Решение №3897: Для решения задачи о том, за сколько часов катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Плот проплывает путь от A до B за 30 часов, а катер – за 5 часов.
2. Обозначим расстояние между точками A и B как \(S\).
3. Обозначим скорость плота как \(V_п\), а скорость катера как \(V_к\).
4. Выразим скорость плота через расстояние и время: \[ V_п = \frac{S}{30} \]
5. Выразим скорость катера через расстояние и время: \[ V_к = \frac{S}{5} \]
6. Теперь найдем отношение скоростей катера и плота: \[ \frac{V_к}{V_п} = \frac{\frac{S}{5}}{\frac{S}{30}} = \frac{30}{5} = 6 \]
7. Таким образом, скорость катера в 6 раз больше скорости плота.
8. Поскольку скорость катера в 6 раз больше скорости плота, катер проплывет обратный путь от B до A за время, в 6 раз меньшее, чем плот проплывет путь от A до B.
9. Время, за которое плот проплывает путь от A до B, равно 30 часов. Следовательно, время, за которое катер проплывет путь от B до A, будет: \[ \text{Время катера} = \frac{30}{6} = 5 \text{ часов} \]

Ответ: 6

Решение №3900: Для решения задачи о скорости течения реки выполним следующие шаги:

1. Обозначим неизвестные:
   • \(v\) — скорость катера в стоячей воде (км/ч),
   • \(u\) — скорость течения реки (км/ч).
2. Составим уравнения движения катера:
   • По течению: \(87.5 = (v + u) \cdot 5\),
   • Против течения: \(87.5 = (v - u) \cdot 7\).
3. Разделим уравнения на время, чтобы найти скорости:
   • \(v + u = \frac{87.5}{5} = 17.5\),
   • \(v - u = \frac{87.5}{7} \approx 12.5\).
4. Сложим и вычтем уравнения для нахождения \(v\) и \(u\):
   • Сложим уравнения: \( (v + u) + (v - u) = 17.5 + 12.5 \)
   • \(2v = 30\)
   • \(v = 15\)
5. Вычтем уравнения:
   • \((v + u) - (v - u) = 17.5 - 12.5\)
   • \(2u = 5\)
   • \(u = 2.5\)
6. Таким образом, скорость течения реки \(u = 2.5\) км/ч.

Ответ: 2.5

Решение №3908: Для решения задачи о расстоянии между двумя пристанями выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Время прохождения против течения: 1 час 30 минут (1.5 часа).
   • Время прохождения по течению: 1 час 12 минут (1.2 часа).
   • Скорость течения реки: 1.2 км/ч.
2. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \(v\) (км/ч), а расстояние между пристанями как \(d\) (км).
3. Составим уравнения для времени прохождения:
   • Против течения: \[ \frac{d}{v - 1.2} = 1.5 \]
   • По течению: \[ \frac{d}{v + 1.2} = 1.2 \]
4. Решим уравнение для прохождения против течения: \[ d = 1.5(v - 1.2) \]
5. Решим уравнение для прохождения по течению: \[ d = 1.2(v + 1.2) \]
6. Приравняем выражения для \(d\): \[ 1.5(v - 1.2) = 1.2(v + 1.2) \]
7. Раскроем скобки: \[ 1.5v - 1.8 = 1.2v + 1.44 \]
8. Перенесем все \(v\) на одну сторону уравнения: \[ 1.5v - 1.2v = 1.44 + 1.8 \] \[ 0.3v = 3.24 \]
9. Решим уравнение для \(v\): \[ v = \frac{3.24}{0.3} = 10.8 \text{ км/ч} \]
10. Подставим \(v\) в одно из уравнений для \(d\): \[ d = 1.2(v + 1.2) \] \[ d = 1.2(10.8 + 1.2) \] \[ d = 1.2 \cdot 12 = 14.4 \text{ км} \]

