Решение №14: Для решения задачи о времени, за которое моторная лодка проплывет путь от одной пристани до другой и обратно, выполним следующие шаги:

1. Определим скорость течения реки: \[ v_{\text{течения}} = \frac{1}{6} \cdot 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
2. Определим скорость лодки по течению: \[ v_{\text{по течению}} = 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} + 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 8,4 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
3. Определим скорость лодки против течения: \[ v_{\text{против течения}} = 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} - 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 6 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
4. Вычислим время, за которое лодка проплывет путь до другой пристани по течению: \[ t_{\text{по течению}} = \frac{12,3 \, \text{км}}{8,4 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 1,464 \, \text{ч} \]
5. Вычислим время, за которое лодка проплывет путь обратно против течения: \[ t_{\text{против течения}} = \frac{12,3 \, \text{км}}{6 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 2,05 \, \text{ч} \]
6. Найдем общее время пути: \[ t_{\text{общее}} = t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = 1,464 \, \text{ч} + 2,05 \, \text{ч} = 3,514 \, \text{ч} \]

Ответ: 3.514

Решение №38: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки на озере как \(v_L\) и скорость плота на реке как \(v_P\).
2. Пусть \(S\) — расстояние, которое проплывают лодка и плот.
3. Запишем уравнения для времени прохождения расстояния \(S\): \[ \frac{S}{v_L} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{S}{v_P} = 20 \]
4. Выразим скорости \(v_L\) и \(v_P\) через расстояние \(S\): \[ v_L = \frac{S}{5} \quad \text{и} \quad v_P = \frac{S}{20} \]
5. Пусть \(v_T\) — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки будет \(v_L + v_T\).
6. Запишем уравнение для времени \(t\), которое лодка затратит на прохождение расстояния \(S\) по течению реки: \[ \frac{S}{v_L + v_T} = t \]
7. Подставим выражения для \(v_L\) и \(v_P\) в уравнение: \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + v_T} = t \]
8. Поскольку \(v_T = v_P\) (скорость течения реки равна скорости плота), подставим \(v_P\): \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + \frac{S}{20}} = t \]
9. Упростим выражение в знаменателе: \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + \frac{S}{20}} = \frac{S}{\frac{4S + S}{20}} = \frac{S}{\frac{5S}{20}} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = 4 \]
10. Таким образом, лодка затратит 4 часа на прохождение того же расстояния по течению реки.

Ответ: 4

Решение №45: Для решения задачи о расстоянии, которое проплывет катер, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Собственная скорость катера: \( v_c = 14,7 \) км/ч.
   • Скорость катера против течения реки: \( v_{up} = 10,2 \) км/ч.
   • Время движения по течению реки: \( t_{down} = 2 \) ч.
   • Время движения против течения реки: \( t_{up} = 4,5 \) ч.
2. Найдем скорость течения реки \( v_r \):
   • Скорость катера по течению реки: \( v_{down} = v_c + v_r \).
   • Скорость катера против течения реки: \( v_{up} = v_c - v_r \).
   Подставим известные значения: \[ v_{up} = v_c - v_r \implies 10,2 = 14,7 - v_r \implies v_r = 14,7 - 10,2 = 4,5 \text{ км/ч} \]
3. Найдем скорость катера по течению реки \( v_{down} \): \[ v_{down} = v_c + v_r = 14,7 + 4,5 = 19,2 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим расстояние, пройденное по течению реки за \( 2 \) ч: \[ S_{down} = v_{down} \cdot t_{down} = 19,2 \cdot 2 = 38,4 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояние, пройденное против течения реки за \( 4,5 \) ч: \[ S_{up} = v_{up} \cdot t_{up} = 10,2 \cdot 4,5 = 45,9 \text{ км} \]
6. Найдем общее расстояние, пройденное катером: \[ S_{total} = S_{down} + S_{up} = 38,4 + 45,9 = 84,3 \text{ км} \]

Ответ: 84.3

Решение №2598: Пусть скорость лодки в стоячей воде \( x \) км/ч, время движения в стоячей воде \( \frac{96}{x} \).Скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч, время \( \frac{54}{x+3} \) ч. Скорость лодки против течения \( x-3 \) км/ч, время \( \frac{42}{x-3} \) ч, отсюда \( \frac{54}{x+3}+\frac{42}{x-3}=\frac{96}{x} \frac{54x(x-3)+42x(x+3)-96(x^{2}-9)}{x(x-3)(x+3)}=0 \frac{54x^{2}-162x+42x^{2}+126x-96x^{2}+864}{x(x-3)(x+3)}=0 -36x+864=0; x(x-3)(x+3)\neq 0 -36x=-864 x=24 \).

