Решение №6: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость пешехода как \(v_п\) км/ч.
2. Скорость велосипедиста будет \(v_в = 2\frac{1}{3} v_п = \frac{7}{3} v_п\) км/ч.
3. За 15 минут (что составляет \(\frac{15}{60} = \frac{1}{4}\) часа) велосипедист догнал пешехода.
4. За это время велосипедист проехал расстояние \(s_в = v_в \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{3} v_п \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{12} v_п\) км.
5. За это же время пешеход прошел расстояние \(s_п = v_п \cdot \frac{1}{4}\) км.
6. Велосипедист догнал пешехода, значит, он проехал расстояние, равное 1,6 км плюс расстояние, пройденное пешеходом за 15 минут: \[ \frac{7}{12} v_п = 1,6 + \frac{1}{4} v_п \]
7. Решим уравнение: \[ \frac{7}{12} v_п = 1,6 + \frac{1}{4} v_п \] Для этого приведем все к общему знаменателю: \[ \frac{7}{12} v_п - \frac{1}{4} v_п = 1,6 \] \[ \frac{7}{12} v_п - \frac{3}{12} v_п = 1,6 \] \[ \frac{4}{12} v_п = 1,6 \] \[ \frac{1}{3} v_п = 1,6 \] \[ v_п = 1,6 \cdot 3 \] \[ v_п = 4,8 \text{ км/ч} \]

Ответ: 4.8

Решение №14: Для решения задачи о времени, за которое моторная лодка проплывет путь от одной пристани до другой и обратно, выполним следующие шаги:

1. Определим скорость течения реки: \[ v_{\text{течения}} = \frac{1}{6} \cdot 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
2. Определим скорость лодки по течению: \[ v_{\text{по течению}} = 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} + 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 8,4 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
3. Определим скорость лодки против течения: \[ v_{\text{против течения}} = 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} - 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 6 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
4. Вычислим время, за которое лодка проплывет путь до другой пристани по течению: \[ t_{\text{по течению}} = \frac{12,3 \, \text{км}}{8,4 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 1,464 \, \text{ч} \]
5. Вычислим время, за которое лодка проплывет путь обратно против течения: \[ t_{\text{против течения}} = \frac{12,3 \, \text{км}}{6 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 2,05 \, \text{ч} \]
6. Найдем общее время пути: \[ t_{\text{общее}} = t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = 1,464 \, \text{ч} + 2,05 \, \text{ч} = 3,514 \, \text{ч} \]

Ответ: 3.514

Решение №38: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки на озере как \(v_L\) и скорость плота на реке как \(v_P\).
2. Пусть \(S\) — расстояние, которое проплывают лодка и плот.
3. Запишем уравнения для времени прохождения расстояния \(S\): \[ \frac{S}{v_L} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{S}{v_P} = 20 \]
4. Выразим скорости \(v_L\) и \(v_P\) через расстояние \(S\): \[ v_L = \frac{S}{5} \quad \text{и} \quad v_P = \frac{S}{20} \]
5. Пусть \(v_T\) — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки будет \(v_L + v_T\).
6. Запишем уравнение для времени \(t\), которое лодка затратит на прохождение расстояния \(S\) по течению реки: \[ \frac{S}{v_L + v_T} = t \]
7. Подставим выражения для \(v_L\) и \(v_P\) в уравнение: \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + v_T} = t \]
8. Поскольку \(v_T = v_P\) (скорость течения реки равна скорости плота), подставим \(v_P\): \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + \frac{S}{20}} = t \]
9. Упростим выражение в знаменателе: \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + \frac{S}{20}} = \frac{S}{\frac{4S + S}{20}} = \frac{S}{\frac{5S}{20}} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = 4 \]
10. Таким образом, лодка затратит 4 часа на прохождение того же расстояния по течению реки.

Ответ: 4

Решение №45: Для решения задачи о расстоянии, которое проплывет катер, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Собственная скорость катера: \( v_c = 14,7 \) км/ч.
   • Скорость катера против течения реки: \( v_{up} = 10,2 \) км/ч.
   • Время движения по течению реки: \( t_{down} = 2 \) ч.
   • Время движения против течения реки: \( t_{up} = 4,5 \) ч.
2. Найдем скорость течения реки \( v_r \):
   • Скорость катера по течению реки: \( v_{down} = v_c + v_r \).
   • Скорость катера против течения реки: \( v_{up} = v_c - v_r \).
   Подставим известные значения: \[ v_{up} = v_c - v_r \implies 10,2 = 14,7 - v_r \implies v_r = 14,7 - 10,2 = 4,5 \text{ км/ч} \]
3. Найдем скорость катера по течению реки \( v_{down} \): \[ v_{down} = v_c + v_r = 14,7 + 4,5 = 19,2 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим расстояние, пройденное по течению реки за \( 2 \) ч: \[ S_{down} = v_{down} \cdot t_{down} = 19,2 \cdot 2 = 38,4 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояние, пройденное против течения реки за \( 4,5 \) ч: \[ S_{up} = v_{up} \cdot t_{up} = 10,2 \cdot 4,5 = 45,9 \text{ км} \]
6. Найдем общее расстояние, пройденное катером: \[ S_{total} = S_{down} + S_{up} = 38,4 + 45,9 = 84,3 \text{ км} \]