Ответ: 14.4

Решение №7768: Для решения задачи о собственной скорости катера выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнения для движения катера по течению и против течения:
   • Скорость катера по течению: \( \frac{87.5 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 17.5 \text{ км/ч} \)
   • Скорость катера против течения: \( \frac{87.5 \text{ км}}{7 \text{ ч}} \approx 12.5 \text{ км/ч} \)
2. Обозначим \( V \) — собственную скорость катера, \( V_t \) — скорость течения реки. Тогда:
   • Скорость катера по течению: \( V + V_t = 17.5 \text{ км/ч} \)
   • Скорость катера против течения: \( V - V_t = 12.5 \text{ км/ч} \)
3. Сложим уравнения для устранения \( V_t \): \[ (V + V_t) + (V - V_t) = 17.5 + 12.5 \]
4. Упростим уравнение: \[ 2V = 30 \]
5. Решим уравнение для \( V \): \[ V = \frac{30}{2} = 15 \text{ км/ч} \]

Ответ: 15

Решение №7770: Для решения задачи о собственной скорости теплохода выполним следующие шаги:

1. Обозначим собственную скорость теплохода как \(v\) (в км/ч), а скорость течения реки как \(u\) (в км/ч).
2. Запишем уравнения для движения теплохода по течению и против течения:
   • По течению: \(330 = (v + u) \cdot 12\)
   • Против течения: \(240.5 = (v - u) \cdot 13\)
3. Распишем уравнения:
   • \(330 = 12v + 12u\)
   • \(240.5 = 13v - 13u\)
4. Упростим уравнения:
   • \(330 = 12(v + u)\)
   • \(240.5 = 13(v - u)\)
5. Разделим обе части уравнений на соответствующие коэффициенты:
   • \(27.5 = v + u\)
   • \(18.5 = v - u\)
6. Сложим полученные уравнения для исключения \(u\): \[ (27.5) + (18.5) = (v + u) + (v - u) \] \[ 46 = 2v \]
7. Разделим обе части уравнения на 2: \[ v = 23 \]
8. Таким образом, собственная скорость теплохода равна 23 км/ч.

Ответ: 23

Решение №7776: Для решения задачи о моторной лодке и плоте выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Моторная лодка прошла 90 км по течению реки за 6 ч.
   • Моторная лодка прошла 90 км против течения реки за 10 ч.
2. Найдем скорость лодки по течению и против течения:
   • Скорость лодки по течению \(v_{\text{по течению}} = \frac{90 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 15 \text{ км/ч}\).
   • Скорость лодки против течения \(v_{\text{против течения}} = \frac{90 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 9 \text{ км/ч}\).
3. Найдем скорость течения реки:
   • Скорость течения реки \(v_{\text{река}} = \frac{v_{\text{по течению}} - v_{\text{против течения}}}{2} = \frac{15 \text{ км/ч} - 9 \text{ км/ч}}{2} = 3 \text{ км/ч}\).
4. Найдем время, за которое плот проплывет 90 км по течению реки:
   • Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 3 км/ч.
   • Время \(t = \frac{90 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 30 \text{ ч}\).
5. Заключение:
   • Плот проплывет 90 км по течению реки за 30 часов.

Ответ: 12

Решение №7777: Для решения задачи о моторной лодке, прошедшей 90 км по течению реки за 6 ч и против течения за 10 ч, выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \(v\) (км/ч), а скорость течения реки как \(u\) (км/ч).
2. Составим уравнения для скорости лодки по течению и против течения:
   • Скорость лодки по течению: \(v + u\)
   • Скорость лодки против течения: \(v - u\)
3. Используем данные задачи для составления уравнений:
   • По течению: \(90 \text{ км} = 6 \text{ ч} \cdot (v + u)\)
   • Против течения: \(90 \text{ км} = 10 \text{ ч} \cdot (v - u)\)
4. Решим уравнения для нахождения \(v\) и \(u\):
   • \(90 = 6(v + u) \Rightarrow v + u = 15\)
   • \(90 = 10(v - u) \Rightarrow v - u = 9\)
5. Сложим и вычтем уравнения для нахождения \(v\) и \(u\):
   • \((v + u) + (v - u) = 15 + 9 \Rightarrow 2v = 24 \Rightarrow v = 12\)
   • \((v + u) - (v - u) = 15 - 9 \Rightarrow 2u = 6 \Rightarrow u = 3\)
6. Определим время, за которое лодка проплывет 90 км по озеру (где скорость течения \(u = 0\)):
   • Скорость лодки по озеру: \(v = 12 \text{ км/ч}\)
   • Время: \(t = \frac{90 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 7.5 \text{ ч}\)