Ответ: 24 км/ч

Решение №2602: пусть скорость лодки по озеру \( x \) км/ч, то скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч. По течению реки лодка прошла 6 км, а по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 час. Составляем уравнение: \( \frac{6}{x+3}+\frac{10}{x}=1 \frac{6x+10(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}=0 \frac{6x+10x+30-x^{2}-3x}{x(x+3)}=0 -x^{2}+13x+30=0 x(x+3)\neq 0 D=13^{2}-4*(-1)*30=169+120=1289=17^{2} x_{1}=\frac{-13-17}{-2}=15 x_{2}=\frac{-13+17}{-2}=-2 \).

Ответ: 15 км/ч

Решение №2604: Пусть скорость движения туриста по озеру равна \( x \) км/ч, зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, скорость байдарки по течению \( x+1\) км/ч, а против течения \( x-1 \) км/ч. Время против течения \( \frac{15}{x-1} \) ч, по течению \( \frac{14}{x+1} \) ч, по озеру \( \frac{30}{x \). Отсюда: \( \frac{15}{x-1}+\frac{14}{x+1}=\frac{30}{x} \frac{15x+15+14x-14}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} \frac{29x+1}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} (29x+1)x=30(x^{2}-1) 29x^{2}+x=30x^{2}-30 x(x^{2}-1)\neq 0 -x^{2}+x+30=0 D=1-4*(-1)*30=1+120=121=11^{2} x_{1}=\frac{-1-11}{-2}=6 x_{2}=\frac{-1+11}{-2}=-5 \).

Ответ: 6 км/ч

Решение №2606: Пусть \( x \) км/ч - скорость течения реки, тогда \( 12+x\) км/ч скорость лодки по течению, \( 12-x \) км/ч - скорость лодки против течения. Время по течению реки \( \frac{7}{12+x} \) ч, а против течения реки \( \frac{10}{12-x}\) ч. На путь по течению затрачено на 0, 5 ч меньше, чем против течения, отсюда \( \frac{7}{12+x}+0,5=\frac{10}{12-x} \frac{7}{12+x}-\frac{10}{12-x}+\frac{1}{2}=0 \frac{7*2(12-x)-10*2(12+x)+12^{2}-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 \frac{168-14x-240+20x+144-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 -x^{2}-34x+72=0 2(12+x)(12-x)\neq 0 D=(-34)^{2}-4*(-1)*72=1156+288=1444=38^{2} x_{1}=\frac{34-38}{-2}=2 x_{2}=\frac{34+38}{-2}=-36 \) -не удовлетворяет условиям.

Ответ: 2 км/ч, 10 км/ч.

Решение №3881: Для решения задачи о встрече плота и катера выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот отплыл из пункта A в пункт B.
   • Катер вышел из пункта B в пункт A.
   • Катер прошел все расстояние между A и B за 15 часов.
   • Плот прошел все расстояние за 60 часов.
2. Определим скорости плота и катера:
   • Пусть расстояние между пунктами A и B равно \(D\).
   • Скорость плота: \(V_{\text{плот}} = \frac{D}{60}\).
   • Скорость катера: \(V_{\text{катер}} = \frac{D}{15}\).
3. Выразим расстояние, пройденное плотом и катером до встречи:
   • Пусть время до встречи плота и катера равно \(t\).
   • Расстояние, пройденное плотом до встречи: \(V_{\text{плот}} \cdot t = \frac{D}{60} \cdot t\).
   • Расстояние, пройденное катером до встречи: \(V_{\text{катер}} \cdot t = \frac{D}{15} \cdot t\).
4. Составим уравнение для нахождения времени встречи:
   • Сумма расстояний, пройденных плотом и катером до встречи, равна \(D\):
   \[ \frac{D}{60} \cdot t + \frac{D}{15} \cdot t = D \]
5. Упростим уравнение:
   • Вынесем \(D\) за скобки:
   \[ D \left( \frac{t}{60} + \frac{t}{15} \right) = D \]
6. Разделим обе части уравнения на \(D\):
   • Получим:
   \[ \frac{t}{60} + \frac{t}{15} = 1 \]
7. Приведем дроби к общему знаменателю:
   • Найдем общий знаменатель (60):
   \[ \frac{t}{60} + \frac{4t}{60} = 1 \]
8. Сложим дроби:
   • Получим:
   \[ \frac{5t}{60} = 1 \]
9. Решим уравнение:
   • Умножим обе части уравнения на 60:
   \[ 5t = 60 \]
   • Разделим обе части на 5:
   \[ t = 12 \]