Ответ: 84.3

Решение №65: Для решения задачи о встрече легковой машины и грузовика выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Легковая машина выехала из города \(A\) в город \(B\) со скоростью \(60 \frac{км}{ч}\).
   • Грузовик выехал из города \(B\) в город \(A\) со скоростью \(40 \frac{км}{ч}\) через 2 часа после выезда легковой машины.
   • Расстояние между городами \(A\) и \(B\) составляет \(620\) км.
2. Определим расстояние, которое проехала легковая машина за 2 часа: \[ \text{Расстояние} = 60 \frac{км}{ч} \times 2 \text{ ч} = 120 \text{ км} \]
3. Таким образом, через 2 часа легковая машина находится на расстоянии \(120\) км от города \(A\), а расстояние между легковой машиной и городом \(B\) составляет: \[ 620 \text{ км} - 120 \text{ км} = 500 \text{ км} \]
4. Теперь грузовик выезжает из города \(B\) и движется навстречу легковой машине. Расстояние между ними составляет \(500\) км. Обозначим время до встречи как \(t\) часов.
5. Запишем уравнение для определения времени до встречи: \[ 60t + 40t = 500 \]
6. Упростим уравнение: \[ 100t = 500 \]
7. Решим уравнение для \(t\): \[ t = \frac{500}{100} = 5 \text{ ч} \]
8. Определим расстояние, которое проедет легковая машина за это время: \[ 60 \frac{км}{ч} \times 5 \text{ ч} = 300 \text{ км} \]
9. Таким образом, встреча произойдет на расстоянии \(300\) км от города \(A\).

Ответ: 420

Решение №67: Для решения задачи о встрече двух человек, отправившихся на прогулку, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние до опушки леса как \(d = 4\) км.
2. Обозначим скорости двух людей как \(v_1 = 3,3\) \(\frac{км}{ч}\) и \(v_2 = 5,5\) \(\frac{км}{ч}\).
3. Время, за которое второй человек доходит до опушки леса: \[ t_1 = \frac{d}{v_2} = \frac{4}{5,5} = \frac{4}{5.5} = \frac{4 \cdot 10}{55} = \frac{40}{55} = \frac{8}{11} \text{ часов} \]
4. За это время первый человек пройдет расстояние: \[ s_1 = v_1 \cdot t_1 = 3,3 \cdot \frac{8}{11} = \frac{3,3 \cdot 8}{11} = \frac{26,4}{11} = \frac{264}{110} = \frac{132}{55} = \frac{24}{10} = 2,4 \text{ км} \]
5. Теперь второй человек возвращается обратно с той же скоростью \(v_2\). Расстояние, которое он должен пройти до встречи с первым человеком, равно \(4 - 2,4 = 1,6\) км.
6. Время, за которое второй человек пройдет это расстояние: \[ t_2 = \frac{1,6}{v_2} = \frac{1,6}{5,5} = \frac{1,6 \cdot 10}{55} = \frac{16}{55} = \frac{16}{55} \text{ часов} \]
7. За это время первый человек пройдет дополнительное расстояние: \[ s_2 = v_1 \cdot t_2 = 3,3 \cdot \frac{16}{55} = \frac{3,3 \cdot 16}{55} = \frac{52,8}{55} = \frac{528}{550} = \frac{264}{275} = \frac{264}{275} \text{ км} \]
8. Таким образом, полное расстояние, которое пройдет первый человек до встречи: \[ s = s_1 + s_2 = 2,4 + \frac{264}{275} = 2,4 + 0,96 = 3,36 \text{ км} \]

Ответ: 1.5

Решение №77: Для решения задачи определим скорость первого поезда, зная расстояние между станциями, время до встречи и скорость второго поезда.

