Решение №6: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость пешехода как \(v\) км/ч.
2. Скорость велосипедиста тогда будет \(2\frac{1}{3}v = \frac{7}{3}v\) км/ч.
3. Пешеход отошел от станции на \(1,6\) км до того, как велосипедист начал движение.
4. Велосипедист догнал пешехода через \(15\) минут, что составляет \(\frac{15}{60} = 0,25\) часа.
5. За \(0,25\) часа пешеход прошел расстояние \(v \cdot 0,25\) км.
6. За то же время велосипедист проехал расстояние \(\frac{7}{3}v \cdot 0,25\) км.
7. Уравнение для расстояния, которое прошел пешеход за \(0,25\) часа: \[ v \cdot 0,25 = 1,6 + \frac{7}{3}v \cdot 0,25 \]
8. Упростим уравнение: \[ 0,25v = 1,6 + 0,25 \cdot \frac{7}{3}v \]
9. Преобразуем \(0,25 \cdot \frac{7}{3}v\): \[ 0,25 \cdot \frac{7}{3}v = \frac{0,25 \cdot 7}{3}v = \frac{1,75}{3}v = \frac{7}{12}v \]
10. Подставим это в уравнение: \[ 0,25v = 1,6 + \frac{7}{12}v \]
11. Перенесем \(\frac{7}{12}v\) в левую часть уравнения: \[ 0,25v - \frac{7}{12}v = 1,6 \]
12. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{3}{12}v - \frac{7}{12}v = 1,6 \]
13. Сложим дроби: \[ -\frac{4}{12}v = 1,6 \]
14. Упростим дробь: \[ -\frac{1}{3}v = 1,6 \]
15. Решим уравнение относительно \(v\): \[ v = -4,8 \]

Ответ: 4.8

Решение №14: Для решения задачи о времени, которое моторная лодка затратит на путь от одной пристани до другой и обратно, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Расстояние между пристанями: \(12,3\) км.
   • Собственная скорость лодки: \(7,2\) \( \frac{км}{ч}\).
   • Скорость течения реки: \(\frac{1}{6}\) скорости лодки.
2. Вычислим скорость течения реки: \[ \text{Скорость течения реки} = \frac{1}{6} \cdot 7,2 = 1,2 \text{ } \frac{км}{ч} \]
3. Определим скорость лодки по течению и против течения:
   • Скорость лодки по течению: \[ \text{Скорость по течению} = 7,2 + 1,2 = 8,4 \text{ } \frac{км}{ч} \]
   • Скорость лодки против течения: \[ \text{Скорость против течения} = 7,2 - 1,2 = 6 \text{ } \frac{км}{ч} \]
4. Вычислим время, которое лодка тратит на путь до другой пристани и обратно:
   • Время на путь по течению: \[ \text{Время по течению} = \frac{12,3}{8,4} \approx 1,464 \text{ часа} \]
   • Время на путь против течения: \[ \text{Время против течения} = \frac{12,3}{6} = 2,05 \text{ часа} \]
5. Сложим времена на путь туда и обратно: \[ \text{Общее время} = 1,464 + 2,05 = 3,514 \text{ часа} \]

Ответ: 3.514

Решение №38: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Лодка проплывает расстояние по озеру за \(5\) часов.
   • Плот проплывает то же расстояние по реке за \(20\) часов.
2. Обозначим:
   • \(v_L\) — скорость лодки по озеру.
   • \(v_P\) — скорость плота по реке.
   • \(S\) — расстояние.
   • \(v_R\) — скорость течения реки.
3. Выразим скорости: \[ v_L = \frac{S}{5} \] \[ v_P = \frac{S}{20} \]
4. Скорость течения реки \(v_R\) равна скорости плота: \[ v_R = v_P = \frac{S}{20} \]
5. Скорость лодки по течению реки равна сумме скорости лодки по озеру и скорости течения реки: \[ v_L + v_R = \frac{S}{5} + \frac{S}{20} \]
6. Найдем общую скорость лодки по течению реки: \[ v_L + v_R = \frac{S}{5} + \frac{S}{20} = \frac{4S}{20} + \frac{S}{20} = \frac{5S}{20} = \frac{S}{4} \]
7. Время \(t\), которое затратит лодка на тот же путь по течению реки, найдем из уравнения: \[ t = \frac{S}{v_L + v_R} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = 4 \]