Ответ: 20

Решение №3882: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим время, за которое второй человек дойдет до опушки леса. Пусть это время будет \( t_1 \). \[ t_1 = \frac{6 \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{6}{5,5} \text{ ч} = \frac{60}{55} \text{ ч} = \frac{12}{11} \text{ ч} \]
2. Определим расстояние, которое первый человек пройдет за это время. Пусть это расстояние будет \( d_1 \). \[ d_1 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot \frac{12}{11} \text{ ч} = \frac{4,5 \cdot 12}{11} \text{ км} = \frac{54}{11} \text{ км} \]
3. Определим время, за которое второй человек вернется обратно к месту встречи. Пусть это время будет \( t_2 \). \[ t_2 = \frac{d_1}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{\frac{54}{11} \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{54}{11 \cdot 5,5} \text{ ч} = \frac{54}{60,5} \text{ ч} = \frac{54}{60,5} \text{ ч} = \frac{108}{121} \text{ ч} \]
4. Определим расстояние, которое первый человек пройдет за это время. Пусть это расстояние будет \( d_2 \). \[ d_2 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot \frac{108}{121} \text{ ч} = \frac{4,5 \cdot 108}{121} \text{ км} = \frac{486}{121} \text{ км} \]
5. Определим полное расстояние, которое первый человек пройдет до места встречи. Пусть это расстояние будет \( d \). \[ d = d_1 + d_2 = \frac{54}{11} \text{ км} + \frac{486}{121} \text{ км} = \frac{54 \cdot 11 + 486}{121} \text{ км} = \frac{594 + 486}{121} \text{ км} = \frac{1080}{121} \text{ км} \]
6. Определим расстояние от опушки до места встречи. Пусть это расстояние будет \( d_o \). \[ d_o = 6 \text{ км} - d = 6 \text{ км} - \frac{1080}{121} \text{ км} = \frac{726 - 1080}{121} \text{ км} = \frac{-354}{121} \text{ км} \]
7. Переведем расстояние в метры. \[ d_o = \frac{-354}{121} \text{ км} = \frac{-354000}{121} \text{ м} \]

Ответ: 600

Решение №3886: Для решения задачи о времени встречи плота и лодки, движущихся навстречу друг другу по реке, выполним следующие шаги:

1. Определим скорости плота и лодки относительно реки и берега:
• Скорость лодки относительно воды: \(8\) км/ч.
• Скорость течения реки: \(2\) км/ч.
• Скорость плота относительно берега: \(2\) км/ч (так как плот движется по течению).
2. Определим скорость лодки относительно берега:
• Если лодка движется против течения, ее скорость относительно берега будет: \[ 8 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч} \]
• Если лодка движется по течению, ее скорость относительно берега будет: \[ 8 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч} \]
3. Определим суммарную скорость сближения плота и лодки:
• Если лодка движется против течения, суммарная скорость сближения: \[ 6 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч} \]
• Если лодка движется по течению, суммарная скорость сближения: \[ 10 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим время встречи плота и лодки:
• Если лодка движется против течения, время встречи: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость сближения}} = \frac{20 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ часа} \]
• Если лодка движется по течению, время встречи: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость сближения}} = \frac{20 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 1.67 \text{ часа} \]

Ответ: 2.5

Решение №3888: Для решения задачи о времени, за которое катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот проплывает путь от A до B за 40 часов.
   • Катер проплывает путь от A до B за 4 часа.
2. Обозначим скорость плота как \(v_п\), а скорость катера как \(v_к\).
3. Пусть расстояние между A и B равно \(D\).
4. Скорость плота \(v_п\) можно выразить через время и расстояние: \[ v_п = \frac{D}{40} \]
5. Скорость катера \(v_к\) можно выразить через время и расстояние: \[ v_к = \frac{D}{4} \]
6. Теперь найдем отношение скоростей катера и плота: \[ \frac{v_к}{v_п} = \frac{\frac{D}{4}}{\frac{D}{40}} = \frac{40}{4} = 10 \] Таким образом, скорость катера в 10 раз больше скорости плота.
7. Для движения катера от B до A, относительная скорость катера по течению будет: \[ v_{\text{относит.}} = v_к - v_п \] Подставим значения: \[ v_{\text{относит.}} = 10v_п - v_п = 9v_п \]
8. Время \(t\), за которое катер проплывет путь от B до A, можно найти по формуле: \[ t = \frac{D}{v_{\text{относит.}}} \] Подставим значения: \[ t = \frac{D}{9v_п} = \frac{D}{9 \cdot \frac{D}{40}} = \frac{40}{9} \text{ часов} \]
9. Рассчитаем точное значение: \[ \frac{40}{9} \approx 4.44 \text{ часа} \]

