Решение №2583: Пусть скорость автобуса по расписанию \( x \) км/ч, он ехал со скоростью \( x-10 \) км/ч. 30 минут=\( \frac{1}{2} \) часа. Время по расписанию \( \frac{100}{x} \) ч, во время непогоды \( \frac{100}{x-10} \) ч, отсюда \( \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}=\frac{1}{2} \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}-\frac{1}{2}=0 \frac{100*2*x-100*2(x-10)-x(x-10)}{2x(x-10)}=0 \frac{200x-200x+2000-x^{2}+10x}{2x(x-10)}=0 -x^{2}+10x+2000=0 2x(x-10)\neq 0; x\neq 0; x\neq 10 D=10^{2}-4*(-1)*2000=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{-2}=50 x_{2}=\frac{-10+90}{-2}=-40 \).

Ответ: 50 км/ч

Решение №2584: Пусть скорость велосипедиста до турбазы \( x \) км/ч, обратно он снизил скорость на 4 км/ч и ехал со скоростью \( x-4 \) км/ч. Расстояние 16 км он проехал туда и обратно за 3 часа 20 минут. 3 часа 20 минут= \( 3\frac{20}{60}=\frac{10}{3} \). \( \frac{16}{x}+\frac{16}{x-4}=\frac{10}{3} \frac{16*3(x-4)+16*3x+10x(x-4)}{3x(x-4)}=0 \frac{48x-192+48x-10x+40x}{3x(x-4)}=0 -10x^{2}+136x-192=0 3x(x-4)\neq 0; x\neq 0; x\neq 4 D=136^{2}-4*(-10)*(-192)=18496-7680=10816=104^{2} x_{1}=\frac{-136-104}{2*(-10)}=\frac{-240}{-20}=12 x_{2}=\frac{-136+104}{-20}=1,6 x=12; 12-4=8 \).

Ответ: 8 км/ч

Решение №2585: Пусть скорость автобуса \( x\) км/ч, то скорость такси \(x+20 \) км/ч, время движения автобуса \( \frac{40}{x} \), а такси \( \frac{40}{x+20} \), автобус вышел на 10 минут раньше, т.е. на \( \frac{1}{6} \) ч. Составляем уравнение: \( \frac{40}{x}-\frac{40}{x+20}=\frac{1}{6} \frac{40*6(x+20)-40*6x-x(x+20)}{6x(x+20)}=0 \frac{240x+4800-240x-x^{2}-20x}{6x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+4800=0 6x(x+20)\neq 0; x\neq 0; x\neq -20 D=(-20)^{2}-4*(-1)*4800=400+19200=19600=140^{2} x_{1}=\frac{20-140}{-2}=\frac{-120}{-2} x_{2}=\frac{20+140}{-2}=-80 x=60, 60+20=80 \) - скорость такси.

Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч

Решение №2589: Пусть первоначальная скорость поезда \( x \) км/ч то по расписанию время прохождения\( \frac{54}{x} \)ч. Фактически \( \frac{14}{x} \), затем 10 минут \( \frac{1}{6} \), затем \( \frac{54-14}{x+10}=\frac{40}{x+10} \)ч и опоздал на 2 минуты. 2мин=\( \frac{1}{30}\). Отсюда: \( \frac{54}{x}-\frac{1}{30}=\frac{14}{x}+\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6} \frac{54}{x}-\frac{14}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}; \frac{40}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{5} \frac{40}{x}=\frac{200+x+10}{5(x+10); \frac{40}{x}}=\frac{210+x}{5(x+10)}; x\neq 0; x+10\neq 0 x^{2}+210x=200(x+10) x^{2}+10x-2000=0 D=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{2}=-50 x_{2}=\frac{-10+90}{2}=40 \).

