Решение №6: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость пешехода как \(v\) км/ч.
2. Скорость велосипедиста тогда будет \(2\frac{1}{3}v = \frac{7}{3}v\) км/ч.
3. Пешеход отошел от станции на \(1,6\) км до того, как велосипедист начал движение.
4. Велосипедист догнал пешехода через \(15\) минут, что составляет \(\frac{15}{60} = 0,25\) часа.
5. За \(0,25\) часа пешеход прошел расстояние \(v \cdot 0,25\) км.
6. За то же время велосипедист проехал расстояние \(\frac{7}{3}v \cdot 0,25\) км.
7. Уравнение для расстояния, которое прошел пешеход за \(0,25\) часа: \[ v \cdot 0,25 = 1,6 + \frac{7}{3}v \cdot 0,25 \]
8. Упростим уравнение: \[ 0,25v = 1,6 + 0,25 \cdot \frac{7}{3}v \]
9. Преобразуем \(0,25 \cdot \frac{7}{3}v\): \[ 0,25 \cdot \frac{7}{3}v = \frac{0,25 \cdot 7}{3}v = \frac{1,75}{3}v = \frac{7}{12}v \]
10. Подставим это в уравнение: \[ 0,25v = 1,6 + \frac{7}{12}v \]
11. Перенесем \(\frac{7}{12}v\) в левую часть уравнения: \[ 0,25v - \frac{7}{12}v = 1,6 \]
12. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{3}{12}v - \frac{7}{12}v = 1,6 \]
13. Сложим дроби: \[ -\frac{4}{12}v = 1,6 \]
14. Упростим дробь: \[ -\frac{1}{3}v = 1,6 \]
15. Решим уравнение относительно \(v\): \[ v = -4,8 \]

Ответ: 4.8

Решение №14: Для решения задачи о времени, которое моторная лодка затратит на путь от одной пристани до другой и обратно, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Расстояние между пристанями: \(12,3\) км.
   • Собственная скорость лодки: \(7,2\) \( \frac{км}{ч}\).
   • Скорость течения реки: \(\frac{1}{6}\) скорости лодки.
2. Вычислим скорость течения реки: \[ \text{Скорость течения реки} = \frac{1}{6} \cdot 7,2 = 1,2 \text{ } \frac{км}{ч} \]
3. Определим скорость лодки по течению и против течения:
   • Скорость лодки по течению: \[ \text{Скорость по течению} = 7,2 + 1,2 = 8,4 \text{ } \frac{км}{ч} \]
   • Скорость лодки против течения: \[ \text{Скорость против течения} = 7,2 - 1,2 = 6 \text{ } \frac{км}{ч} \]
4. Вычислим время, которое лодка тратит на путь до другой пристани и обратно:
   • Время на путь по течению: \[ \text{Время по течению} = \frac{12,3}{8,4} \approx 1,464 \text{ часа} \]
   • Время на путь против течения: \[ \text{Время против течения} = \frac{12,3}{6} = 2,05 \text{ часа} \]
5. Сложим времена на путь туда и обратно: \[ \text{Общее время} = 1,464 + 2,05 = 3,514 \text{ часа} \]

Ответ: 3.514

Решение №38: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Лодка проплывает расстояние по озеру за \(5\) часов.
   • Плот проплывает то же расстояние по реке за \(20\) часов.
2. Обозначим:
   • \(v_L\) — скорость лодки по озеру.
   • \(v_P\) — скорость плота по реке.
   • \(S\) — расстояние.
   • \(v_R\) — скорость течения реки.
3. Выразим скорости: \[ v_L = \frac{S}{5} \] \[ v_P = \frac{S}{20} \]
4. Скорость течения реки \(v_R\) равна скорости плота: \[ v_R = v_P = \frac{S}{20} \]
5. Скорость лодки по течению реки равна сумме скорости лодки по озеру и скорости течения реки: \[ v_L + v_R = \frac{S}{5} + \frac{S}{20} \]
6. Найдем общую скорость лодки по течению реки: \[ v_L + v_R = \frac{S}{5} + \frac{S}{20} = \frac{4S}{20} + \frac{S}{20} = \frac{5S}{20} = \frac{S}{4} \]
7. Время \(t\), которое затратит лодка на тот же путь по течению реки, найдем из уравнения: \[ t = \frac{S}{v_L + v_R} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = 4 \]