Ответ: 5

Решение №3889: Для решения задачи о времени, необходимом плоту для проплывания одинакового расстояния по реке, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние, которое проплывает катер, как \(S\).
2. Обозначим скорость катера по озеру как \(V_o\) и скорость катера по течению реки как \(V_r\).
3. Из условия задачи: \[ S = V_o \cdot 7 \quad \text{(расстояние по озеру за 7 часов)} \] \[ S = V_r \cdot 6 \quad \text{(расстояние по течению реки за 6 часов)} \]
4. Теперь выразим скорости \(V_o\) и \(V_r\) через расстояние \(S\): \[ V_o = \frac{S}{7} \] \[ V_r = \frac{S}{6} \]
5. Скорость плота по течению реки будет равна разности скоростей катера по течению реки и по озеру: \[ V_p = V_r - V_o \]
6. Подставим выражения для \(V_o\) и \(V_r\) в уравнение для \(V_p\): \[ V_p = \frac{S}{6} - \frac{S}{7} \]
7. Найдем общее значение для \(V_p\): \[ V_p = \frac{7S - 6S}{42} = \frac{S}{42} \]
8. Теперь найдем время \(T\), необходимое плоту для проплывания расстояния \(S\) по реке: \[ T = \frac{S}{V_p} = \frac{S}{\frac{S}{42}} = 42 \]

Ответ: 30

Решение №3897: Для решения задачи о том, за сколько часов катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Плот проплывает путь от A до B за 30 часов, а катер – за 5 часов.
2. Обозначим расстояние между точками A и B как \(S\).
3. Обозначим скорость плота как \(V_п\), а скорость катера как \(V_к\).
4. Выразим скорость плота через расстояние и время: \[ V_п = \frac{S}{30} \]
5. Выразим скорость катера через расстояние и время: \[ V_к = \frac{S}{5} \]
6. Теперь найдем отношение скоростей катера и плота: \[ \frac{V_к}{V_п} = \frac{\frac{S}{5}}{\frac{S}{30}} = \frac{30}{5} = 6 \]
7. Таким образом, скорость катера в 6 раз больше скорости плота.
8. Поскольку скорость катера в 6 раз больше скорости плота, катер проплывет обратный путь от B до A за время, в 6 раз меньшее, чем плот проплывет путь от A до B.
9. Время, за которое плот проплывает путь от A до B, равно 30 часов. Следовательно, время, за которое катер проплывет путь от B до A, будет: \[ \text{Время катера} = \frac{30}{6} = 5 \text{ часов} \]

Ответ: 6

Решение №3900: Для решения задачи о скорости течения реки выполним следующие шаги:

1. Обозначим неизвестные:
   • \(v\) — скорость катера в стоячей воде (км/ч),
   • \(u\) — скорость течения реки (км/ч).
2. Составим уравнения движения катера:
   • По течению: \(87.5 = (v + u) \cdot 5\),
   • Против течения: \(87.5 = (v - u) \cdot 7\).
3. Разделим уравнения на время, чтобы найти скорости:
   • \(v + u = \frac{87.5}{5} = 17.5\),
   • \(v - u = \frac{87.5}{7} \approx 12.5\).
4. Сложим и вычтем уравнения для нахождения \(v\) и \(u\):
   • Сложим уравнения: \( (v + u) + (v - u) = 17.5 + 12.5 \)
   • \(2v = 30\)
   • \(v = 15\)
5. Вычтем уравнения:
   • \((v + u) - (v - u) = 17.5 - 12.5\)
   • \(2u = 5\)
   • \(u = 2.5\)
6. Таким образом, скорость течения реки \(u = 2.5\) км/ч.

Ответ: 2.5

Решение №3908: Для решения задачи о расстоянии между двумя пристанями выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Время прохождения против течения: 1 час 30 минут (1.5 часа).
   • Время прохождения по течению: 1 час 12 минут (1.2 часа).
   • Скорость течения реки: 1.2 км/ч.
2. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \(v\) (км/ч), а расстояние между пристанями как \(d\) (км).
3. Составим уравнения для времени прохождения:
   • Против течения: \[ \frac{d}{v - 1.2} = 1.5 \]
   • По течению: \[ \frac{d}{v + 1.2} = 1.2 \]
4. Решим уравнение для прохождения против течения: \[ d = 1.5(v - 1.2) \]
5. Решим уравнение для прохождения по течению: \[ d = 1.2(v + 1.2) \]
6. Приравняем выражения для \(d\): \[ 1.5(v - 1.2) = 1.2(v + 1.2) \]
7. Раскроем скобки: \[ 1.5v - 1.8 = 1.2v + 1.44 \]
8. Перенесем все \(v\) на одну сторону уравнения: \[ 1.5v - 1.2v = 1.44 + 1.8 \] \[ 0.3v = 3.24 \]
9. Решим уравнение для \(v\): \[ v = \frac{3.24}{0.3} = 10.8 \text{ км/ч} \]
10. Подставим \(v\) в одно из уравнений для \(d\): \[ d = 1.2(v + 1.2) \] \[ d = 1.2(10.8 + 1.2) \] \[ d = 1.2 \cdot 12 = 14.4 \text{ км} \]

