дней: \[ \frac{1}{b} \cdot 7 \]
7. Сумма этих частей работы должна быть равна 1 единице работы: \[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \cdot 8 + \frac{1}{b} \cdot 7 = 1 \]
8. Упростим уравнение: \[ \frac{8}{a} + \frac{8}{b} + \frac{7}{b} = 1 \]
9. Объединим члены с \(b\) в знаменателе: \[ \frac{8}{a} + \frac{15}{b} = 1 \]
10. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{12}{a} + \frac{12}{b} = 1 \\ \frac{8}{a} + \frac{15}{b} = 1 \end{cases} \]
11. Решим систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого: \[ \left(\frac{12}{a} + \frac{12}{b}\right) - \left(\frac{8}{a} + \frac{15}{b}\right) = 1 - 1 \] \[ \frac{4}{a} - \frac{3}{b} = 0 \]
12. Решим это уравнение: \[ \frac{4}{a} = \frac{3}{b} \] \[ 4b = 3a \] \[ b = \frac{3}{4}a \]
13. Подставим \(b = \frac{3}{4}a\) в первое уравнение: \[ \frac{12}{a} + \frac{12}{\frac{3}{4}a} = 1 \] \[ \frac{12}{a} + \frac{12 \cdot 4}{3a} = 1 \] \[ \frac{12}{a} + \frac{16}{a} = 1 \] \[ \frac{28}{a} = 1 \] \[ a = 28 \]
14. Найдем \(b\): \[ b = \frac{3}{4} \cdot 28 = 21 \]

Ответ: {21;28}

Решение №17605: Для решения задачи о двух рабочих, которые вместе могут выполнить работу за 30 дней, и после шестидневной совместной работы один из них заканчивает работу за 40 дней, выполним следующие шаги:

1. Обозначим производительность первого рабочего как \( \frac{1}{x} \) работы в день, а производительность второго рабочего как \( \frac{1}{y} \) работы в день.
2. Общая производительность двух рабочих, работающих вместе, будет \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) работы в день.
3. Из условия задачи известно, что вместе они могут выполнить работу за 30 дней, поэтому: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{30} \]
4. За 6 дней совместной работы они выполнят часть работы: \[ 6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 6 \cdot \frac{1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \]
5. Оставшаяся часть работы составляет: \[ 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \]
6. Один из рабочих (допустим, первый) заканчивает оставшуюся работу за 40 дней, поэтому его производительность: \[ \frac{4}{5} = 40 \cdot \frac{1}{x} \] Решая это уравнение, получаем: \[ \frac{1}{x} = \frac{4}{5 \cdot 40} = \frac{4}{200} = \frac{1}{50} \] Таким образом, \( x = 50 \).
7. Теперь найдем \( y \). Подставим \( x = 50 \) в уравнение для общей производительности: \[ \frac{1}{50} + \frac{1}{y} = \frac{1}{30} \] Решая это уравнение, получаем: \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50} = \frac{5 - 3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75} \] Таким образом, \( y = 75 \).

Ответ: {25;75}

Решение №17606: Для решения задачи о трех тракторных бригадах выполним следующие шаги:

1. Обозначим производительность первой, второй и третьей бригад как \(x\), \(y\) и \(z\) гектаров в день соответственно.
2. Запишем систему уравнений на основе условий задачи:
   • Вместе три бригады вспахивают поле за 4 дня: \[ \frac{1}{4} = x + y + z \]
   • Первая и вторая бригады вместе вспахали бы поле за 6 дней: \[ \frac{1}{6} = x + y \]
   • Первая и третья бригады вместе вспахали бы поле за 8 дней: \[ \frac{1}{8} = x + z \]
3. Решим систему уравнений:
   • Уравнение 1: \[ x + y + z = \frac{1}{4} \]
   • Уравнение 2: \[ x + y = \frac{1}{6} \]
   • Уравнение 3: \[ x + z = \frac{1}{8} \]
4. Вычтем уравнение 2 из уравнения 1: \[ (x + y + z) - (x + y) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \] \[ z = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \]
5. Вычтем уравнение 3 из уравнения 1: \[ (x + y + z) - (x + z) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \] \[ y = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \]
6. Теперь найдем \(x\) из уравнения 2: \[ x + y = \frac{1}{6} \] \[ x + \frac{1}{8} = \frac{1}{6} \] \[ x = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24} \]
7. Теперь у нас есть значения \(x\), \(y\) и \(z\): \[ x = \frac{1}{24}, \quad y = \frac{1}{8}, \quad z = \frac{1}{12} \]
8. Найдем, во сколько раз вторая бригада вспахивает за день больше, чем третья: \[ \frac{y}{z} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{12}} = \frac{1}{8} \times \frac{12}{1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ: 1.5

Решение №17607: Для решения задачи о том, через сколько часов количество воды в бассейнах будет одинаковым, выполним следующие шаги:

1. Обозначим количество воды в первом бассейне через \(V_1 = 200 \, м^3\), а во втором бассейне через \(V_2 = 112 \, м^3\).
2. Пусть \(x\) — количество воды, вливающееся в первый бассейн за час. Тогда во второй бассейн вливается \(x + 22 \, м^3\) за час.
3. Запишем уравнение для одинакового количества воды в бассейнах через \(t\) часов: \[ V_1 + x \cdot t = V_2 + (x + 22) \cdot t \]
4. Подставим значения \(V_1\) и \(V_2\): \[ 200 + x \cdot t = 112 + (x + 22) \cdot t \]
5. Раскроем скобки и приведем подобные: \[ 200 + x \cdot t = 112 + x \cdot t + 22 \cdot t \]
6. Сократим \(x \cdot t\) в обеих частях уравнения: \[ 200 = 112 + 22 \cdot t \]
7. Перенесем 112 в левую часть уравнения: \[ 200 - 112 = 22 \cdot t \]
8. Вычтем 112 из 200: \[ 88 = 22 \cdot t \]
9. Разделим обе части уравнения на 22: \[ t = \frac{88}{22} = 4 \]

Ответ: 4

Решение №17608: Для решения задачи о двух экскаваторах, работающих одновременно и отдельно, выполним следующие шаги:

1. Обозначим время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, как \( t_1 \), а время, за которое второй экскаватор может вырыть котлован, как \( t_2 \).
2. По условию задачи, один первый экскаватор затратит на эту работу на 6 часов больше, чем один второй экскаватор. Это можно записать как: \[ t_1 = t_2 + 6 \]
3. Также известно, что два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4 часа. Это означает, что их совместная производительность равна \( \frac{1}{4} \) котлована в час.
4. Производительность первого экскаватора равна \( \frac{1}{t_1} \) котлована в час, а производительность второго экскаватора равна \( \frac{1}{t_2} \) котлована в час.
5. Совместная производительность двух экскаваторов равна сумме их индивидуальных производительностей: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \]
6. Подставим \( t_1 = t_2 + 6 \) в уравнение: \[ \frac{1}{t_2 + 6} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \]
7. Найдем общее значение производительностей: \[ \frac{t_2 + (t_2 + 6)}{t_2 \cdot (t_2 + 6)} = \frac{1}{4} \]
8. Упростим числитель: \[ \frac{2t_2 + 6}{t_2^2 + 6t_2} = \frac{1}{4} \]
9. Перемножим обе части уравнения на \( 4(t_2^2 + 6t_2) \): \[ 4(2t_2 + 6) = t_2^2 + 6t_2 \]
10. Упростим уравнение: \[ 8t_2 + 24 = t_2^2 + 6t_2 \]
11. Приведем уравнение к квадратному виду: \[ t_2^2 - 2t_2 - 24 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение, используя формулу \( t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), и \( c = -24 \): \[ t_2 = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} \] \[ t_2 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} \] \[ t_2 = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ t_2 = \frac{2 \pm 10}{2} \] \[ t_2 = \frac{12}{2} \quad \text{или} \quad t_2 = \frac{-8}{2} \] \[ t_2 = 6 \quad \text{или} \quad t_2 = -4 \]
13. Так как время не может быть отрицательным, выбираем \( t_2 = 6 \) часов.
14. Теперь найдем \( t_1 \): \[ t_1 = t_2 + 6 = 6 + 6 = 12 \]

Ответ: {6;12}

Решение №17609: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Пусть \( x \) — количество дней, за которые ученик прочел книгу.
2. Пусть \( y \) — количество страниц, которое ученик читал каждый день.
3. Тогда можно записать уравнение: \[ x \cdot y = 480 \]
4. Если бы ученик читал на 16 страниц больше каждый день, то он прочел бы книгу на 5 дней раньше. Это можно записать как: \[ (x - 5) \cdot (y + 16) = 480 \]
5. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} x \cdot y = 480 \\ (x - 5) \cdot (y + 16) = 480 \end{cases} \]
6. Раскроем скобки во втором уравнении: \[ (x - 5)(y + 16) = 480 \] \[ xy + 16x - 5y - 80 = 480 \]
7. Подставим \( xy = 480 \) из первого уравнения: \[ 480 + 16x - 5y - 80 = 480 \] \[ 16x - 5y - 80 = 0 \] \[ 16x - 5y = 80 \]
8. Теперь у нас есть система линейных уравнений: \[ \begin{cases} xy = 480 \\ 16x - 5y = 80 \end{cases} \]
9. Решим второе уравнение относительно \( y \): \[ 16x - 5y = 80 \] \[ 5y = 16x - 80 \] \[ y = \frac{16x - 80}{5} \]
10. Подставим \( y \) в первое уравнение: \[ x \cdot \frac{16x - 80}{5} = 480 \] \[ 16x^2 - 80x = 2400 \] \[ 16x^2 - 80x - 2400 = 0 \] \[ x^2 - 5x - 150 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 600}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{625}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm 25}{2} \] \[ x_1 = 15, \quad x_2 = -10 \]
12. Поскольку \( x \) — количество дней, оно должно быть положительным числом, значит: \[ x = 15 \]