Ответ: 4

Решение №45: Для решения задачи о расстоянии, которое проплывет катер, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи: \[ \text{Собственная скорость катера } v = 14,7 \text{ км/ч} \] \[ \text{Скорость катера против течения } v_{\text{пр}} = 10,2 \text{ км/ч} \]
2. Определим скорость течения реки \( v_{\text{т}} \): \[ v_{\text{т}} = v - v_{\text{пр}} = 14,7 \text{ км/ч} - 10,2 \text{ км/ч} = 4,5 \text{ км/ч} \]
3. Определим скорость катера по течению реки \( v_{\text{по}} \): \[ v_{\text{по}} = v + v_{\text{т}} = 14,7 \text{ км/ч} + 4,5 \text{ км/ч} = 19,2 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим расстояние, которое катер проплывет по течению за 2 часа: \[ S_{\text{по}} = v_{\text{по}} \cdot t_{\text{по}} = 19,2 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 38,4 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояние, которое катер проплывет против течения за 4,5 часа: \[ S_{\text{пр}} = v_{\text{пр}} \cdot t_{\text{пр}} = 10,2 \text{ км/ч} \cdot 4,5 \text{ ч} = 45,9 \text{ км} \]
6. Найдем общее расстояние, которое катер проплывет: \[ S = S_{\text{по}} + S_{\text{пр}} = 38,4 \text{ км} + 45,9 \text{ км} = 84,3 \text{ км} \]

Ответ: 84.3

Решение №65: Для решения задачи о встрече легковой машины и грузовика выполним следующие шаги:

1. Определим время, прошедшее до выезда грузовика из города \( B \). Легковая машина выехала за 2 часа до грузовика, значит, она проехала: \[ 60 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times 2 \, \text{ч} = 120 \, \text{км} \]
2. Таким образом, расстояние между машинами в момент выезда грузовика составляет: \[ 620 \, \text{км} - 120 \, \text{км} = 500 \, \text{км} \]
3. Теперь определим, с какой скоростью приближаются друг к другу машины. Суммарная скорость: \[ 60 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} + 40 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 100 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
4. Время до встречи машин можно найти, разделив расстояние между ними на суммарную скорость: \[ \frac{500 \, \text{км}}{100 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 5 \, \text{ч} \]
5. За время \(5\) часов легковая машина проедет: \[ 60 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times 5 \, \text{ч} = 300 \, \text{км} \]
6. Так как легковая машина уже проехала 120 км до выезда грузовика, то общее расстояние, которое она проехала от города \( A \) до момента встречи: \[ 120 \, \text{км} + 300 \, \text{км} = 420 \, \text{км} \]

Ответ: 420

Решение №67: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим расстояние до опушки леса: \[ \text{Расстояние до опушки леса} = 4 \text{ км} \]
2. Определим скорости двух человек: \[ \text{Скорость первого человека} = 3.3 \text{ км/ч} \] \[ \text{Скорость второго человека} = 5.5 \text{ км/ч} \]
3. Вычислим время, за которое второй человек дойдет до опушки леса: \[ t_1 = \frac{\text{Расстояние до опушки}}{\text{Скорость второго человека}} = \frac{4 \text{ км}}{5.5 \text{ км/ч}} = \frac{4}{5.5} \text{ ч} \]
4. Вычислим расстояние, которое первый человек пройдет за это время: \[ d_1 = \text{Скорость первого человека} \times t_1 = 3.3 \text{ км/ч} \times \frac{4}{5.5} \text{ ч} = \frac{3.3 \times 4}{5.5} \text{ км} = \frac{13.2}{5.5} \text{ км} \]
5. Вычислим время, за которое второй человек вернется обратно до точки встречи: \[ t_2 = \frac{d_1}{\text{Скорость второго человека}} = \frac{\frac{13.2}{5.5} \text{ км}}{5.5 \text{ км/ч}} = \frac{13.2}{5.5^2} \text{ ч} \]
6. Вычислим расстояние, которое первый человек пройдет за это время: \[ d_2 = \text{Скорость первого человека} \times t_2 = 3.3 \text{ км/ч} \times \frac{13.2}{5.5^2} \text{ ч} = \frac{3.3 \times 13.2}{5.5^2} \text{ км} \]
7. Суммируем оба расстояния, чтобы найти точку встречи: \[ d_{\text{встречи}} = d_1 + d_2 = \frac{13.2}{5.5} + \frac{3.3 \times 13.2}{5.5^2} \]
8. Упростим выражение: \[ d_{\text{встречи}} = \frac{13.2}{5.5} + \frac{43.56}{30.25} = \frac{13.2}{5.5} + \frac{43.56}{30.25} = \frac{13.2 \times 5.5 + 43.56}{30.25} = \frac{72.6 + 43.56}{30.25} = \frac{116.16}{30.25} \]
9. Вычислим окончательное значение: \[ d_{\text{встречи}} = \frac{116.16}{30.25} \approx 3.84 \text{ км} \]