Ответ: 14.4

Решение №3912: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки в озере через \(V_л\), скорость плота через \(V_п\) и скорость течения реки через \(V_т\).
2. Из условия задачи следует, что лодка проплывает определённое расстояние \(S\) по озеру за 5 часов. Таким образом, скорость лодки в озере: \[ V_л = \frac{S}{5} \]
3. Плот проплывает то же расстояние \(S\) по реке за 20 часов. Скорость плота равна скорости течения реки: \[ V_п = V_т = \frac{S}{20} \]
4. Теперь найдём время \(T\), которое потребуется лодке, чтобы проплыть то же расстояние \(S\) против течения реки. Скорость лодки против течения реки будет: \[ V_{\text{против}} = V_л - V_т \]
5. Подставим значения \(V_л\) и \(V_т\): \[ V_{\text{против}} = \frac{S}{5} - \frac{S}{20} \]
6. Приведём дроби к общему знаменателю и упростим: \[ V_{\text{против}} = \frac{4S}{20} - \frac{S}{20} = \frac{3S}{20} \]
7. Время \(T\), которое потребуется лодке, чтобы проплыть расстояние \(S\) против течения реки, найдём по формуле: \[ T = \frac{S}{V_{\text{против}}} = \frac{S}{\frac{3S}{20}} = \frac{20}{3} \]
8. Таким образом, время \(T\) составляет: \[ T = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ часов} \]

Ответ: 6.666

Решение №6472: Пусть турист плыл по озеру со скоростью \( x \) км/ч, тогда скорость байдарки по течению реки равна \( x+2 \) км/ч, а против течения \( x-2 \) км/ч. \( \frac{24}{x}+\frac{9}{x-2}=\frac{45}{x+2} \frac{24(x-2)(x+2)+9x(x+2)-45x(x-2)}{x(x-2)(x+2)}=0 \frac{24(x^{2}-4)+9x^{2}+18x-45x^{2}+90x}{x(x-2)(x+2)}=0 \frac{24x^{2}-96+9x^{2}+18x-5x^{2}+90x}{x(x-2)(x+2)}=0 -12x^{2}+108x-96=0 | :(-12) x(x-2)(x+2)\neq 0 x^{2}-9x+8=0 D=(-9)^{2}-4*8*1=81-32=49=7^{2} x_{1}=\frac{9-7}{2}=1 x_{2}=\frac{9+7}{2}=8 \).

Ответ: 8 км/ч

Решение №6473: Пусть скорость течения реки равна \( x \) км/ч, то скорость лодки по течению реки равна \( 6+x \) км/ч, а против \( 6-x \) км/ч. Составляем уравнение: \( \frac{3}{6+x}+\frac{3}{6-x}=\frac{4}{x} \frac{3}{6+x}+\frac{3}{6-x}-\frac{4}{x}=0 \frac{3x(6-x)+3(6+x)x}-4(36-x^{2}){x(6+x)(6-x)}=0 4x^{2}+36x-144=0 D=9^{2}-4*1*(-36)=81+144=225=15^{2} x_{1}=\frac{-9-15}{2}=-12 x_{2}=\frac{-9+15}{2}=3 \)

Ответ: 3 км/ч.

Решение №6476: Пусть собственная скорость лодки равна \( x\) км/ч, скорость течения реки км/ч, то скорость лодки против течения \( x-4\) км/ч. Лодка прошла 20 км против течения реки 414 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 час меньше. Составляем уравнение: \( \frac{20}{x-4}-\frac{14}{x}=1 \frac{20x-14(x-4)-x(x-4)}{x(x-4)}=0 \frac{20x-14x+56-x^{2}+4x}{x(x-4)}=0 -x^{2}+10x+56=0 x(x-4)\neq 0 D=10^{2}-4*(-1)*56=100+224=324=18^{2} x_{1}=\frac{-10-18}{-2}=14 x_{2}=\frac{-10+18}{-2}=-4 x=14, 14-4=0 \) - скорость лодки.