Ответ: 4

Решение №45: Для решения задачи о расстоянии, которое проплывет катер, выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи: \[ \text{Собственная скорость катера } v = 14,7 \text{ км/ч} \] \[ \text{Скорость катера против течения } v_{\text{пр}} = 10,2 \text{ км/ч} \]
2. Определим скорость течения реки \( v_{\text{т}} \): \[ v_{\text{т}} = v - v_{\text{пр}} = 14,7 \text{ км/ч} - 10,2 \text{ км/ч} = 4,5 \text{ км/ч} \]
3. Определим скорость катера по течению реки \( v_{\text{по}} \): \[ v_{\text{по}} = v + v_{\text{т}} = 14,7 \text{ км/ч} + 4,5 \text{ км/ч} = 19,2 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим расстояние, которое катер проплывет по течению за 2 часа: \[ S_{\text{по}} = v_{\text{по}} \cdot t_{\text{по}} = 19,2 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 38,4 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояние, которое катер проплывет против течения за 4,5 часа: \[ S_{\text{пр}} = v_{\text{пр}} \cdot t_{\text{пр}} = 10,2 \text{ км/ч} \cdot 4,5 \text{ ч} = 45,9 \text{ км} \]
6. Найдем общее расстояние, которое катер проплывет: \[ S = S_{\text{по}} + S_{\text{пр}} = 38,4 \text{ км} + 45,9 \text{ км} = 84,3 \text{ км} \]

Ответ: 84.3

Решение №65: Для решения задачи о встрече легковой машины и грузовика выполним следующие шаги:

1. Определим время, прошедшее до выезда грузовика из города \( B \). Легковая машина выехала за 2 часа до грузовика, значит, она проехала: \[ 60 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times 2 \, \text{ч} = 120 \, \text{км} \]
2. Таким образом, расстояние между машинами в момент выезда грузовика составляет: \[ 620 \, \text{км} - 120 \, \text{км} = 500 \, \text{км} \]
3. Теперь определим, с какой скоростью приближаются друг к другу машины. Суммарная скорость: \[ 60 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} + 40 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 100 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
4. Время до встречи машин можно найти, разделив расстояние между ними на суммарную скорость: \[ \frac{500 \, \text{км}}{100 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 5 \, \text{ч} \]
5. За время \(5\) часов легковая машина проедет: \[ 60 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times 5 \, \text{ч} = 300 \, \text{км} \]
6. Так как легковая машина уже проехала 120 км до выезда грузовика, то общее расстояние, которое она проехала от города \( A \) до момента встречи: \[ 120 \, \text{км} + 300 \, \text{км} = 420 \, \text{км} \]

Ответ: 420

Решение №67: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим расстояние до опушки леса: \[ \text{Расстояние до опушки леса} = 4 \text{ км} \]
2. Определим скорости двух человек: \[ \text{Скорость первого человека} = 3.3 \text{ км/ч} \] \[ \text{Скорость второго человека} = 5.5 \text{ км/ч} \]
3. Вычислим время, за которое второй человек дойдет до опушки леса: \[ t_1 = \frac{\text{Расстояние до опушки}}{\text{Скорость второго человека}} = \frac{4 \text{ км}}{5.5 \text{ км/ч}} = \frac{4}{5.5} \text{ ч} \]
4. Вычислим расстояние, которое первый человек пройдет за это время: \[ d_1 = \text{Скорость первого человека} \times t_1 = 3.3 \text{ км/ч} \times \frac{4}{5.5} \text{ ч} = \frac{3.3 \times 4}{5.5} \text{ км} = \frac{13.2}{5.5} \text{ км} \]
5. Вычислим время, за которое второй человек вернется обратно до точки встречи: \[ t_2 = \frac{d_1}{\text{Скорость второго человека}} = \frac{\frac{13.2}{5.5} \text{ км}}{5.5 \text{ км/ч}} = \frac{13.2}{5.5^2} \text{ ч} \]
6. Вычислим расстояние, которое первый человек пройдет за это время: \[ d_2 = \text{Скорость первого человека} \times t_2 = 3.3 \text{ км/ч} \times \frac{13.2}{5.5^2} \text{ ч} = \frac{3.3 \times 13.2}{5.5^2} \text{ км} \]
7. Суммируем оба расстояния, чтобы найти точку встречи: \[ d_{\text{встречи}} = d_1 + d_2 = \frac{13.2}{5.5} + \frac{3.3 \times 13.2}{5.5^2} \]
8. Упростим выражение: \[ d_{\text{встречи}} = \frac{13.2}{5.5} + \frac{43.56}{30.25} = \frac{13.2}{5.5} + \frac{43.56}{30.25} = \frac{13.2 \times 5.5 + 43.56}{30.25} = \frac{72.6 + 43.56}{30.25} = \frac{116.16}{30.25} \]
9. Вычислим окончательное значение: \[ d_{\text{встречи}} = \frac{116.16}{30.25} \approx 3.84 \text{ км} \]