Ответ: 1.5

Решение №77: Для решения задачи определения скорости первого поезда выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные: - Расстояние между станциями: \(350\) км. - Время до встречи: \(2.5\) часа. - Скорость второго поезда: \(65\) км/ч. - Обозначим скорость первого поезда как \(v_1\) км/ч.
2. Расстояние, пройденное вторым поездом до встречи: \[ \text{Расстояние второго поезда} = 65 \times 2.5 = 162.5 \text{ км} \]
3. Расстояние, пройденное первым поездом до встречи: \[ \text{Расстояние первого поезда} = 350 - 162.5 = 187.5 \text{ км} \]
4. Выразим скорость первого поезда через время и расстояние: \[ v_1 = \frac{\text{Расстояние первого поезда}}{\text{Время}} = \frac{187.5}{2.5} \]
5. Выполним деление: \[ v_1 = 75 \text{ км/ч} \]

Ответ: 75

Решение №85: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость первого автобуса как \(v_1 = 54 \, \frac{км}{ч}\).
2. Обозначим скорость второго автобуса как \(v_2\). По условию задачи, \(v_1 = 0.6 v_2\).
3. Выразим скорость второго автобуса через скорость первого автобуса: \[ v_2 = \frac{v_1}{0.6} = \frac{54}{0.6} = 90 \, \frac{км}{ч} \]
4. Второй автобус догнал первый через \(1\) ч \(30\) мин, что составляет \(1.5\) часа.
5. Найдем расстояние, которое проехал второй автобус за \(1.5\) часа: \[ S_2 = v_2 \times 1.5 = 90 \times 1.5 = 135 \, км \]
6. Найдем расстояние, которое проехал первый автобус за \(1.5\) часа: \[ S_1 = v_1 \times 1.5 = 54 \times 1.5 = 81 \, км \]
7. Расстояние, на которое второй автобус опережает первый через \(1.5\) часа, равно разности пройденных ими расстояний: \[ \Delta S = S_2 - S_1 = 135 - 81 = 54 \, км \]
8. Теперь найдем расстояние, на котором автобусы были друг от друга через \(24\) мин (0.4 часа) после выезда. Расстояние, которое проехал первый автобус за \(0.4\) часа: \[ S_1' = v_1 \times 0.4 = 54 \times 0.4 = 21.6 \, км \]
9. Расстояние, которое проехал второй автобус за \(0.4\) часа: \[ S_2' = v_2 \times 0.4 = 90 \times 0.4 = 36 \, км \]
10. Расстояние между автобусами через \(24\) мин после выезда равно разности пройденных ими расстояний: \[ \Delta S' = S_2' - S_1' = 36 - 21.6 = 14.4 \, км \]

Ответ: 39.6

Решение №485: Для решения задачи о расстоянии между двумя велосипедистами, выехавшими из лагеря в противоположных направлениях со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч через 3 часа 6 минут, выполним следующие шаги:

1. Запишем скорости велосипедистов: \[ v_1 = 10 \text{ км/ч}, \quad v_2 = 12 \text{ км/ч} \]
2. Запишем время, через которое нужно найти расстояние: \[ t = 3 \text{ часа 6 минут} \]
3. Переведем время в часы: \[ 3 \text{ часа 6 минут} = 3 + \frac{6}{60} \text{ часа} = 3 + 0.1 \text{ часа} = 3.1 \text{ часа} \]
4. Найдем расстояние, которое проедет каждый велосипедист за это время: \[ s_1 = v_1 \cdot t = 10 \text{ км/ч} \cdot 3.1 \text{ часа} = 31 \text{ км} \] \[ s_2 = v_2 \cdot t = 12 \text{ км/ч} \cdot 3.1 \text{ часа} = 37.2 \text{ км} \]
5. Поскольку велосипедисты движутся в противоположных направлениях, суммируем расстояния, которые они проедут: \[ S = s_1 + s_2 = 31 \text{ км} + 37.2 \text{ км} = 68.2 \text{ км} \]

Ответ: 68.2

Решение №487: Для решения задачи о расстоянии между селами, из которых выехали два велосипедиста, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Скорость первого велосипедиста: \(v_1 = 10\) км/ч.
   • Скорость второго велосипедиста: \(v_2 = 12\) км/ч.
   • Время до встречи: \(t = 1,6\) ч.
2. Определим формулу для вычисления расстояния между селами: \[ S = v_1 \cdot t + v_2 \cdot t \]
3. Подставим значения скоростей и времени в формулу: \[ S = 10 \cdot 1,6 + 12 \cdot 1,6 \]
4. Выполним умножение: \[ S = 16 + 19,2 \]
5. Сложим результаты: \[ S = 35,2 \text{ км} \]

Ответ: 35.2

Решение №498: Для решения задачи о двух поездах, выехавших навстречу друг другу, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Расстояние между пунктами A и B: \(D = 350\) км.
   • Скорость первого поезда: \(v_1 = 65\) км/ч.
   • Скорость второго поезда: \(v_2 = 75\) км/ч.
2. Определим суммарную скорость поездов: \[ v_{\text{сумм}} = v_1 + v_2 = 65 + 75 = 140 \text{ км/ч} \]
3. Вычислим время \(t\), через которое поезда встретятся: \[ t = \frac{D}{v_{\text{сумм}}} = \frac{350}{140} = 2.5 \text{ часа} \]
4. Определим расстояние, пройденное каждым поездом до встречи:
   • Расстояние, пройденное первым поездом: \[ D_1 = v_1 \cdot t = 65 \cdot 2.5 = 162.5 \text{ км} \]
   • Расстояние, пройденное вторым поездом: \[ D_2 = v_2 \cdot t = 75 \cdot 2.5 = 187.5 \text{ км} \]
5. Проверим правильность вычислений: \[ D_1 + D_2 = 162.5 + 187.5 = 350 \text{ км} \]
6. Заключение: Поезда встретятся через 2.5 часа. Первый поезд пройдет 162.5 км, второй поезд пройдет 187.5 км.

Ответ: Имеется два решения

Решение №499: Для решения задачи о расстоянии между селами, если два велосипедиста встретились через 48 минут, выполним следующие шаги:

1. Запишем скорости велосипедистов:
   • Скорость первого велосипедиста: \(v_1 = 19,5\) км/ч.
   • Скорость второго велосипедиста: \(v_2 = \frac{2}{3} v_1 = \frac{2}{3} \cdot 19,5\) км/ч.
2. Вычислим скорость второго велосипедиста: \[ v_2 = \frac{2}{3} \cdot 19,5 = 13 \text{ км/ч} \]
3. Переведем время встречи в часы: \[ t = 48 \text{ минут} = \frac{48}{60} \text{ часов} = 0,8 \text{ часа} \]
4. Определим расстояние, пройденное каждым велосипедистом за 0,8 часа:
   • Расстояние, пройденное первым велосипедистом: \[ s_1 = v_1 \cdot t = 19,5 \cdot 0,8 \text{ км} \]
   • Расстояние, пройденное вторым велосипедистом: \[ s_2 = v_2 \cdot t = 13 \cdot 0,8 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояния: \[ s_1 = 19,5 \cdot 0,8 = 15,6 \text{ км} \] \[ s_2 = 13 \cdot 0,8 = 10,4 \text{ км} \]
6. Найдем общее расстояние между селами: \[ S = s_1 + s_2 = 15,6 + 10,4 = 26 \text{ км} \]