Ответ: 7.2

Решение №8603: Для решения задачи определим скорость теплохода по течению и против течения, а затем найдем скорость течения реки.

1. Определим скорость теплохода по течению: \[ \text{Скорость по течению} = \frac{\text{Расстояние по течению}}{\text{Время по течению}} = \frac{330 \, \text{км}}{12 \, \text{ч}} = 27.5 \, \text{км/ч} \]
2. Определим скорость теплохода против течения: \[ \text{Скорость против течения} = \frac{\text{Расстояние против течения}}{\text{Время против течения}} = \frac{240.5 \, \text{км}}{13 \, \text{ч}} = 18.5 \, \text{км/ч} \]
3. Скорость теплохода в стоячей воде (без течения) является средним арифметическим скоростей по течению и против течения: \[ \text{Скорость в стоячей воде} = \frac{\text{Скорость по течению} + \text{Скорость против течения}}{2} = \frac{27.5 \, \text{км/ч} + 18.5 \, \text{км/ч}}{2} = 23 \, \text{км/ч} \]
4. Скорость течения реки равна половине разности скоростей по течению и против течения: \[ \text{Скорость течения} = \frac{\text{Скорость по течению} - \text{Скорость против течения}}{2} = \frac{27.5 \, \text{км/ч} - 18.5 \, \text{км/ч}}{2} = 4.5 \, \text{км/ч} \]

Ответ: 4.5

Решение №8611: Для решения задачи о моторной лодке, которая прошла 80 км по течению реки за 4 часа и против течения реки за 5 часов, выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость моторной лодки в стоячей воде как \( v \) км/ч, а скорость течения реки как \( u \) км/ч.
2. Скорость лодки по течению равна \( v + u \), а против течения – \( v - u \).
3. Запишем уравнения для скоростей: \[ v + u = \frac{80}{4} = 20 \quad \text{км/ч} \] \[ v - u = \frac{80}{5} = 16 \quad \text{км/ч} \]
4. Сложим эти уравнения, чтобы найти \( v \): \[ (v + u) + (v - u) = 20 + 16 \] \[ 2v = 36 \] \[ v = \frac{36}{2} = 18 \quad \text{км/ч} \]
5. Теперь найдем \( u \): \[ v + u = 20 \] \[ 18 + u = 20 \] \[ u = 20 - 18 = 2 \quad \text{км/ч} \]
6. Скорость моторной лодки в стоячей воде \( v \) равна 18 км/ч.
7. Время, за которое моторная лодка проплывет расстояние 80 км по озеру, найдем по формуле: \[ t = \frac{80}{v} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9} \approx 4.44 \quad \text{ч} \]

Ответ: 4.444

Решение №10180: Для решения задачи о скорости течения реки выполним следующие шаги:

1. Обозначим неизвестные:
   • \(v_c\) — скорость катера в стоячей воде (км/ч),
   • \(v_t\) — скорость течения реки (км/ч).
2. Запишем уравнения для движения катера по течению и против течения:
   • По течению: \( (v_c + v_t) \cdot 5 = 87.5 \)
   • Против течения: \( (v_c - v_t) \cdot 7 = 87.5 \)
3. Решим первое уравнение для движения по течению: \[ (v_c + v_t) \cdot 5 = 87.5 \] Разделим обе части уравнения на 5: \[ v_c + v_t = \frac{87.5}{5} = 17.5 \]
4. Решим второе уравнение для движения против течения: \[ (v_c - v_t) \cdot 7 = 87.5 \] Разделим обе части уравнения на 7: \[ v_c - v_t = \frac{87.5}{7} \approx 12.5 \]
5. Получим систему уравнений: \[ \begin{cases} v_c + v_t = 17.5 \\ v_c - v_t = 12.5 \end{cases} \]
6. Сложим оба уравнения для исключения \(v_t\): \[ (v_c + v_t) + (v_c - v_t) = 17.5 + 12.5 \] \[ 2v_c = 30 \] Разделим обе части уравнения на 2: \[ v_c = 15 \]
7. Подставим \(v_c = 15\) в первое уравнение для нахождения \(v_t\): \[ 15 + v_t = 17.5 \] Вычтем 15 из обеих частей уравнения: \[ v_t = 17.5 - 15 = 2.5 \]
8. Таким образом, скорость течения реки \(v_t = 2.5\) км/ч.