Ответ: 40 км/ч

Решение №2593: Пусть первоначальная скорость была \( x \) км/ч, обратно он проехал 2ч и проехал \( 2x \) км, осталось \(40-2x \) км. После остановки на 20 минут, он скорость увеличил и ехал \( x+4 \) км/ч, отсюда: \(\frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+2+\frac{1}{3} \frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+\frac{7}{3}; \frac{40}{x}=\frac{120-6x+7x+28}{3(x+4)} \frac{40}{x}=\frac{x+148}{3x+12}; 40(3x+2)=x(x+148) x^{2}+148x-120x-480=0 x^{2}+28x-480=0 x^{2}+28x-480=0 k=14 x_{1}=-k\pm \sqrt{k^{2}-c}=-14\pm \sqrt{196+480}=-14\pm \sqrt{676}=-14\pm 2b x_{1}=-14-2b=-40 x_{2}=-14+2b=12 x=12, 12+4=16 \).

Ответ: 16 км/ч

Решение №6452: На весь путь затратил 1,5 часа, отсюда \( \frac{18}{x}+\frac{6}{x-6}=1,5 \frac{18(x-6)+6x}{x(x-6)}=\frac{3}{2} \frac{18x-108+6x}{x(x-6)}-\frac{3}{2}=0 \frac{(24x-108)*2}-3x(x-6){2x(x-6)}=0 \frac{48x-216-3x^{2}+18x}{2x(x-6)}=0 -3x^{2}+66x-216=0 | : 3 2x(x-6)\neq 0 x^{2}-22x+72=0 D=(-22)^{2}+4*1*72=484-282=196=14^{2} x_{1}=\frac{22-14}{2}=4 x_{2}=\frac{22+14}{2}=18 x=18, 18-6=12 \).

Ответ: 12 км/ч

Решение №6459: Пусть первоначальная скорость автобуса равна \( x \) км/ч, за 2 часа он проехал 2 км, осталось \( 260-2x \) км и он увеличил скорость на 5 км/ч и ехал со скоростью \( x+5 \) км/ч и время затратил \( \frac{260-2x}{x+5} \). 30 мин =\( \frac{1}{2} \). Составляем уравнение: \( \frac{260}{x}-(2+\frac{260-x}{x+5})=\frac{1}{2} \frac{260}{x}-\frac{1}{2}=2+\frac{260-2x}{x+5} \frac{520-x}{2x}=\frac{2x+10+260-2x}{x+5} \frac{520-x}{2x}=\frac{270}{x+5} (520-x)(x+5)=270*2x 520x-x^{2}-5x+2600=540z -x^{2}-25x+2600=0 x^{2}+25x-2600=0 D=25^{2}-4*1*(-2600)=625+10400=11025=105^{2} x_{1}=\frac{-25-105}{2}=\frac{-130}{2} x_{2}=\frac{-25+105}{2}=40 \).

Ответ: 40 км/ч

Решение №6460: Пусть скорость велосипедиста от города до турбазы \( x \) км/ч, затратил \( \frac{30}{x} \). Обратно ехал 2 ч с той же скоростью, а затем \( x+3 \) км/ч, время на обратный путь \( 2+\frac{30-2x}{x+3} \) и это меньше на 6 минут=\( \frac{1}{10} \). Составляем уравнение: \( \frac{30}{x}-\frac{1}{10}=2+\frac{30-2x}{x+3} \frac{300-x}{10x}=\frac{2x+6+30-2x}{x+3} \frac{300-x}{10x}=\frac{36}{x+3}; (x+3)(300-x)=36*10x 300x-x^{2}+900-3x-360x=0 x\neq 0, x+3\neq 0 -x^{2}+63x+900=0 D=(-63)^{2}-4*(-1)*900=3969+3600=7569=87^{2} x_{1}=\frac{63-87}{-2}=12, x_{2}=\frac{63+87}{-2}=-75 x=12 2+\frac{30-2*12}{12+3}=2+\frac{6}{15}=2\frac{2}{5} \).