Ответ: 10 км/ч

Решение №6481: Пусть в колонне первоначально было \( x \) машин и предпологалось грузить \( \frac{60}{x} \) т. Добавилоcь еще 4 машины, их стало \( x+4 \) и грузим на машину \( \frac{60}{x+4} \), и это меньше на 0,5 т, чем предпологалось. Отсюда: \( \frac{60}{x}-\frac{60}{x+4}=\frac{1}{2} \frac{60*2(x+4)-60*2*x-x^{2}-x}{2x(x+4)}=0 \frac{-x^{2}-4x+120x+480-120x}{2x(x+4)}=0 -x^{2}-4x+480=0 2x(x+4)\neq 0 D=(-4)^{2}-4*(-1)*480=16+1920=1936=44^{2} x_{1}=\frac{4-44}{-2}=20 x_{2}=\frac{4+44}{-2}=-24 \).

Ответ: 20 машин

Решение №7757: Для решения задачи о пути, который пройдет катер за полтора часа против течения, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Собственная скорость катера: \(25,5 \, \text{км/ч}\)
   • Скорость течения: \(2,5 \, \text{км/ч}\)
   • Время движения: \(1.5 \, \text{часа}\)
2. Определим скорость катера против течения: \[ \text{Скорость против течения} = \text{Собственная скорость катера} - \text{Скорость течения} \] \[ \text{Скорость против течения} = 25,5 \, \text{км/ч} - 2,5 \, \text{км/ч} = 23 \, \text{км/ч} \]
3. Вычислим путь, пройденный катером за 1.5 часа против течения: \[ \text{Путь} = \text{Скорость против течения} \times \text{Время} \] \[ \text{Путь} = 23 \, \text{км/ч} \times 1.5 \, \text{часа} = 34.5 \, \text{км} \]

Ответ: 34.5

Решение №7764: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим время, за которое катер встретил плот, как \( t_1 = 4 \) часа.
2. Обозначим дополнительное время, которое катер потратил на путь до пункта B после встречи с плотом, как \( t_2 = 20 \) минут. Переведем это время в часы: \[ t_2 = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ часа} \]
3. Обозначим скорость катера как \( v_k \), а скорость плота как \( v_p \).
4. Катер встретил плот через 4 часа, поэтому плот за это время прошел расстояние \( 4v_p \).
5. Катер за это же время прошел расстояние \( 4v_k \).
6. После встречи катер прошел дополнительное расстояние \( \frac{1}{3}v_k \) за \( \frac{1}{3} \) часа.
7. Общее расстояние, пройденное катером, равно сумме расстояний до и после встречи с плотом: \[ 4v_k + \frac{1}{3}v_k = 4v_k + \frac{v_k}{3} = \frac{12v_k + v_k}{3} = \frac{13v_k}{3} \]
8. Общее расстояние между пунктами A и B равно \( 4v_p + \frac{13v_k}{3} \).
9. Так как плот и катер встретились через 4 часа после выхода, то расстояние, пройденное плотом за это время, равно \( 4v_p \).
10. Общее расстояние между пунктами A и B можно выразить через скорости плота и катера: \[ 4v_p + \frac{13v_k}{3} \]
11. Так как катер встретил плот через 4 часа, то расстояние, пройденное плотом за это время, равно \( 4v_p \).
12. Так как катер прошел общее расстояние \( \frac{13v_k}{3} \) за \( 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3} \) часа, то: \[ \frac{13v_k}{3} = 4v_p + \frac{13v_k}{3} \]
13. Таким образом, общее расстояние между пунктами A и B равно \( 4v_p \).
14. Теперь найдем время, за которое плот прошел это расстояние из B в A: \[ t = \frac{4v_p}{v_p} = 4 \text{ часа} \]

Ответ: 52

Решение №7767: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: собственная скорость лодки вчетверо больше скорости течения реки. Обозначим собственную скорость лодки как \(v_b\), а скорость течения реки как \(v_r\). Тогда: \[ v_b = 4v_r \]
2. Запишем уравнение для движения лодки против течения. Скорость лодки против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки: \[ v_{\text{против}} = v_b - v_r \]
3. Используем данные задачи: лодка прошла 10,8 км за 1,5 ч. Скорость лодки против течения равна: \[ v_{\text{против}} = \frac{10,8 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = 7,2 \text{ км/ч} \]
4. Подставим \(v_{\text{против}}\) в уравнение: \[ v_b - v_r = 7,2 \]
5. Подставим \(v_b = 4v_r\) в уравнение: \[ 4v_r - v_r = 7,2 \]
6. Упростим уравнение: \[ 3v_r = 7,2 \]
7. Найдем скорость течения реки \(v_r\): \[ v_r = \frac{7,2}{3} = 2,4 \text{ км/ч} \]
8. Найдем собственную скорость лодки \(v_b\): \[ v_b = 4v_r = 4 \times 2,4 = 9,6 \text{ км/ч} \]
9. Найдем скорость лодки по течению. Скорость лодки по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки: \[ v_{\text{по}} = v_b + v_r = 9,6 + 2,4 = 12 \text{ км/ч} \]

