№17611

Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Ученик прочел книгу в 480 страниц, ежедневно читая одинаковое количество страниц. Если бы он каждый день читал на 16 страниц больше, то прочел бы книгу на 5 дней раньше. Сколько дней ученик читал книгу?

Ответ

15

Решение № 17609:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Пусть \( x \) — количество дней, за которые ученик прочел книгу.</li> <li>Пусть \( y \) — количество страниц, которое ученик читал каждый день.</li> <li>Тогда можно записать уравнение: \[ x \cdot y = 480 \] </li> <li>Если бы ученик читал на 16 страниц больше каждый день, то он прочел бы книгу на 5 дней раньше. Это можно записать как: \[ (x - 5) \cdot (y + 16) = 480 \] </li> <li>Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} x \cdot y = 480 \\ (x - 5) \cdot (y + 16) = 480 \end{cases} \] </li> <li>Раскроем скобки во втором уравнении: \[ (x - 5)(y + 16) = 480 \] \[ xy + 16x - 5y - 80 = 480 \] </li> <li>Подставим \( xy = 480 \) из первого уравнения: \[ 480 + 16x - 5y - 80 = 480 \] \[ 16x - 5y - 80 = 0 \] \[ 16x - 5y = 80 \] </li> <li>Теперь у нас есть система линейных уравнений: \[ \begin{cases} xy = 480 \\ 16x - 5y = 80 \end{cases} \] </li> <li>Решим второе уравнение относительно \( y \): \[ 16x - 5y = 80 \] \[ 5y = 16x - 80 \] \[ y = \frac{16x - 80}{5} \] </li> <li>Подставим \( y \) в первое уравнение: \[ x \cdot \frac{16x - 80}{5} = 480 \] \[ 16x^2 - 80x = 2400 \] \[ 16x^2 - 80x - 2400 = 0 \] \[ x^2 - 5x - 150 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 600}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{625}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm 25}{2} \] \[ x_1 = 15, \quad x_2 = -10 \] </li> <li>Поскольку \( x \) — количество дней, оно должно быть положительным числом, значит: \[ x = 15 \] </li> </ol> Таким образом, ученик читал книгу 15 дней. Ответ: 15