Ответ: 26

Решение №502: #### **1. Найдем скорость второго автобуса.** Из условия: Скорость первого автобуса (\( V_1 \)) = \( 54 \) км/ч, и она составляет \( 0{,}6 \) от скорости второго автобуса (\( V_2 \)). То есть: \[ V_1 = 0{,}6 \cdot V_2 \] \[ 54 = 0{,}6 \cdot V_2 \] \[ V_2 = \frac{54}{0{,}6} = 90 \text{ км/ч} \] **Ответ:** Скорость второго автобуса — \( 90 \) км/ч. --- #### **2. Определим скорость сближения автобусов.** Поскольку автобусы движутся в **одном направлении**, скорость сближения равна разности их скоростей: \[ V_{\text{сближ}} = V_2 - V_1 = 90 - 54 = 36 \text{ км/ч} \] **Ответ:** Второй автобус приближается к первому со скоростью \( 36 \) км/ч. --- #### **3. Найдем расстояние между городами \( A \) и \( B \).** Из условия второй автобус догнал первый через \( 1 \) ч \( 30 \) мин (\( = 1{,}5 \) часа). За это время второй автобус должен был сократить изначальное расстояние между городами (\( S \)) со скоростью \( 36 \) км/ч. То есть: \[ S = V_{\text{сближ}} \cdot t = 36 \cdot 1{,}5 = 54 \text{ км} \] **Ответ:** Расстояние между городами \( A \) и \( B \) — \( 54 \) км. --- ### **Проверка:** - Первый автобус за \( 1{,}5 \) часа проедет: \[ 54 \text{ км/ч} \cdot 1{,}5 \text{ ч} = 81 \text{ км} \] - Второй автобус за \( 1{,}5 \) часа проедет: \[ 90 \text{ км/ч} \cdot 1{,}5 \text{ ч} = 135 \text{ км} \] - Разница в расстоянии: \[ 135 - 81 = 54 \text{ км} \] Это и есть расстояние между городами \( A \) и \( B \), значит, решение верное. --- ### **Итоговый ответ:** \[ \boxed{54 \text{ км}} \]

Ответ: 32.4

Решение №508: Для решения задачи о расстоянии между городами $A$ и $B$ выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость второго поезда как \( v \) км/ч.
2. Из условия задачи известно, что скорость первого поезда составляет \( 0,7 \) от скорости второго поезда. Следовательно: \[ 35 = 0,7v \]
3. Решим это уравнение для \( v \): \[ v = \frac{35}{0,7} = 50 \text{ км/ч} \]
4. Время, через которое второй поезд догнал первый, составляет \( 1 \) час \( 30 \) минут, что эквивалентно \( 1,5 \) часам.
5. За это время первый поезд прошел расстояние: \[ \text{Расстояние первого поезда} = 35 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 52,5 \text{ км} \]
6. За то же время второй поезд прошел расстояние: \[ \text{Расстояние второго поезда} = 50 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 75 \text{ км} \]
7. Расстояние между городами $A$ и $B$ равно разности расстояний, пройденных вторым и первым поездами: \[ \text{Расстояние между городами} = 75 \text{ км} - 52,5 \text{ км} = 22,5 \text{ км} \]

Ответ: 22.5

Решение №516: Для решения задачи определим расстояние между пунктами \( A \) и \( B \). Обозначим это расстояние как \( D \).