1. Запишем известные данные:
   • Расстояние между станциями: \(350\) км.
   • Время до встречи: \(2,5\) часа.
   • Скорость второго поезда: \(65\) км/ч.
2. Обозначим скорость первого поезда как \(v_1\).
3. Запишем уравнение, связывающее расстояние, время и суммарную скорость поездов: \[ 350 = (v_1 + 65) \cdot 2,5 \]
4. Раскроем скобки и умножим обе части уравнения на \(2,5\): \[ 350 = 2,5 \cdot v_1 + 2,5 \cdot 65 \]
5. Упростим выражение: \[ 350 = 2,5 \cdot v_1 + 162,5 \]
6. Вычтем \(162,5\) из обеих частей уравнения: \[ 350 - 162,5 = 2,5 \cdot v_1 \]
7. Упростим выражение: \[ 187,5 = 2,5 \cdot v_1 \]
8. Разделим обе части уравнения на \(2,5\): \[ v_1 = \frac{187,5}{2,5} \]
9. Вычислим значение \(v_1\): \[ v_1 = 75 \]

Ответ: 75

Решение №85: Для решения задачи определим скорости автобусов и найдем расстояние между ними через 24 минуты после выезда.

1. Обозначим скорость первого автобуса как \(v_1 = 54\) км/ч. По условию, это составляет \(0,6\) от скорости второго автобуса \(v_2\).
2. Установим зависимость скоростей: \[ v_1 = 0,6 \cdot v_2 \] Подставим значение \(v_1\): \[ 54 = 0,6 \cdot v_2 \]
3. Решим уравнение для \(v_2\): \[ v_2 = \frac{54}{0,6} = 90 \text{ км/ч} \]
4. Второй автобус догнал первый через 1 час 30 минут (или 1,5 часа). Время догона одинаково для обоих автобусов, поэтому они прошли одинаковое расстояние \(d\).
5. Выразим расстояние \(d\), которое прошел первый автобус за 1,5 часа: \[ d = v_1 \cdot t = 54 \cdot 1,5 = 81 \text{ км} \]
6. Второй автобус прошел это же расстояние за 1,5 часа: \[ d = v_2 \cdot t_2 = 90 \cdot t_2 = 81 \text{ км} \] Решим уравнение для \(t_2\): \[ 90 \cdot t_2 = 81 \] \[ t_2 = \frac{81}{90} = \frac{9}{10} = 0,9 \text{ часа} \]
7. Теперь найдем расстояние между автобусами через 24 минуты (0,4 часа) после выезда. Первый автобус проехал: \[ d_1 = v_1 \cdot 0,4 = 54 \cdot 0,4 = 21,6 \text{ км} \]
8. Второй автобус проехал: \[ d_2 = v_2 \cdot 0,4 = 90 \cdot 0,4 = 36 \text{ км} \]
9. Расстояние между автобусами через 24 минуты: \[ \Delta d = d_2 - d_1 = 36 - 21,6 = 14,4 \text{ км} \]

Ответ: 39.6

Решение №936: Для решения задачи, в которой два рабочих одинаковой квалификации выполняют заказ, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность одного рабочего. \[ \text{Один рабочий выполняет заказ за 12 часов.} \]
2. Найдем долю заказа, выполненную одним рабочим за 1 час. \[ \text{Доля заказа, выполненная одним рабочим за 1 час} = \frac{1}{12} \]
3. Определим, сколько работы выполнил первый рабочий за первые 4 часа. \[ \text{За 4 часа первый рабочий выполнил} = 4 \times \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
4. Оставшаяся часть заказа после первых 4 часов. \[ \text{Оставшаяся часть заказа} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
5. Определим совместную производительность двух рабочих. \[ \text{Совместная производительность двух рабочих} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
6. Найдем время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. \[ \text{Оставшаяся часть заказа} = \frac{2}{3} \] \[ \text{Время для выполнения оставшейся части} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \text{ часа} \]
7. Общее время выполнения заказа. \[ \text{Общее время} = 4 \text{ часа (первый рабочий)} + 4 \text{ часа (оба рабочих)} = 8 \text{ часов} \]

Ответ: 8

Решение №940: Для решения задачи о встрече двух спортсменов на круговой беговой дорожке выполним следующие шаги: ### Встреча при движении в одном направлении

1. Обозначим длину круга как \(L\).
2. Скорость первого спортсмена: \[ v_1 = \frac{L}{15 \text{ мин}} \]
3. Скорость второго спортсмена: \[ v_2 = \frac{L}{20 \text{ мин}} \]
4. Встреча произойдет, когда суммарное расстояние, пройденное обоими спортсменами, будет равно \(L\). Пусть \(t\) — время до первой встречи. Тогда: \[ v_1 t + v_2 t = L \]
5. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t + \frac{L}{20} t = L \]
6. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) t = 1 \]
7. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60} \]
8. Решим уравнение: \[ \frac{7}{60} t = 1 \implies t = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ мин} \]