Ответ: 1.5

Решение №77: Для решения задачи определения скорости первого поезда выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные: - Расстояние между станциями: \(350\) км. - Время до встречи: \(2.5\) часа. - Скорость второго поезда: \(65\) км/ч. - Обозначим скорость первого поезда как \(v_1\) км/ч.
2. Расстояние, пройденное вторым поездом до встречи: \[ \text{Расстояние второго поезда} = 65 \times 2.5 = 162.5 \text{ км} \]
3. Расстояние, пройденное первым поездом до встречи: \[ \text{Расстояние первого поезда} = 350 - 162.5 = 187.5 \text{ км} \]
4. Выразим скорость первого поезда через время и расстояние: \[ v_1 = \frac{\text{Расстояние первого поезда}}{\text{Время}} = \frac{187.5}{2.5} \]
5. Выполним деление: \[ v_1 = 75 \text{ км/ч} \]

Ответ: 75

Решение №85: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость первого автобуса как \(v_1 = 54 \, \frac{км}{ч}\).
2. Обозначим скорость второго автобуса как \(v_2\). По условию задачи, \(v_1 = 0.6 v_2\).
3. Выразим скорость второго автобуса через скорость первого автобуса: \[ v_2 = \frac{v_1}{0.6} = \frac{54}{0.6} = 90 \, \frac{км}{ч} \]
4. Второй автобус догнал первый через \(1\) ч \(30\) мин, что составляет \(1.5\) часа.
5. Найдем расстояние, которое проехал второй автобус за \(1.5\) часа: \[ S_2 = v_2 \times 1.5 = 90 \times 1.5 = 135 \, км \]
6. Найдем расстояние, которое проехал первый автобус за \(1.5\) часа: \[ S_1 = v_1 \times 1.5 = 54 \times 1.5 = 81 \, км \]
7. Расстояние, на которое второй автобус опережает первый через \(1.5\) часа, равно разности пройденных ими расстояний: \[ \Delta S = S_2 - S_1 = 135 - 81 = 54 \, км \]
8. Теперь найдем расстояние, на котором автобусы были друг от друга через \(24\) мин (0.4 часа) после выезда. Расстояние, которое проехал первый автобус за \(0.4\) часа: \[ S_1' = v_1 \times 0.4 = 54 \times 0.4 = 21.6 \, км \]
9. Расстояние, которое проехал второй автобус за \(0.4\) часа: \[ S_2' = v_2 \times 0.4 = 90 \times 0.4 = 36 \, км \]
10. Расстояние между автобусами через \(24\) мин после выезда равно разности пройденных ими расстояний: \[ \Delta S' = S_2' - S_1' = 36 - 21.6 = 14.4 \, км \]

Ответ: 39.6

Решение №936: Для решения задачи о том, за сколько часов был выполнен весь заказ, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность одного рабочего. Поскольку один рабочий может выполнить заказ за 12 часов, его производительность равна: \[ \text{Производительность одного рабочего} = \frac{1}{12} \text{ заказа в час} \]
2. Определим, сколько работы выполнил первый рабочий за первые 4 часа: \[ \text{Работа первого рабочего за 4 часа} = 4 \times \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \text{ заказа} \]
3. Определим оставшуюся часть работы: \[ \text{Оставшаяся работа} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \text{ заказа} \]
4. Определим общую производительность двух рабочих вместе: \[ \text{Производительность двух рабочих} = 2 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{6} \text{ заказа в час} \]
5. Определим время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть работы: \[ \text{Время для выполнения оставшейся работы} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \text{ часа} \]
6. Суммируем время, затраченное первым рабочим до присоединения второго, и время, затраченное двумя рабочими вместе: \[ \text{Общее время выполнения заказа} = 4 + 4 = 8 \text{ часов} \]

Ответ: 8

Решение №940: Для решения задачи о встрече двух спортсменов на круговой беговой дорожке, рассмотрим два случая: движение в одном направлении и движение в противоположных направлениях. ### Встреча при движении в одном направлении