Ответ: 2.5

Решение №10185: Для решения задачи о собственной скорости катера выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Катер по течению реки прошел 87,5 км за 5 ч, а против течения это же расстояние он прошел за 7 ч.
2. Введем обозначения:
   • \(V_c\) — собственная скорость катера (км/ч),
   • \(V_r\) — скорость течения реки (км/ч).
3. Составим уравнения для движения по течению и против течения:
   • Движение по течению: \(87,5 = (V_c + V_r) \cdot 5\)
   • Движение против течения: \(87,5 = (V_c - V_r) \cdot 7\)
4. Решим уравнение для движения по течению: \[ V_c + V_r = \frac{87,5}{5} = 17,5 \]
5. Решим уравнение для движения против течения: \[ V_c - V_r = \frac{87,5}{7} \approx 12,5 \]
6. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} V_c + V_r = 17,5 \\ V_c - V_r = 12,5 \end{cases} \]
7. Сложим оба уравнения, чтобы исключить \(V_r\): \[ (V_c + V_r) + (V_c - V_r) = 17,5 + 12,5 \] \[ 2V_c = 30 \] \[ V_c = 15 \]

Ответ: 15

Решение №10189: Для решения задачи о моторной лодке и плоте, выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \(v_b\) и скорость течения реки как \(v_r\).
2. Скорость лодки по течению равна \(v_b + v_r\), а против течения – \(v_b - v_r\).
3. Из условия задачи имеем систему уравнений: \[ \frac{80 \text{ км}}{v_b + v_r} = 4 \text{ ч} \] \[ \frac{80 \text{ км}}{v_b - v_r} = 5 \text{ ч} \]
4. Решим первое уравнение: \[ v_b + v_r = \frac{80 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч} \]
5. Решим второе уравнение: \[ v_b - v_r = \frac{80 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч} \]
6. Получим систему уравнений: \[ \begin{cases} v_b + v_r = 20 \\ v_b - v_r = 16 \end{cases} \]
7. Сложим оба уравнения: \[ (v_b + v_r) + (v_b - v_r) = 20 + 16 \] \[ 2v_b = 36 \] \[ v_b = 18 \text{ км/ч} \]
8. Вычтем второе уравнение из первого: \[ (v_b + v_r) - (v_b - v_r) = 20 - 16 \] \[ 2v_r = 4 \] \[ v_r = 2 \text{ км/ч} \]
9. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \(v_r = 2 \text{ км/ч}\).
10. Время, за которое плот проплывет расстояние 80 км, определяется как: \[ t = \frac{80 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 40 \text{ ч} \]