1. Обозначим длину круга как \(L\).
2. Скорость первого спортсмена: \[ v_1 = \frac{L}{15 \text{ мин}} \]
3. Скорость второго спортсмена: \[ v_2 = \frac{L}{20 \text{ мин}} \]
4. Встреча произойдет, когда разность расстояний, пройденных обоими спортсменами, будет равна \(L\). Пусть \(t\) — время до первой встречи. Тогда: \[ v_1 t - v_2 t = L \]
5. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t - \frac{L}{20} t = L \]
6. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{20}\right) t = 1 \]
7. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60} \]
8. Решим уравнение: \[ \frac{1}{60} t = 1 \implies t = 60 \text{ мин} \]

1. Пусть \(t_4\) — время до четвертой встречи.
2. Четвертая встреча произойдет, когда суммарное расстояние, пройденное обоими спортсменами, будет равно \(4L\). Тогда: \[ v_1 t_4 + v_2 t_4 = 4L \]
3. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t_4 + \frac{L}{20} t_4 = 4L \]
4. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) t_4 = 4 \]
5. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{7}{60} \]
6. Решим уравнение: \[ \frac{7}{60} t_4 = 4 \implies t_4 = \frac{4 \times 60}{7} \approx 34.29 \text{ мин} \]

1. Пусть \(t_4\) — время до четвертой встречи.
2. Четвертая встреча произойдет, когда разность расстояний, пройденных обоими спортсменами, будет равна \(4L\). Тогда: \[ v_1 t_4 - v_2 t_4 = 4L \]
3. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t_4 - \frac{L}{20} t_4 = 4L \]
4. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{20}\right) t_4 = 4 \]
5. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{1}{60} \]
6. Решим уравнение: \[ \frac{1}{60} t_4 = 4 \implies t_4 = 4 \times 60 = 240 \text{ мин} \]

Ответ: 60

Решение №2583: Пусть скорость автобуса по расписанию \( x \) км/ч, он ехал со скоростью \( x-10 \) км/ч. 30 минут=\( \frac{1}{2} \) часа. Время по расписанию \( \frac{100}{x} \) ч, во время непогоды \( \frac{100}{x-10} \) ч, отсюда \( \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}=\frac{1}{2} \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}-\frac{1}{2}=0 \frac{100*2*x-100*2(x-10)-x(x-10)}{2x(x-10)}=0 \frac{200x-200x+2000-x^{2}+10x}{2x(x-10)}=0 -x^{2}+10x+2000=0 2x(x-10)\neq 0; x\neq 0; x\neq 10 D=10^{2}-4*(-1)*2000=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{-2}=50 x_{2}=\frac{-10+90}{-2}=-40 \).

Ответ: 50 км/ч

Решение №2584: Пусть скорость велосипедиста до турбазы \( x \) км/ч, обратно он снизил скорость на 4 км/ч и ехал со скоростью \( x-4 \) км/ч. Расстояние 16 км он проехал туда и обратно за 3 часа 20 минут. 3 часа 20 минут= \( 3\frac{20}{60}=\frac{10}{3} \). \( \frac{16}{x}+\frac{16}{x-4}=\frac{10}{3} \frac{16*3(x-4)+16*3x+10x(x-4)}{3x(x-4)}=0 \frac{48x-192+48x-10x+40x}{3x(x-4)}=0 -10x^{2}+136x-192=0 3x(x-4)\neq 0; x\neq 0; x\neq 4 D=136^{2}-4*(-10)*(-192)=18496-7680=10816=104^{2} x_{1}=\frac{-136-104}{2*(-10)}=\frac{-240}{-20}=12 x_{2}=\frac{-136+104}{-20}=1,6 x=12; 12-4=8 \).

Ответ: 8 км/ч

Решение №2585: Пусть скорость автобуса \( x\) км/ч, то скорость такси \(x+20 \) км/ч, время движения автобуса \( \frac{40}{x} \), а такси \( \frac{40}{x+20} \), автобус вышел на 10 минут раньше, т.е. на \( \frac{1}{6} \) ч. Составляем уравнение: \( \frac{40}{x}-\frac{40}{x+20}=\frac{1}{6} \frac{40*6(x+20)-40*6x-x(x+20)}{6x(x+20)}=0 \frac{240x+4800-240x-x^{2}-20x}{6x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+4800=0 6x(x+20)\neq 0; x\neq 0; x\neq -20 D=(-20)^{2}-4*(-1)*4800=400+19200=19600=140^{2} x_{1}=\frac{20-140}{-2}=\frac{-120}{-2} x_{2}=\frac{20+140}{-2}=-80 x=60, 60+20=80 \) - скорость такси.

Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч

Решение №2589: Пусть первоначальная скорость поезда \( x \) км/ч то по расписанию время прохождения\( \frac{54}{x} \)ч. Фактически \( \frac{14}{x} \), затем 10 минут \( \frac{1}{6} \), затем \( \frac{54-14}{x+10}=\frac{40}{x+10} \)ч и опоздал на 2 минуты. 2мин=\( \frac{1}{30}\). Отсюда: \( \frac{54}{x}-\frac{1}{30}=\frac{14}{x}+\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6} \frac{54}{x}-\frac{14}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}; \frac{40}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{5} \frac{40}{x}=\frac{200+x+10}{5(x+10); \frac{40}{x}}=\frac{210+x}{5(x+10)}; x\neq 0; x+10\neq 0 x^{2}+210x=200(x+10) x^{2}+10x-2000=0 D=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{2}=-50 x_{2}=\frac{-10+90}{2}=40 \).

Ответ: 40 км/ч

Решение №2593: Пусть первоначальная скорость была \( x \) км/ч, обратно он проехал 2ч и проехал \( 2x \) км, осталось \(40-2x \) км. После остановки на 20 минут, он скорость увеличил и ехал \( x+4 \) км/ч, отсюда: \(\frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+2+\frac{1}{3} \frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+\frac{7}{3}; \frac{40}{x}=\frac{120-6x+7x+28}{3(x+4)} \frac{40}{x}=\frac{x+148}{3x+12}; 40(3x+2)=x(x+148) x^{2}+148x-120x-480=0 x^{2}+28x-480=0 x^{2}+28x-480=0 k=14 x_{1}=-k\pm \sqrt{k^{2}-c}=-14\pm \sqrt{196+480}=-14\pm \sqrt{676}=-14\pm 2b x_{1}=-14-2b=-40 x_{2}=-14+2b=12 x=12, 12+4=16 \).

Ответ: 16 км/ч

Решение №2598: Пусть скорость лодки в стоячей воде \( x \) км/ч, время движения в стоячей воде \( \frac{96}{x} \).Скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч, время \( \frac{54}{x+3} \) ч. Скорость лодки против течения \( x-3 \) км/ч, время \( \frac{42}{x-3} \) ч, отсюда \( \frac{54}{x+3}+\frac{42}{x-3}=\frac{96}{x} \frac{54x(x-3)+42x(x+3)-96(x^{2}-9)}{x(x-3)(x+3)}=0 \frac{54x^{2}-162x+42x^{2}+126x-96x^{2}+864}{x(x-3)(x+3)}=0 -36x+864=0; x(x-3)(x+3)\neq 0 -36x=-864 x=24 \).

Ответ: 24 км/ч

Решение №2602: пусть скорость лодки по озеру \( x \) км/ч, то скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч. По течению реки лодка прошла 6 км, а по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 час. Составляем уравнение: \( \frac{6}{x+3}+\frac{10}{x}=1 \frac{6x+10(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}=0 \frac{6x+10x+30-x^{2}-3x}{x(x+3)}=0 -x^{2}+13x+30=0 x(x+3)\neq 0 D=13^{2}-4*(-1)*30=169+120=1289=17^{2} x_{1}=\frac{-13-17}{-2}=15 x_{2}=\frac{-13+17}{-2}=-2 \).

Ответ: 15 км/ч

Решение №2604: Пусть скорость движения туриста по озеру равна \( x \) км/ч, зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, скорость байдарки по течению \( x+1\) км/ч, а против течения \( x-1 \) км/ч. Время против течения \( \frac{15}{x-1} \) ч, по течению \( \frac{14}{x+1} \) ч, по озеру \( \frac{30}{x \). Отсюда: \( \frac{15}{x-1}+\frac{14}{x+1}=\frac{30}{x} \frac{15x+15+14x-14}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} \frac{29x+1}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} (29x+1)x=30(x^{2}-1) 29x^{2}+x=30x^{2}-30 x(x^{2}-1)\neq 0 -x^{2}+x+30=0 D=1-4*(-1)*30=1+120=121=11^{2} x_{1}=\frac{-1-11}{-2}=6 x_{2}=\frac{-1+11}{-2}=-5 \).

Ответ: 6 км/ч

Решение №2606: Пусть \( x \) км/ч - скорость течения реки, тогда \( 12+x\) км/ч скорость лодки по течению, \( 12-x \) км/ч - скорость лодки против течения. Время по течению реки \( \frac{7}{12+x} \) ч, а против течения реки \( \frac{10}{12-x}\) ч. На путь по течению затрачено на 0, 5 ч меньше, чем против течения, отсюда \( \frac{7}{12+x}+0,5=\frac{10}{12-x} \frac{7}{12+x}-\frac{10}{12-x}+\frac{1}{2}=0 \frac{7*2(12-x)-10*2(12+x)+12^{2}-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 \frac{168-14x-240+20x+144-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 -x^{2}-34x+72=0 2(12+x)(12-x)\neq 0 D=(-34)^{2}-4*(-1)*72=1156+288=1444=38^{2} x_{1}=\frac{34-38}{-2}=2 x_{2}=\frac{34+38}{-2}=-36 \) -не удовлетворяет условиям.