1. Определим скорости спортсменов:
   • Первый спортсмен пробегает круг за 15 минут, его скорость \( v_1 = \frac{1}{15} \) круга в минуту.
   • Второй спортсмен пробегает круг за 20 минут, его скорость \( v_2 = \frac{1}{20} \) круга в минуту.
2. Найдем относительную скорость: \[ v_{\text{отн}} = v_1 - v_2 = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} \]
3. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ v_{\text{отн}} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60} \text{ круга в минуту} \]
4. Время первой встречи: \[ t_1 = \frac{1}{2 \cdot v_{\text{отн}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{60}} = 30 \text{ минут} \]
5. Время четвертой встречи: \[ t_4 = 4 \cdot t_1 = 4 \cdot 30 = 120 \text{ минут} \]

1. Определим скорости спортсменов:
   • Первый спортсмен пробегает круг за 15 минут, его скорость \( v_1 = \frac{1}{15} \) круга в минуту.
   • Второй спортсмен пробегает круг за 20 минут, его скорость \( v_2 = \frac{1}{20} \) круга в минуту.
2. Найдем относительную скорость: \[ v_{\text{отн}} = v_1 + v_2 = \frac{1}{15} + \frac{1}{20} \]
3. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ v_{\text{отн}} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60} \text{ круга в минуту} \]
4. Время первой встречи: \[ t_1 = \frac{1}{2 \cdot v_{\text{отн}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{7}{60}} = \frac{30}{7} \approx 4.29 \text{ минут} \]
5. Время четвертой встречи: \[ t_4 = 4 \cdot t_1 = 4 \cdot \frac{30}{7} = \frac{120}{7} \approx 17.14 \text{ минут} \]

Ответ: 60

Решение №2583: Пусть скорость автобуса по расписанию \( x \) км/ч, он ехал со скоростью \( x-10 \) км/ч. 30 минут=\( \frac{1}{2} \) часа. Время по расписанию \( \frac{100}{x} \) ч, во время непогоды \( \frac{100}{x-10} \) ч, отсюда \( \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}=\frac{1}{2} \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}-\frac{1}{2}=0 \frac{100*2*x-100*2(x-10)-x(x-10)}{2x(x-10)}=0 \frac{200x-200x+2000-x^{2}+10x}{2x(x-10)}=0 -x^{2}+10x+2000=0 2x(x-10)\neq 0; x\neq 0; x\neq 10 D=10^{2}-4*(-1)*2000=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{-2}=50 x_{2}=\frac{-10+90}{-2}=-40 \).

Ответ: 50 км/ч

Решение №2584: Пусть скорость велосипедиста до турбазы \( x \) км/ч, обратно он снизил скорость на 4 км/ч и ехал со скоростью \( x-4 \) км/ч. Расстояние 16 км он проехал туда и обратно за 3 часа 20 минут. 3 часа 20 минут= \( 3\frac{20}{60}=\frac{10}{3} \). \( \frac{16}{x}+\frac{16}{x-4}=\frac{10}{3} \frac{16*3(x-4)+16*3x+10x(x-4)}{3x(x-4)}=0 \frac{48x-192+48x-10x+40x}{3x(x-4)}=0 -10x^{2}+136x-192=0 3x(x-4)\neq 0; x\neq 0; x\neq 4 D=136^{2}-4*(-10)*(-192)=18496-7680=10816=104^{2} x_{1}=\frac{-136-104}{2*(-10)}=\frac{-240}{-20}=12 x_{2}=\frac{-136+104}{-20}=1,6 x=12; 12-4=8 \).

Ответ: 8 км/ч

Решение №2585: Пусть скорость автобуса \( x\) км/ч, то скорость такси \(x+20 \) км/ч, время движения автобуса \( \frac{40}{x} \), а такси \( \frac{40}{x+20} \), автобус вышел на 10 минут раньше, т.е. на \( \frac{1}{6} \) ч. Составляем уравнение: \( \frac{40}{x}-\frac{40}{x+20}=\frac{1}{6} \frac{40*6(x+20)-40*6x-x(x+20)}{6x(x+20)}=0 \frac{240x+4800-240x-x^{2}-20x}{6x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+4800=0 6x(x+20)\neq 0; x\neq 0; x\neq -20 D=(-20)^{2}-4*(-1)*4800=400+19200=19600=140^{2} x_{1}=\frac{20-140}{-2}=\frac{-120}{-2} x_{2}=\frac{20+140}{-2}=-80 x=60, 60+20=80 \) - скорость такси.

Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч

Решение №2589: Пусть первоначальная скорость поезда \( x \) км/ч то по расписанию время прохождения\( \frac{54}{x} \)ч. Фактически \( \frac{14}{x} \), затем 10 минут \( \frac{1}{6} \), затем \( \frac{54-14}{x+10}=\frac{40}{x+10} \)ч и опоздал на 2 минуты. 2мин=\( \frac{1}{30}\). Отсюда: \( \frac{54}{x}-\frac{1}{30}=\frac{14}{x}+\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6} \frac{54}{x}-\frac{14}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}; \frac{40}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{5} \frac{40}{x}=\frac{200+x+10}{5(x+10); \frac{40}{x}}=\frac{210+x}{5(x+10)}; x\neq 0; x+10\neq 0 x^{2}+210x=200(x+10) x^{2}+10x-2000=0 D=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{2}=-50 x_{2}=\frac{-10+90}{2}=40 \).

Ответ: 40 км/ч

Решение №2593: Пусть первоначальная скорость была \( x \) км/ч, обратно он проехал 2ч и проехал \( 2x \) км, осталось \(40-2x \) км. После остановки на 20 минут, он скорость увеличил и ехал \( x+4 \) км/ч, отсюда: \(\frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+2+\frac{1}{3} \frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+\frac{7}{3}; \frac{40}{x}=\frac{120-6x+7x+28}{3(x+4)} \frac{40}{x}=\frac{x+148}{3x+12}; 40(3x+2)=x(x+148) x^{2}+148x-120x-480=0 x^{2}+28x-480=0 x^{2}+28x-480=0 k=14 x_{1}=-k\pm \sqrt{k^{2}-c}=-14\pm \sqrt{196+480}=-14\pm \sqrt{676}=-14\pm 2b x_{1}=-14-2b=-40 x_{2}=-14+2b=12 x=12, 12+4=16 \).

Ответ: 16 км/ч

Решение №2598: Пусть скорость лодки в стоячей воде \( x \) км/ч, время движения в стоячей воде \( \frac{96}{x} \).Скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч, время \( \frac{54}{x+3} \) ч. Скорость лодки против течения \( x-3 \) км/ч, время \( \frac{42}{x-3} \) ч, отсюда \( \frac{54}{x+3}+\frac{42}{x-3}=\frac{96}{x} \frac{54x(x-3)+42x(x+3)-96(x^{2}-9)}{x(x-3)(x+3)}=0 \frac{54x^{2}-162x+42x^{2}+126x-96x^{2}+864}{x(x-3)(x+3)}=0 -36x+864=0; x(x-3)(x+3)\neq 0 -36x=-864 x=24 \).

Ответ: 24 км/ч

Решение №2602: пусть скорость лодки по озеру \( x \) км/ч, то скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч. По течению реки лодка прошла 6 км, а по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 час. Составляем уравнение: \( \frac{6}{x+3}+\frac{10}{x}=1 \frac{6x+10(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}=0 \frac{6x+10x+30-x^{2}-3x}{x(x+3)}=0 -x^{2}+13x+30=0 x(x+3)\neq 0 D=13^{2}-4*(-1)*30=169+120=1289=17^{2} x_{1}=\frac{-13-17}{-2}=15 x_{2}=\frac{-13+17}{-2}=-2 \).

Ответ: 15 км/ч

Решение №2604: Пусть скорость движения туриста по озеру равна \( x \) км/ч, зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, скорость байдарки по течению \( x+1\) км/ч, а против течения \( x-1 \) км/ч. Время против течения \( \frac{15}{x-1} \) ч, по течению \( \frac{14}{x+1} \) ч, по озеру \( \frac{30}{x \). Отсюда: \( \frac{15}{x-1}+\frac{14}{x+1}=\frac{30}{x} \frac{15x+15+14x-14}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} \frac{29x+1}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} (29x+1)x=30(x^{2}-1) 29x^{2}+x=30x^{2}-30 x(x^{2}-1)\neq 0 -x^{2}+x+30=0 D=1-4*(-1)*30=1+120=121=11^{2} x_{1}=\frac{-1-11}{-2}=6 x_{2}=\frac{-1+11}{-2}=-5 \).