Ответ: 40

Решение №10191: Для решения задачи о нахождении собственной скорости лодки выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Время прохождения расстояния против течения: 1 час 36 минут.
   • Время прохождения расстояния по течению: 1 час 20 минут.
   • Скорость течения реки: \( v_{\text{течения}} = 1,5 \text{ км/ч} \).
2. Переведем время в часы:
   • 1 час 36 минут = 1,6 часа.
   • 1 час 20 минут = 1,333 часа (или \(\frac{4}{3}\) часа).
3. Обозначим:
   • \( v_{\text{лодки}} \) — собственная скорость лодки.
   • \( S \) — расстояние между пристанями.
4. Составим уравнения для расстояния \( S \):
   • Против течения: \( S = (v_{\text{лодки}} - v_{\text{течения}}) \cdot 1,6 \).
   • По течению: \( S = (v_{\text{лодки}} + v_{\text{течения}}) \cdot 1,333 \).
5. Приравняем выражения для \( S \): \[ (v_{\text{лодки}} - v_{\text{течения}}) \cdot 1,6 = (v_{\text{лодки}} + v_{\text{течения}}) \cdot 1,333 \]
6. Подставим значение \( v_{\text{течения}} = 1,5 \): \[ (v_{\text{лодки}} - 1,5) \cdot 1,6 = (v_{\text{лодки}} + 1,5) \cdot 1,333 \]
7. Раскроем скобки: \[ 1,6 v_{\text{лодки}} - 2,4 = 1,333 v_{\text{лодки}} + 2 \]
8. Перенесем все члены с \( v_{\text{лодки}} \) в одну сторону, а свободные члены в другую: \[ 1,6 v_{\text{лодки}} - 1,333 v_{\text{лодки}} = 2 + 2,4 \]
9. Упростим уравнение: \[ 0,267 v_{\text{лодки}} = 4,4 \]
10. Решим уравнение относительно \( v_{\text{лодки}} \): \[ v_{\text{лодки}} = \frac{4,4}{0,267} \approx 16,48 \text{ км/ч} \]

Ответ: 16.5

Решение №10192: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Переведем время в часы:
   • 1 час 36 минут = 1.6 часа
   • 1 час 20 минут = 1.333 часа
2. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \(v\) (в км/ч), скорость течения реки как \(v_t = 1.5\) км/ч, а расстояние между пристанями как \(D\).
3. Запишем уравнения для времени прохождения расстояния против течения и по течению:
   • Против течения: \(\frac{D}{v - v_t} = 1.6\)
   • По течению: \(\frac{D}{v + v_t} = 1.333\)
4. Выразим \(D\) из обоих уравнений:
   • \(D = 1.6(v - 1.5)\)
   • \(D = 1.333(v + 1.5)\)
5. Приравняем выражения для \(D\): \[ 1.6(v - 1.5) = 1.333(v + 1.5) \]
6. Раскроем скобки: \[ 1.6v - 2.4 = 1.333v + 2 \]
7. Перенесем все члены с \(v\) на одну сторону уравнения: \[ 1.6v - 1.333v = 2 + 2.4 \]
8. Упростим уравнение: \[ 0.267v = 4.4 \]
9. Найдем \(v\): \[ v = \frac{4.4}{0.267} \approx 16.48 \text{ км/ч} \]
10. Подставим \(v\) в одно из уравнений для \(D\): \[ D = 1.6(v - 1.5) = 1.6(16.48 - 1.5) \approx 1.6 \times 14.98 \approx 23.97 \text{ км} \]

Ответ: 24

Решение №10193: Для решения задачи о собственной скорости лодки выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Время движения против течения: 1 час 30 минут = 1.5 часа.
   • Время движения по течению: 1 час 12 минут = 1.2 часа.
   • Скорость течения реки: 1.2 км/ч.
2. Обозначим собственную скорость лодки как \(v\) (в км/ч).
3. Составим уравнения для расстояния \(D\) между пристанями:
   • При движении против течения: \(D = (v - 1.2) \times 1.5\).
   • При движении по течению: \(D = (v + 1.2) \times 1.2\).
4. Приравняем выражения для расстояния \(D\): \[ (v - 1.2) \times 1.5 = (v + 1.2) \times 1.2 \]
5. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 1.5v - 1.8 = 1.2v + 1.44 \]
6. Перенесем все члены с \(v\) в одну сторону уравнения: \[ 1.5v - 1.2v = 1.44 + 1.8 \]
7. Упростим уравнение: \[ 0.3v = 3.24 \]
8. Решим уравнение, разделив обе части на 0.3: \[ v = \frac{3.24}{0.3} = 10.8 \]

Ответ: 10.8