1. Пусть \( D \) — расстояние между пунктами \( A \) и \( B \).
2. Первый пешеход прошел \( \frac{1}{5} \) всего пути и еще \( 1.3 \) км. Обозначим расстояние, пройденное первым пешеходом, как \( d_1 \).
3. Таким образом, \( d_1 = \frac{1}{5}D + 1.3 \).
4. Второй пешеход прошел в \( 3 \) раза больше первого. Обозначим расстояние, пройденное вторым пешеходом, как \( d_2 \).
5. Таким образом, \( d_2 = 3d_1 \).
6. Подставим \( d_1 \) в выражение для \( d_2 \): \[ d_2 = 3 \left( \frac{1}{5}D + 1.3 \right) \]
7. Упростим выражение для \( d_2 \): \[ d_2 = \frac{3}{5}D + 3.9 \]
8. Сумма расстояний, пройденных обоими пешеходами, равна всему пути: \[ d_1 + d_2 = D \]
9. Подставим выражения для \( d_1 \) и \( d_2 \) в это уравнение: \[ \left( \frac{1}{5}D + 1.3 \right) + \left( \frac{3}{5}D + 3.9 \right) = D \]
10. Упростим левую часть уравнения: \[ \frac{1}{5}D + \frac{3}{5}D + 1.3 + 3.9 = D \] \[ \frac{4}{5}D + 5.2 = D \]
11. Вычтем \( \frac{4}{5}D \) из обеих частей уравнения: \[ 5.2 = D - \frac{4}{5}D \] \[ 5.2 = \frac{1}{5}D \]
12. Умножим обе части уравнения на 5: \[ 5.2 \cdot 5 = D \] \[ D = 26 \]

Ответ: 26

Решение №536: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}, \quad 4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}, \quad 1\frac{5}{9} = \frac{14}{9} \]
2. Обозначим скорости автомобилей как \(V_1\) и \(V_2\), а расстояние между городами как \(D\).
3. Выразим скорости автомобилей через время и расстояние: \[ V_1 = \frac{D}{3\frac{1}{3}} = \frac{D}{\frac{10}{3}} = \frac{3D}{10} \] \[ V_2 = \frac{D}{4\frac{2}{3}} = \frac{D}{\frac{14}{3}} = \frac{3D}{14} \]
4. Найдем суммарную скорость автомобилей: \[ V_{\text{сумм}} = V_1 + V_2 = \frac{3D}{10} + \frac{3D}{14} \]
5. Приведем дроби к общему знаменателю и сложим: \[ V_{\text{сумм}} = \frac{3D \cdot 14 + 3D \cdot 10}{10 \cdot 14} = \frac{42D + 30D}{140} = \frac{72D}{140} = \frac{36D}{70} = \frac{18D}{35} \]
6. Найдем расстояние, которое автомобили проедут за \(1\frac{5}{9}\) часа: \[ \text{Расстояние} = V_{\text{сумм}} \cdot \frac{14}{9} = \frac{18D}{35} \cdot \frac{14}{9} = \frac{18 \cdot 14 \cdot D}{35 \cdot 9} = \frac{252D}{315} = \frac{4D}{5} \]
7. Найдем оставшееся расстояние до встречи: \[ \text{Оставшееся расстояние} = D - \frac{4D}{5} = \frac{5D - 4D}{5} = \frac{D}{5} \]

Ответ: \(frac{1}{5}\)

Решение №545: Для решения задачи о собственной скорости теплохода выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Пусть \(v_s\) — собственная скорость теплохода.
   • Пусть \(v_r\) — скорость течения реки.
   • Расстояние по течению: \(330\) км.
   • Время по течению: \(12\) ч.
   • Расстояние против течения: \(240,5\) км.
   • Время против течения: \(13\) ч.
2. Составим уравнения для движения по течению и против течения:
   • По течению: \(v_s + v_r = \frac{330}{12} = 27.5\) км/ч.
   • Против течения: \(v_s - v_r = \frac{240.5}{13} = 18.5\) км/ч.
3. Сложим и вычтем уравнения для нахождения \(v_s\) и \(v_r\):
   • Сложим уравнения: \[ (v_s + v_r) + (v_s - v_r) = 27.5 + 18.5 \] \[ 2v_s = 46 \] \[ v_s = \frac{46}{2} = 23 \text{ км/ч} \]
4. Таким образом, собственная скорость теплохода \(v_s\) равна \(23\) км/ч.