Ответ: 6 км/ч

Решение №2606: Пусть \( x \) км/ч - скорость течения реки, тогда \( 12+x\) км/ч скорость лодки по течению, \( 12-x \) км/ч - скорость лодки против течения. Время по течению реки \( \frac{7}{12+x} \) ч, а против течения реки \( \frac{10}{12-x}\) ч. На путь по течению затрачено на 0, 5 ч меньше, чем против течения, отсюда \( \frac{7}{12+x}+0,5=\frac{10}{12-x} \frac{7}{12+x}-\frac{10}{12-x}+\frac{1}{2}=0 \frac{7*2(12-x)-10*2(12+x)+12^{2}-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 \frac{168-14x-240+20x+144-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 -x^{2}-34x+72=0 2(12+x)(12-x)\neq 0 D=(-34)^{2}-4*(-1)*72=1156+288=1444=38^{2} x_{1}=\frac{34-38}{-2}=2 x_{2}=\frac{34+38}{-2}=-36 \) -не удовлетворяет условиям.

Ответ: 2 км/ч, 10 км/ч.

Решение №2610: Пусть по плану токарь должен был обрабатывать \(x \) деталей в час, а фактически обрабатывал \( x+20 \) в час. Работу закончил на 1 час раньше, отсюда:\( \frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1 \frac{120(x+20)-120x-x(x+20)}{x(x+20)}=0 \frac{120x+2400-120x-x^{2}-20x}{x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+2400=0 x(x+20)\neq 0 D=(-20)^{2}-4*(-1)*2400=400+9600=10000=100^{2} x_{1}=\frac{20-100}{-2}=40 x_{2}=\frac{20+100}{-2}=-60 \).

Ответ: 40 деталей

Решение №2611: Пусть по плану бригада должна была изготовить \( x \) деталей, фактически \( x+2\) детали. Должна изготовить 120 деталей и закончила работа на 3 дня раньше срока. Составляем уравнение: \( \frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}=3 \frac{120(x+2)-120x-3x(x+2)}{x(x+2)}=0 \frac{120x+240-120x-3x^{2}-6x}{x(x+2)}=0 -3x^{2}-6x+240=0 x(x+2)\neq 0 -x^{2}-2x+80=0 D=(-2)^{2}-4*(-1)*80=4+320=324=18^{2} x_{1}=\frac{2-18}{-2}=8 x_{2}=\frac{2+18}{-2}=-10 \).

Ответ: 8 деталей.

Решение №2612: Пусть с первого поля \( x \)т с 1 га,а со второго \( x+10 \). С первого поля убрали 550т, а со второго 540 т, общая 20 га. Составляем уравнение: \( \frac{550}{x}+\frac{540}{x+10}=20 \frac{550(x+10)+540x-20(x+10x)}{x(x+10)}=0 \frac{-20x^{2}+200x+550x+5500+540x}{x(x+10)}=0 -20x^{2}+89+550=0 x(x+10)\neq 0 -2x^{2}+89x+550=0 D=89^{2}-4*(-2)*550=4921+4400=12321=111^{2} x_{1}=\frac{-89-111}{-4}=50 x_{2}=\frac{-89+111}{-4}=-5,5 x=50, 50+10=60 \).

Ответ: 50 т, 60 т.

Решение №2614: Пусть в сплаве \( x \) г серебра, то масса сплава \( x+80 \) г, а процентное содержание золота \( \frac{80}{x+80}*100% \). К сплаву добавили 100 г. Золота, масса стала \( x+180 \) г и процентное соотношение стало \( \frac{180}{x+180}*100% \) и увеличилось на 20%. Составляем уравнение: \( \frac{180}{x+180}*100%-\frac{80}{x+80}*100%=20% :20% \frac{180*5}{x+180}-\frac{80*5}{x+80}=1 \frac{900}{x+180}-\frac{400}{x+80}-1=0 \frac{900(x+80)-400(x+180)-(x+180)(x+80)}{(x+180)(x+80)}=0 \frac{900x+72000-400x-72000-x^{2}-80x-180x-14400}{(x+180)(x+80)}=0 -x^{2}+240x-14400=0; (x+180)(x+80)\neq 0 D=240^{2}-4*(-1)*(-14400)=57600-57600=0 x_{1}=\frac{-240}{-2}=120 \).

Ответ: 120 г.