Ответ: 12

Решение №7768: Для решения задачи о собственной скорости катера выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнения для движения катера по течению и против течения:
   • Скорость катера по течению: \( \frac{87.5 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 17.5 \text{ км/ч} \)
   • Скорость катера против течения: \( \frac{87.5 \text{ км}}{7 \text{ ч}} \approx 12.5 \text{ км/ч} \)
2. Обозначим \( V \) — собственную скорость катера, \( V_t \) — скорость течения реки. Тогда:
   • Скорость катера по течению: \( V + V_t = 17.5 \text{ км/ч} \)
   • Скорость катера против течения: \( V - V_t = 12.5 \text{ км/ч} \)
3. Сложим уравнения для устранения \( V_t \): \[ (V + V_t) + (V - V_t) = 17.5 + 12.5 \]
4. Упростим уравнение: \[ 2V = 30 \]
5. Решим уравнение для \( V \): \[ V = \frac{30}{2} = 15 \text{ км/ч} \]

Ответ: 15

Решение №7770: Для решения задачи о собственной скорости теплохода выполним следующие шаги:

1. Обозначим собственную скорость теплохода как \(v\) (в км/ч), а скорость течения реки как \(u\) (в км/ч).
2. Запишем уравнения для движения теплохода по течению и против течения:
   • По течению: \(330 = (v + u) \cdot 12\)
   • Против течения: \(240.5 = (v - u) \cdot 13\)
3. Распишем уравнения:
   • \(330 = 12v + 12u\)
   • \(240.5 = 13v - 13u\)
4. Упростим уравнения:
   • \(330 = 12(v + u)\)
   • \(240.5 = 13(v - u)\)
5. Разделим обе части уравнений на соответствующие коэффициенты:
   • \(27.5 = v + u\)
   • \(18.5 = v - u\)
6. Сложим полученные уравнения для исключения \(u\): \[ (27.5) + (18.5) = (v + u) + (v - u) \] \[ 46 = 2v \]
7. Разделим обе части уравнения на 2: \[ v = 23 \]
8. Таким образом, собственная скорость теплохода равна 23 км/ч.

Ответ: 23

Решение №7776: Для решения задачи о моторной лодке и плоте выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Моторная лодка прошла 90 км по течению реки за 6 ч.
   • Моторная лодка прошла 90 км против течения реки за 10 ч.
2. Найдем скорость лодки по течению и против течения:
   • Скорость лодки по течению \(v_{\text{по течению}} = \frac{90 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 15 \text{ км/ч}\).
   • Скорость лодки против течения \(v_{\text{против течения}} = \frac{90 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 9 \text{ км/ч}\).
3. Найдем скорость течения реки:
   • Скорость течения реки \(v_{\text{река}} = \frac{v_{\text{по течению}} - v_{\text{против течения}}}{2} = \frac{15 \text{ км/ч} - 9 \text{ км/ч}}{2} = 3 \text{ км/ч}\).
4. Найдем время, за которое плот проплывет 90 км по течению реки:
   • Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 3 км/ч.
   • Время \(t = \frac{90 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 30 \text{ ч}\).
5. Заключение:
   • Плот проплывет 90 км по течению реки за 30 часов.

Ответ: 12

Решение №7777: Для решения задачи о моторной лодке, прошедшей 90 км по течению реки за 6 ч и против течения за 10 ч, выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \(v\) (км/ч), а скорость течения реки как \(u\) (км/ч).
2. Составим уравнения для скорости лодки по течению и против течения:
   • Скорость лодки по течению: \(v + u\)
   • Скорость лодки против течения: \(v - u\)
3. Используем данные задачи для составления уравнений:
   • По течению: \(90 \text{ км} = 6 \text{ ч} \cdot (v + u)\)
   • Против течения: \(90 \text{ км} = 10 \text{ ч} \cdot (v - u)\)
4. Решим уравнения для нахождения \(v\) и \(u\):
   • \(90 = 6(v + u) \Rightarrow v + u = 15\)
   • \(90 = 10(v - u) \Rightarrow v - u = 9\)
5. Сложим и вычтем уравнения для нахождения \(v\) и \(u\):
   • \((v + u) + (v - u) = 15 + 9 \Rightarrow 2v = 24 \Rightarrow v = 12\)
   • \((v + u) - (v - u) = 15 - 9 \Rightarrow 2u = 6 \Rightarrow u = 3\)
6. Определим время, за которое лодка проплывет 90 км по озеру (где скорость течения \(u = 0\)):
   • Скорость лодки по озеру: \(v = 12 \text{ км/ч}\)
   • Время: \(t = \frac{90 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 7.5 \text{ ч}\)