Ответ: 2 км/ч, 10 км/ч.

Решение №2610: Пусть по плану токарь должен был обрабатывать \(x \) деталей в час, а фактически обрабатывал \( x+20 \) в час. Работу закончил на 1 час раньше, отсюда:\( \frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1 \frac{120(x+20)-120x-x(x+20)}{x(x+20)}=0 \frac{120x+2400-120x-x^{2}-20x}{x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+2400=0 x(x+20)\neq 0 D=(-20)^{2}-4*(-1)*2400=400+9600=10000=100^{2} x_{1}=\frac{20-100}{-2}=40 x_{2}=\frac{20+100}{-2}=-60 \).

Ответ: 40 деталей

Решение №2611: Пусть по плану бригада должна была изготовить \( x \) деталей, фактически \( x+2\) детали. Должна изготовить 120 деталей и закончила работа на 3 дня раньше срока. Составляем уравнение: \( \frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}=3 \frac{120(x+2)-120x-3x(x+2)}{x(x+2)}=0 \frac{120x+240-120x-3x^{2}-6x}{x(x+2)}=0 -3x^{2}-6x+240=0 x(x+2)\neq 0 -x^{2}-2x+80=0 D=(-2)^{2}-4*(-1)*80=4+320=324=18^{2} x_{1}=\frac{2-18}{-2}=8 x_{2}=\frac{2+18}{-2}=-10 \).

Ответ: 8 деталей.

Решение №2612: Пусть с первого поля \( x \)т с 1 га,а со второго \( x+10 \). С первого поля убрали 550т, а со второго 540 т, общая 20 га. Составляем уравнение: \( \frac{550}{x}+\frac{540}{x+10}=20 \frac{550(x+10)+540x-20(x+10x)}{x(x+10)}=0 \frac{-20x^{2}+200x+550x+5500+540x}{x(x+10)}=0 -20x^{2}+89+550=0 x(x+10)\neq 0 -2x^{2}+89x+550=0 D=89^{2}-4*(-2)*550=4921+4400=12321=111^{2} x_{1}=\frac{-89-111}{-4}=50 x_{2}=\frac{-89+111}{-4}=-5,5 x=50, 50+10=60 \).

Ответ: 50 т, 60 т.

Решение №2614: Пусть в сплаве \( x \) г серебра, то масса сплава \( x+80 \) г, а процентное содержание золота \( \frac{80}{x+80}*100% \). К сплаву добавили 100 г. Золота, масса стала \( x+180 \) г и процентное соотношение стало \( \frac{180}{x+180}*100% \) и увеличилось на 20%. Составляем уравнение: \( \frac{180}{x+180}*100%-\frac{80}{x+80}*100%=20% :20% \frac{180*5}{x+180}-\frac{80*5}{x+80}=1 \frac{900}{x+180}-\frac{400}{x+80}-1=0 \frac{900(x+80)-400(x+180)-(x+180)(x+80)}{(x+180)(x+80)}=0 \frac{900x+72000-400x-72000-x^{2}-80x-180x-14400}{(x+180)(x+80)}=0 -x^{2}+240x-14400=0; (x+180)(x+80)\neq 0 D=240^{2}-4*(-1)*(-14400)=57600-57600=0 x_{1}=\frac{-240}{-2}=120 \).

Ответ: 120 г.