Решение №3881: Для решения задачи о встрече катера и плота выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние между пунктами A и B как \(S\).
2. Обозначим скорость катера как \(V_k\) и скорость плота как \(V_p\).
3. Из условия задачи известно, что катер прошел расстояние \(S\) за 15 часов, следовательно, его скорость: \[ V_k = \frac{S}{15} \]
4. Плот прошел расстояние \(S\) за 60 часов, следовательно, его скорость: \[ V_p = \frac{S}{60} \]
5. Катер и плот движутся навстречу друг другу, поэтому их относительная скорость: \[ V_{\text{отн}} = V_k + V_p = \frac{S}{15} + \frac{S}{60} \]
6. Найдем общее значение относительной скорости: \[ V_{\text{отн}} = \frac{S}{15} + \frac{S}{60} = \frac{4S}{60} + \frac{S}{60} = \frac{5S}{60} = \frac{S}{12} \]
7. Время \(t\), через которое катер встретит плот, можно найти по формуле: \[ t = \frac{S}{V_{\text{отн}}} = \frac{S}{\frac{S}{12}} = 12 \]

Ответ: 20

Решение №3882: Для решения задачи определим последовательность шагов: 1. Определим время, за которое каждый из них дойдет до опушки леса. 2. Определим время, за которое они встретятся на обратном пути. 3. Вычислим расстояние между опушкой леса и местом их встречи.

1. Определим время, за которое каждый из них дойдет до опушки леса: \[ t_1 = \frac{6 \text{ км}}{4,5 \text{ км/ч}} = \frac{6}{4,5} \text{ ч} = \frac{4}{3} \text{ ч} \] \[ t_2 = \frac{6 \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{6}{5,5} \text{ ч} = \frac{12}{11} \text{ ч} \]
2. Определим время, за которое они встретятся на обратном пути: \[ \text{Пусть } t \text{ - время, прошедшее после того, как второй дошел до опушки леса и пошел обратно.} \] \[ \text{Второй прошел } 5,5 \cdot t \text{ км назад.} \] \[ \text{Первый прошел } 4,5 \cdot \left(\frac{12}{11} + t\right) \text{ км вперед.} \] \[ \text{Сумма расстояний должна быть равна 6 км:} \] \[ 5,5 \cdot t + 4,5 \cdot \left(\frac{12}{11} + t\right) = 6 \] \[ 5,5t + 4,5 \cdot \frac{12}{11} + 4,5t = 6 \] \[ 5,5t + \frac{54}{11} + 4,5t = 6 \] \[ 10t + \frac{54}{11} = 6 \] \[ 10t = 6 - \frac{54}{11} \] \[ 10t = \frac{66}{11} - \frac{54}{11} \] \[ 10t = \frac{12}{11} \] \[ t = \frac{12}{110} \] \[ t = \frac{6}{55} \text{ ч} \]
3. Вычислим расстояние между опушкой леса и местом их встречи: \[ \text{Второй прошел } 5,5 \cdot \frac{6}{55} \text{ км назад.} \] \[ \text{Расстояние } = 5,5 \cdot \frac{6}{55} = \frac{33}{55} \text{ км} = \frac{3}{5} \text{ км} \] \[ \text{Переведем в метры:} \] \[ \frac{3}{5} \text{ км} = 600 \text{ м} \]

Ответ: 600

Решение №3886: Для решения задачи о времени встречи плота и лодки, движущихся навстречу друг другу по реке, выполним следующие шаги:

1. Определим скорость лодки относительно берега. Собственная скорость лодки \(V_л = 8\) км/ч, а скорость течения реки \(V_т = 2\) км/ч. Поскольку лодка движется против течения, её скорость относительно берега будет: \[ V_{л.б} = V_л - V_т = 8 - 2 = 6 \text{ км/ч} \]
2. Определим скорость плота относительно берега. Плот движется по течению, поэтому его скорость относительно берега равна скорости течения: \[ V_{п.б} = V_т = 2 \text{ км/ч} \]
3. Определим относительную скорость сближения лодки и плота. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их относительная скорость будет суммой их скоростей относительно берега: \[ V_{сб} = V_{л.б} + V_{п.б} = 6 + 2 = 8 \text{ км/ч} \]
4. Определим расстояние между лодкой и плотом. Расстояние между ними составляет 20 км.
5. Вычислим время встречи. Время встречи можно найти, разделив расстояние на относительную скорость сближения: \[ t = \frac{S}{V_{сб}} = \frac{20}{8} = 2.5 \text{ часа} \]