Ответ: 23

Решение №611: Для решения задачи определения стоимости товара в магазине с учетом торговой надбавки выполним следующие шаги:

1. Запишем оптовую цену товара на складе: \[ \text{Оптовая цена} = 5500 \text{ р.} \]
2. Запишем торговую надбавку в процентах: \[ \text{Торговая надбавка} = 12\% \]
3. Вычислим величину торговой надбавки в рублях: \[ \text{Величина торговой надбавки} = \frac{12}{100} \times 5500 = 0.12 \times 5500 = 660 \text{ р.} \]
4. Добавим торговую надбавку к оптовой цене: \[ \text{Стоимость товара в магазине} = 5500 + 660 = 6160 \text{ р.} \]

Ответ: 6160

Решение №621: Для решения задачи о повышении цены проезда выполним следующие шаги:

1. Запишем начальную и конечную цену проезда: \[ \text{Начальная цена} = 20 \text{ рублей} \] \[ \text{Конечная цена} = 25 \text{ рублей} \]
2. Вычислим разницу между конечной и начальной ценой: \[ \text{Разница} = 25 - 20 = 5 \text{ рублей} \]
3. Вычислим процентное увеличение цены. Для этого разделим разницу на начальную цену и умножим на 100: \[ \text{Процентное увеличение} = \left( \frac{5}{20} \right) \times 100 = 0.25 \times 100 = 25\% \]

Ответ: 25

Решение №626: Для решения задачи о нахождении первоначальной цены товара, которая увеличилась на 15% и составила 2944 рубля, выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение, которое описывает увеличение цены: \[ \text{Новая цена} = \text{Первоначальная цена} \times (1 + \frac{15}{100}) \]
2. Подставим известную новую цену (2944 рубля) в уравнение: \[ 2944 = \text{Первоначальная цена} \times 1.15 \]
3. Решим уравнение относительно первоначальной цены: \[ \text{Первоначальная цена} = \frac{2944}{1.15} \]
4. Выполним деление: \[ \text{Первоначальная цена} = 2560 \]

Ответ: 2560

Решение №794: Для решения задачи В избирательном округе 25000 избирателей. На выборы пришли 57% избирателей. Сколько человек приняли участие в голосовании? выполним следующие шаги:

1. Запишем общее количество избирателей: \[ \text{Общее количество избирателей} = 25000 \]
2. Запишем процент избирателей, пришедших на выборы: \[ \text{Процент избирателей, пришедших на выборы} = 57\% \]
3. Вычислим количество избирателей, пришедших на выборы, используя процент: \[ \text{Количество избирателей, пришедших на выборы} = 25000 \cdot \frac{57}{100} \]
4. Выполним умножение: \[ 25000 \cdot \frac{57}{100} = 25000 \cdot 0.57 = 14250 \]

Ответ: 14250

Решение №833: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим общее количество страниц в книге как \( x \).
2. В первый день Гриша прочитал 30% всей книги, то есть \( 0.3x \).
3. Оставшаяся часть книги после первого дня составляет \( x - 0.3x = 0.7x \).
4. Во второй день Гриша прочитал 40% оставшейся части, то есть \( 0.4 \cdot 0.7x = 0.28x \).
5. Оставшаяся часть книги после второго дня составляет \( 0.7x - 0.28x = 0.42x \).
6. В третий день Гриша прочитал оставшиеся 105 страниц, то есть \( 0.42x = 105 \).
7. Решим уравнение \( 0.42x = 105 \): \[ x = \frac{105}{0.42} = 250 \]

Ответ: 250

Решение №837: Для решения задачи Пиджак дороже брюк на 25%. На сколько процентов брюки дешевле пиджака? выполним следующие шаги:

1. Пусть \( P \) — цена пиджака, а \( B \) — цена брюк.
2. Из условия задачи следует, что пиджак дороже брюк на 25%. Это можно записать как: \[ P = B + 0.25B = 1.25B \]
3. Теперь нужно найти, на сколько процентов брюки дешевле пиджака. Для этого определим разницу в стоимости между пиджаком и брюками: \[ P - B = 1.25B - B = 0.25B \]
4. Найдем процентное отношение этой разницы к стоимости пиджака: \[ \frac{P - B}{P} \times 100\% = \frac{0.25B}{1.25B} \times 100\% \]
5. Упростим выражение: \[ \frac{0.25B}{1.25B} = \frac{0.25}{1.25} = 0.2 \]
6. Переведем результат в проценты: \[ 0.2 \times 100\% = 20\% \]

Ответ: 25

Решение №838: Для решения задачи Куртка дороже пиджака на 60%. На сколько процентов пиджак дешевле куртки? выполним следующие шаги:

1. Пусть стоимость пиджака обозначим как \(P\).
2. Тогда стоимость куртки будет \(K = P + 0.6P = 1.6P\).
3. Найдём разницу в стоимости между курткой и пиджаком: \[ K - P = 1.6P - P = 0.6P \]
4. Теперь найдём, на сколько процентов пиджак дешевле куртки. Для этого выразим разницу в стоимости как долю от стоимости куртки: \[ \frac{K - P}{K} = \frac{0.6P}{1.6P} = \frac{0.6}{1.6} = 0.375 \]
5. Переведём долю в проценты: \[ 0.375 \times 100\% = 37.5\% \]

Ответ: 37.5

Решение №850: Для решения задачи о том, как изменилась цена акции после увеличения на 20% и последующего уменьшения на 20%, выполним следующие шаги:

1. Пусть первоначальная цена акции равна \(P\).
2. После увеличения на 20% цена акции станет: \[ P_{\text{нов}} = P + 0.2P = 1.2P \]
3. Теперь уменьшим новую цену на 20%: \[ P_{\text{фин}} = 1.2P - 0.2 \cdot 1.2P = 1.2P \cdot (1 - 0.2) = 1.2P \cdot 0.8 = 0.96P \]
4. Итоговая цена акции составляет \(0.96P\), что меньше первоначальной цены \(P\).
5. Вычислим процентное изменение цены акции: \[ \text{Изменение} = \left( \frac{0.96P - P}{P} \right) \times 100\% = \left( \frac{-0.04P}{P} \right) \times 100\% = -4\% \]
6. Таким образом, цена акции уменьшилась на 4% по сравнению с первоначальной ценой.

Ответ: уменьшилась на 4

Решение №851: Для решения задачи о том, как изменилась цена акции после увеличения на 1% и последующего уменьшения на 1%, выполним следующие шаги:

1. Запишем первоначальную цену акции как \( P \).
2. После увеличения на 1% новая цена акции будет: \[ P_{\text{нов}} = P + 0.01P = P(1 + 0.01) = 1.01P \]
3. Теперь уменьшим новую цену на 1%: \[ P_{\text{нов2}} = 1.01P - 0.01 \cdot 1.01P = 1.01P(1 - 0.01) = 1.01P \cdot 0.99 \]
4. Упростим выражение: \[ P_{\text{нов2}} = 1.01 \cdot 0.99P = 0.9999P \]
5. Теперь вычислим процентное изменение по сравнению с первоначальной ценой: \[ \text{Изменение} = \left( \frac{0.9999P - P}{P} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.9999P - P}{P} \right) \times 100\% = -0.01\% \]

Ответ: уменьшилась на 0, 00001

Решение №855: Для решения задачи Цена на проезд три раза увеличилась на 10%. На сколько процентов увеличилась цена по сравнению с первоначальной? выполним следующие шаги:

1. Пусть первоначальная цена на проезд равна \( P \).
2. Каждое увеличение на 10% можно выразить как умножение на \( 1 + \frac{10}{100} = 1.1 \).
3. После первого увеличения цена становится: \[ P_1 = P \cdot 1.1 \]
4. После второго увеличения цена становится: \[ P_2 = P_1 \cdot 1.1 = P \cdot 1.1^2 \]
5. После третьего увеличения цена становится: \[ P_3 = P_2 \cdot 1.1 = P \cdot 1.1^3 \]
6. Теперь найдем конечную цену после трех увеличений: \[ P_3 = P \cdot 1.1^3 \]
7. Вычислим \( 1.1^3 \): \[ 1.1^3 = 1.1 \cdot 1.1 \cdot 1.1 = 1.331 \]
8. Таким образом, конечная цена: \[ P_3 = P \cdot 1.331 \]
9. Увеличение цены по сравнению с первоначальной выражается как: \[ \text{Увеличение} = \left( \frac{P_3 - P}{P} \right) \cdot 100\% = \left( \frac{P \cdot 1.331 - P}{P} \right) \cdot 100\% \]
10. Упростим выражение: \[ \text{Увеличение} = \left( \frac{P \cdot 1.331 - P}{P} \right) \cdot 100\% = (1.331 - 1) \cdot 100\% = 0.331 \cdot 100\% = 33.1\% \]

Ответ: 33.1