Решение №3881: Для решения задачи о встрече плота и катера выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот отплыл из пункта A в пункт B.
   • Катер вышел из пункта B в пункт A.
   • Катер прошел все расстояние между A и B за 15 часов.
   • Плот прошел все расстояние за 60 часов.
2. Определим скорости плота и катера:
   • Пусть расстояние между пунктами A и B равно \(D\).
   • Скорость плота: \(V_{\text{плот}} = \frac{D}{60}\).
   • Скорость катера: \(V_{\text{катер}} = \frac{D}{15}\).
3. Выразим расстояние, пройденное плотом и катером до встречи:
   • Пусть время до встречи плота и катера равно \(t\).
   • Расстояние, пройденное плотом до встречи: \(V_{\text{плот}} \cdot t = \frac{D}{60} \cdot t\).
   • Расстояние, пройденное катером до встречи: \(V_{\text{катер}} \cdot t = \frac{D}{15} \cdot t\).
4. Составим уравнение для нахождения времени встречи:
   • Сумма расстояний, пройденных плотом и катером до встречи, равна \(D\):
   \[ \frac{D}{60} \cdot t + \frac{D}{15} \cdot t = D \]
5. Упростим уравнение:
   • Вынесем \(D\) за скобки:
   \[ D \left( \frac{t}{60} + \frac{t}{15} \right) = D \]
6. Разделим обе части уравнения на \(D\):
   • Получим:
   \[ \frac{t}{60} + \frac{t}{15} = 1 \]
7. Приведем дроби к общему знаменателю:
   • Найдем общий знаменатель (60):
   \[ \frac{t}{60} + \frac{4t}{60} = 1 \]
8. Сложим дроби:
   • Получим:
   \[ \frac{5t}{60} = 1 \]
9. Решим уравнение:
   • Умножим обе части уравнения на 60:
   \[ 5t = 60 \]
   • Разделим обе части на 5:
   \[ t = 12 \]

Ответ: 20

Решение №3882: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим время, за которое второй человек дойдет до опушки леса. Пусть это время будет \( t_1 \). \[ t_1 = \frac{6 \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{6}{5,5} \text{ ч} = \frac{60}{55} \text{ ч} = \frac{12}{11} \text{ ч} \]
2. Определим расстояние, которое первый человек пройдет за это время. Пусть это расстояние будет \( d_1 \). \[ d_1 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot \frac{12}{11} \text{ ч} = \frac{4,5 \cdot 12}{11} \text{ км} = \frac{54}{11} \text{ км} \]
3. Определим время, за которое второй человек вернется обратно к месту встречи. Пусть это время будет \( t_2 \). \[ t_2 = \frac{d_1}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{\frac{54}{11} \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{54}{11 \cdot 5,5} \text{ ч} = \frac{54}{60,5} \text{ ч} = \frac{54}{60,5} \text{ ч} = \frac{108}{121} \text{ ч} \]
4. Определим расстояние, которое первый человек пройдет за это время. Пусть это расстояние будет \( d_2 \). \[ d_2 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot \frac{108}{121} \text{ ч} = \frac{4,5 \cdot 108}{121} \text{ км} = \frac{486}{121} \text{ км} \]
5. Определим полное расстояние, которое первый человек пройдет до места встречи. Пусть это расстояние будет \( d \). \[ d = d_1 + d_2 = \frac{54}{11} \text{ км} + \frac{486}{121} \text{ км} = \frac{54 \cdot 11 + 486}{121} \text{ км} = \frac{594 + 486}{121} \text{ км} = \frac{1080}{121} \text{ км} \]
6. Определим расстояние от опушки до места встречи. Пусть это расстояние будет \( d_o \). \[ d_o = 6 \text{ км} - d = 6 \text{ км} - \frac{1080}{121} \text{ км} = \frac{726 - 1080}{121} \text{ км} = \frac{-354}{121} \text{ км} \]
7. Переведем расстояние в метры. \[ d_o = \frac{-354}{121} \text{ км} = \frac{-354000}{121} \text{ м} \]

Ответ: 600

Решение №3886: Для решения задачи о времени встречи плота и лодки, движущихся навстречу друг другу по реке, выполним следующие шаги:

1. Определим скорости плота и лодки относительно реки и берега:
• Скорость лодки относительно воды: \(8\) км/ч.
• Скорость течения реки: \(2\) км/ч.
• Скорость плота относительно берега: \(2\) км/ч (так как плот движется по течению).
2. Определим скорость лодки относительно берега:
• Если лодка движется против течения, ее скорость относительно берега будет: \[ 8 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч} \]
• Если лодка движется по течению, ее скорость относительно берега будет: \[ 8 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч} \]
3. Определим суммарную скорость сближения плота и лодки:
• Если лодка движется против течения, суммарная скорость сближения: \[ 6 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч} \]
• Если лодка движется по течению, суммарная скорость сближения: \[ 10 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим время встречи плота и лодки:
• Если лодка движется против течения, время встречи: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость сближения}} = \frac{20 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ часа} \]
• Если лодка движется по течению, время встречи: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость сближения}} = \frac{20 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 1.67 \text{ часа} \]