Ответ: 2.5

Решение №3888: Для решения задачи о том, за сколько часов катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот проплывает путь от A до B за 40 часов.
   • Катер проплывает путь от A до B за 4 часа.
2. Обозначим:
   • Расстояние между A и B как \(d\).
   • Скорость плота как \(v_p\).
   • Скорость катера как \(v_k\).
3. Найдем скорость плота: \[ v_p = \frac{d}{40} \]
4. Найдем скорость катера: \[ v_k = \frac{d}{4} \]
5. Обозначим скорость течения реки как \(v_r\). Тогда скорость катера относительно воды (без течения) будет: \[ v_k - v_r \]
6. Скорость катера относительно воды можно найти, используя скорость плота: \[ v_p = v_r \implies v_r = \frac{d}{40} \]
7. Теперь найдем скорость катера относительно воды: \[ v_k - v_r = \frac{d}{4} - \frac{d}{40} = \frac{10d}{40} - \frac{d}{40} = \frac{9d}{40} \]
8. Время, за которое катер проплывет путь от B до A (против течения): \[ t = \frac{d}{v_k - v_r} = \frac{d}{\frac{9d}{40}} = \frac{40}{9} \]
9. Упростим выражение: \[ t = \frac{40}{9} \approx 4.44 \text{ часа} \]

Ответ: 5

Решение №3889: Для решения задачи о времени, которое потребуется плоту для проплывания одинакового расстояния по реке, выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость катера в спокойной воде как \(v_к\), скорость течения реки как \(v_р\), а расстояние как \(S\).
2. Составим уравнения для времени проплывания катера по озеру и по реке: \[ \frac{S}{v_к} = 7 \quad \text{(по озеру)} \] \[ \frac{S}{v_к + v_р} = 6 \quad \text{(по течению реки)} \]
3. Выразим скорость катера \(v_к\) через расстояние \(S\): \[ v_к = \frac{S}{7} \]
4. Подставим \(v_к\) в уравнение для времени проплывания по реке: \[ \frac{S}{\frac{S}{7} + v_р} = 6 \]
5. Упростим уравнение: \[ \frac{S}{\frac{S}{7} + v_р} = 6 \] \[ \frac{S}{\frac{S + 7v_р}{7}} = 6 \] \[ \frac{7S}{S + 7v_р} = 6 \] \[ 7S = 6(S + 7v_р) \] \[ 7S = 6S + 42v_р \] \[ S = 42v_р \]
6. Выразим скорость течения реки \(v_р\) через расстояние \(S\): \[ v_р = \frac{S}{42} \]
7. Теперь найдем время, которое потребуется плоту для проплывания того же расстояния по реке. Скорость плота равна скорости течения реки \(v_р\): \[ \text{Время для плота} = \frac{S}{v_р} \] \[ \text{Время для плота} = \frac{S}{\frac{S}{42}} \] \[ \text{Время для плота} = 42 \]

Ответ: 30

Решение №3897: Для решения задачи о времени, за которое катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние между точками A и B как \(D\).
2. Пусть скорость плота \(V_p\), а скорость катера \(V_k\).
3. Из условия задачи известно, что плот проплывает расстояние \(D\) за 30 часов. Следовательно, скорость плота: \[ V_p = \frac{D}{30} \]
4. Также известно, что катер проплывает расстояние \(D\) за 5 часов. Следовательно, скорость катера: \[ V_k = \frac{D}{5} \]
5. Для нахождения времени, за которое катер проплывет путь от B до A, используем формулу времени: \[ t = \frac{D}{V_k} \]
6. Подставим значение скорости катера: \[ t = \frac{D}{\frac{D}{5}} = 5 \]
7. Таким образом, катер проплывет путь от B до A за 5 часов.

Ответ: 6

Решение №3900: Для решения задачи о скорости течения реки выполним следующие шаги:

1. Определим неизвестные величины:
   • \(v_r\) — скорость реки (течение).
   • \(v_c\) — собственная скорость катера (без учета течения).
2. Запишем уравнения для движения катера по течению и против течения:
   • По течению: \(v_c + v_r = \frac{87.5}{5} = 17.5\) км/ч.
   • Против течения: \(v_c - v_r = \frac{87.5}{7} \approx 12.5\) км/ч.
3. Сложим и вычтем уравнения для нахождения \(v_r\):
   • Сложим уравнения: \[ (v_c + v_r) + (v_c - v_r) = 17.5 + 12.5 \] \[ 2v_c = 30 \]
   • Разделим на 2: \[ v_c = 15 \text{ км/ч} \]
   • Вычтем уравнения: \[ (v_c + v_r) - (v_c - v_r) = 17.5 - 12.5 \] \[ 2v_r = 5 \]
   • Разделим на 2: \[ v_r = 2.5 \text{ км/ч} \]
4. Таким образом, скорость течения реки \(v_r = 2.5\) км/ч.

Ответ: 2.5