Ответ: 7.2

Решение №7784: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим скорость лодки на озере и скорость плота на реке. Пусть \( S \) — расстояние, которое проплывает лодка на озере за 4 часа и плот на реке за 12 часов.
2. Скорость лодки на озере: \[ V_{\text{лодки}} = \frac{S}{4} \]
3. Скорость плота на реке: \[ V_{\text{плота}} = \frac{S}{12} \]
4. Предположим, что скорость течения реки \( V_{\text{течения}} \). Тогда скорость плота на реке равна скорости течения: \[ V_{\text{плота}} = V_{\text{течения}} \]
5. Скорость лодки по течению реки будет суммой её собственной скорости и скорости течения: \[ V_{\text{лодки по течению}} = V_{\text{лодки}} + V_{\text{течения}} \]
6. Подставим значения скоростей: \[ V_{\text{лодки по течению}} = \frac{S}{4} + \frac{S}{12} \]
7. Найдем общий знаменатель и сложим дроби: \[ V_{\text{лодки по течению}} = \frac{3S}{12} + \frac{S}{12} = \frac{4S}{12} = \frac{S}{3} \]
8. Время, за которое лодка проплывёт расстояние \( S \) по течению реки: \[ t = \frac{S}{V_{\text{лодки по течению}}} = \frac{S}{\frac{S}{3}} = 3 \]

Ответ: 3

Решение №7790: Для решения задачи о расстоянии, которое проплывет теплоход, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Собственная скорость теплохода \(v_s = 32,5\) км/ч.
   • Скорость теплохода по течению реки \(v_t = 35\) км/ч.
   • Время движения по течению реки \(t_1 = 2,6\) ч.
   • Время движения против течения реки \(t_2 = 0,8\) ч.
2. Определим скорость течения реки \(v_r\): \[ v_t = v_s + v_r \implies v_r = v_t - v_s = 35 - 32,5 = 2,5 \text{ км/ч} \]
3. Определим скорость теплохода против течения реки: \[ v_{against} = v_s - v_r = 32,5 - 2,5 = 30 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим расстояние, пройденное по течению реки: \[ d_1 = v_t \cdot t_1 = 35 \cdot 2,6 = 91 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояние, пройденное против течения реки: \[ d_2 = v_{against} \cdot t_2 = 30 \cdot 0,8 = 24 \text{ км} \]
6. Вычислим общее расстояние, пройденное теплоходом: \[ d_{total} = d_1 + d_2 = 91 + 24 = 115 \text{ км} \]

Ответ: 115

Решение №7796: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Скорость течения реки: \(v_р = 3\) км/ч.
   • Скорость моторки относительно воды: \(v_м = 15\) км/ч.
   • Время, за которое плотовщик доплывает от конца плота к началу и обратно: \(t = 16\) минут \(40\) секунд.
2. Переведем время в часы: \[ t = 16 \text{ минут } 40 \text{ секунд} = 16 \cdot \frac{1}{60} \text{ часов } + 40 \cdot \frac{1}{3600} \text{ часов} \] \[ t = \frac{16}{60} + \frac{40}{3600} = \frac{16}{60} + \frac{40}{3600} = \frac{16 \cdot 60 + 40}{3600} = \frac{960 + 40}{3600} = \frac{1000}{3600} = \frac{5}{18} \text{ часов} \]
3. Найдем эффективную скорость моторки вниз по течению и вверх по течению:
   • Вниз по течению: \(v_{\text{вниз}} = v_м + v_р = 15 + 3 = 18\) км/ч.
   • Вверх по течению: \(v_{\text{вверх}} = v_м - v_р = 15 - 3 = 12\) км/ч.
4. Обозначим длину плота как \(L\). Время, затраченное на путь вниз по течению: \[ t_{\text{вниз}} = \frac{L}{v_{\text{вниз}}} = \frac{L}{18} \]
5. Время, затраченное на путь вверх по течению: \[ t_{\text{вверх}} = \frac{L}{v_{\text{вверх}}} = \frac{L}{12} \]
6. Общее время: \[ t = t_{\text{вниз}} + t_{\text{вверх}} = \frac{L}{18} + \frac{L}{12} \]
7. Найдем общее время в терминах \(L\): \[ \frac{L}{18} + \frac{L}{12} = \frac{2L}{36} + \frac{3L}{36} = \frac{5L}{36} \]
8. Приравняем общее время к известному времени: \[ \frac{5L}{36} = \frac{5}{18} \]
9. Решим уравнение для \(L\): \[ \frac{5L}{36} = \frac{5}{18} \] \[ L = \frac{36}{18} = 2 \text{ км} \]

Ответ: 2