Ответ: 2.5

Решение №3888: Для решения задачи о времени, за которое катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот проплывает путь от A до B за 40 часов.
   • Катер проплывает путь от A до B за 4 часа.
2. Обозначим скорость плота как \(v_п\), а скорость катера как \(v_к\).
3. Пусть расстояние между A и B равно \(D\).
4. Скорость плота \(v_п\) можно выразить через время и расстояние: \[ v_п = \frac{D}{40} \]
5. Скорость катера \(v_к\) можно выразить через время и расстояние: \[ v_к = \frac{D}{4} \]
6. Теперь найдем отношение скоростей катера и плота: \[ \frac{v_к}{v_п} = \frac{\frac{D}{4}}{\frac{D}{40}} = \frac{40}{4} = 10 \] Таким образом, скорость катера в 10 раз больше скорости плота.
7. Для движения катера от B до A, относительная скорость катера по течению будет: \[ v_{\text{относит.}} = v_к - v_п \] Подставим значения: \[ v_{\text{относит.}} = 10v_п - v_п = 9v_п \]
8. Время \(t\), за которое катер проплывет путь от B до A, можно найти по формуле: \[ t = \frac{D}{v_{\text{относит.}}} \] Подставим значения: \[ t = \frac{D}{9v_п} = \frac{D}{9 \cdot \frac{D}{40}} = \frac{40}{9} \text{ часов} \]
9. Рассчитаем точное значение: \[ \frac{40}{9} \approx 4.44 \text{ часа} \]

Ответ: 5

Решение №3889: Для решения задачи о времени, необходимом плоту для проплывания одинакового расстояния по реке, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние, которое проплывает катер, как \(S\).
2. Обозначим скорость катера по озеру как \(V_o\) и скорость катера по течению реки как \(V_r\).
3. Из условия задачи: \[ S = V_o \cdot 7 \quad \text{(расстояние по озеру за 7 часов)} \] \[ S = V_r \cdot 6 \quad \text{(расстояние по течению реки за 6 часов)} \]
4. Теперь выразим скорости \(V_o\) и \(V_r\) через расстояние \(S\): \[ V_o = \frac{S}{7} \] \[ V_r = \frac{S}{6} \]
5. Скорость плота по течению реки будет равна разности скоростей катера по течению реки и по озеру: \[ V_p = V_r - V_o \]
6. Подставим выражения для \(V_o\) и \(V_r\) в уравнение для \(V_p\): \[ V_p = \frac{S}{6} - \frac{S}{7} \]
7. Найдем общее значение для \(V_p\): \[ V_p = \frac{7S - 6S}{42} = \frac{S}{42} \]
8. Теперь найдем время \(T\), необходимое плоту для проплывания расстояния \(S\) по реке: \[ T = \frac{S}{V_p} = \frac{S}{\frac{S}{42}} = 42 \]

Ответ: 30

Решение №3897: Для решения задачи о том, за сколько часов катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Плот проплывает путь от A до B за 30 часов, а катер – за 5 часов.
2. Обозначим расстояние между точками A и B как \(S\).
3. Обозначим скорость плота как \(V_п\), а скорость катера как \(V_к\).
4. Выразим скорость плота через расстояние и время: \[ V_п = \frac{S}{30} \]
5. Выразим скорость катера через расстояние и время: \[ V_к = \frac{S}{5} \]
6. Теперь найдем отношение скоростей катера и плота: \[ \frac{V_к}{V_п} = \frac{\frac{S}{5}}{\frac{S}{30}} = \frac{30}{5} = 6 \]
7. Таким образом, скорость катера в 6 раз больше скорости плота.
8. Поскольку скорость катера в 6 раз больше скорости плота, катер проплывет обратный путь от B до A за время, в 6 раз меньшее, чем плот проплывет путь от A до B.
9. Время, за которое плот проплывает путь от A до B, равно 30 часов. Следовательно, время, за которое катер проплывет путь от B до A, будет: \[ \text{Время катера} = \frac{30}{6} = 5 \text{ часов} \]

Ответ: 6

Решение №3900: Для решения задачи о скорости течения реки выполним следующие шаги:

1. Обозначим неизвестные:
   • \(v\) — скорость катера в стоячей воде (км/ч),
   • \(u\) — скорость течения реки (км/ч).
2. Составим уравнения движения катера:
   • По течению: \(87.5 = (v + u) \cdot 5\),
   • Против течения: \(87.5 = (v - u) \cdot 7\).
3. Разделим уравнения на время, чтобы найти скорости:
   • \(v + u = \frac{87.5}{5} = 17.5\),
   • \(v - u = \frac{87.5}{7} \approx 12.5\).
4. Сложим и вычтем уравнения для нахождения \(v\) и \(u\):
   • Сложим уравнения: \( (v + u) + (v - u) = 17.5 + 12.5 \)
   • \(2v = 30\)
   • \(v = 15\)
5. Вычтем уравнения:
   • \((v + u) - (v - u) = 17.5 - 12.5\)
   • \(2u = 5\)
   • \(u = 2.5\)
6. Таким образом, скорость течения реки \(u = 2.5\) км/ч.

Ответ: 2.5