Ответ: 15

Решение №17610: Для решения задачи о колхозе, который должен был засеять поле за 4 дня, но закончил сев за 1 день до срока, выполним следующие шаги:

1. Обозначим общее количество гектаров, которое нужно засеять, как \( H \).
2. Обозначим ежедневную норму сева как \( N \).
3. Колхоз закончил сев за 3 дня вместо 4, перевыполняя норму на 12 га ежедневно. Обозначим фактическую ежедневную норму сева как \( N + 12 \).
4. Колхоз засеял поле за 3 дня, следовательно, общее количество гектаров, засеянное за 3 дня, равно: \[ 3(N + 12) \]
5. Поскольку колхоз должен был засеять поле за 4 дня, общее количество гектаров, которое нужно засеять, равно: \[ 4N \]
6. Приравняем выражения для общего количества гектаров: \[ 3(N + 12) = 4N \]
7. Раскроем скобки: \[ 3N + 36 = 4N \]
8. Перенесем \( 3N \) в правую часть уравнения: \[ 36 = N \]
9. Таким образом, ежедневная норма сева \( N \) равна 36 га.

Ответ: 48

Решение №17611: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим исходное количество изделий, выпускаемых в час, как \( x \).
2. После усовершенствования технологии цех стал выпускать на 4 изделия в час больше, чем прежде. Таким образом, новое количество изделий в час будет \( x + 4 \).
3. До усовершенствования за 7 часов цех выпускал \( 7x \) изделий.
4. После усовершенствования за 6 часов цех выпускает \( 6(x + 4) \) изделий.
5. По условию задачи, за 6 часов цех выполняет 1.2 прежней семичасовой нормы. Это можно записать как: \[ 6(x + 4) = 1.2 \cdot 7x \]
6. Упростим уравнение: \[ 6(x + 4) = 8.4x \]
7. Раскроем скобки: \[ 6x + 24 = 8.4x \]
8. Перенесем все члены с \( x \) в одну сторону уравнения: \[ 6x + 24 - 6x = 8.4x - 6x \] \[ 24 = 2.4x \]
9. Разделим обе части уравнения на 2.4: \[ x = \frac{24}{2.4} \] \[ x = 10 \]
10. Таким образом, исходное количество изделий в час было \( x = 10 \).
11. Новое количество изделий в час будет: \[ x + 4 = 10 + 4 = 14 \]

Ответ: 14

Решение №17612: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим количество часов, за которое первый рабочий изготавливает 60 деталей, как \( t_1 \).
2. Обозначим количество часов, за которое второй рабочий изготавливает 60 деталей, как \( t_2 \).
3. Из условия задачи следует, что \( t_1 = t_2 - 3 \).
4. Изготовление деталей за час:
   • Первый рабочий: \( \frac{60}{t_1} \) деталей в час.
   • Второй рабочий: \( \frac{60}{t_2} \) деталей в час.
5. Из условия задачи следует, что вместе они изготавливают 30 деталей за 1 час: \[ \frac{60}{t_1} + \frac{60}{t_2} = 30 \]
6. Подставим \( t_1 = t_2 - 3 \) в уравнение: \[ \frac{60}{t_2 - 3} + \frac{60}{t_2} = 30 \]
7. Умножим обе части уравнения на \( t_2(t_2 - 3) \) для устранения знаменателей: \[ 60t_2 + 60(t_2 - 3) = 30t_2(t_2 - 3) \]
8. Раскроем скобки и упростим: \[ 60t_2 + 60t_2 - 180 = 30t_2^2 - 90t_2 \] \[ 120t_2 - 180 = 30t_2^2 - 90t_2 \] \[ 30t_2^2 - 210t_2 + 180 = 0 \] \[ t_2^2 - 7t_2 + 6 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ t_2 = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \] \[ t_2 = 6 \quad \text{или} \quad t_2 = 1 \]
10. Поскольку \( t_2 \) должно быть больше 3 (так как \( t_1 = t_2 - 3 \) и \( t_1 \) должно быть положительным), выбираем \( t_2 = 6 \).
11. Теперь найдем сколько часов потребуется второму рабочему для изготовления 90 деталей: \[ \text{Производительность второго рабочего} = \frac{60}{6} = 10 \text{ деталей в час} \] \[ \text{Время для изготовления 90 деталей} = \frac{90}{10} = 9 \text{ часов} \]

Ответ: 9