Ответ: 2 ч 24 мин

Решение №6463: пусть скорость одного поезда \( x \) км/ч, другого на 12 км/ч больше \( x+12 \) км/ч. Первый был на 30 минут в пути дольше и встретились они на середине пути, т.е. каждый прошел 120 км. Отсюда :\( \frac{120}{x}-\frac{1}{2}=\frac{120}{x+12};\frac{240-x}{2x}=\frac{120}{x+12} 240x=(240-x)(x+12), x(x+12)\neq 0 240x=240x-x^{2}+2880-12x x^{2}+12x+240x-240x-2880=0 x^{2}+12x-2880=0 D=12^{2}-1*1*(-2880)=144+11520=11664=108^{2} x_{1}=\frac{-12+108}{2}=48 x_{2}=\frac{-12-108}{2}=-60 x=48, 48+12=60 \).

Ответ: 60 км /ч

Решение №6465: Пусть предполагал ехать со скоростью \( x \) км/ч,
за 1 час 15 минут проехал \( 1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}x \), фактическая скорость была \( \frac{5}{4}x+1=\frac{5x+4}{4} \). Время по плану \( \frac{96}{x} \), Пусть предполагал ехать со скоростью \( x \) км/ч,
за 1 час 15 минут проехал \( 1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}x \), фактическая скорость была \( \frac{5}{4}x+1=\frac{5x+4}{4} \).
Время по плану \( \frac{96}{x} \), фактически \( 96 : (\frac{5x+4}{4})=\frac{96*4}{5x+4}=\frac{384}{5x+4} \) и это быстрее на 2ч. Составляем уравнение: $$ \frac{96}{x}-2=\frac{384}{5x+4}$$ $$ \frac{96(5x+4)-2x(5x+4)-384x}{x(5x+4)}=0$$ $$ \frac{480x+384-10x^{2}-8x-384x}{x(5x+4)}=0$$ $$ -10x^{2}+88x+384=0 | :(-2)$$ $$ 5x^{2}-44x-192=0$$ $$ D=(-44)^{2}-4*5*(-192)=1936+3840=5776=76^{2}$$ $$ x_{1}=\frac{44-76}{10}=\frac{-32}{10}=-3,2$$ x_{2}=\frac{44+76}{10}=\frac{64}{4}=16 \).фактически \( 96 : (\frac{5x+4}{4})=\frac{96*4}{5x+4}=\frac{384}{5x+4} \) и это быстрее на 2ч. Составляем уравнение: \( \frac{96}{x}-2=\frac{384}{5x+4} \frac{96(5x+4)-2x(5x+4)-384x}{x(5x+4)}=0 \frac{480x+384-10x^{2}-8x-384x}{x(5x+4)}=0 -10x^{2}+88x+384=0 | :(-2) 5x^{2}-44x-192=0 D=(-44)^{2}-4*5*(-192)=1936+3840=5776=76^{2} x_{1}=\frac{44-76}{10}=\frac{-32}{10}=-3,2 x_{2}=\frac{44+76}{10}=\frac{64}{4}=16 \).

Ответ: 16 км/ч

Решение №6470: Пусть скорость катера в стоячей воде равна \( x \) км/ч, т.к. скорость течения реки равна 3 км/ч, то скорость катера по течению реки равна\( x+3 \) км/ч, а против течения \( x-3 \) км/ч. Время по течению \( \frac{35}{x+3} \)ч, а время против течения \( \frac{35}{x-3} \). Все путешествие заняло 7 ч. \( \frac{35}{x+3}+\frac{35}{x-3}+3=7 \frac{35}{x+3}-\frac{35}{x-3}=4 \frac{35(x-3)+35(x+3)-4(x^{2}-9)}{(x+3)(x-3)}=0 \frac{35x-105+35x+105-4x^{2}+36}{(x+3)(x-3)} -4x^{2}+70x+36=0 | :(-2) (x+3)(x-3)\neq 0 2x^{2}-35x-18=0 D=(-35)^{2}-4*2*(-18)=1225+144=1369=17^{2} x_{1}=\frac{35-37}{2*2}=-\frac{1}{2} x_{2}=\frac{35+37}{4}=18 \).

Ответ: NaN

Решение №12748: 30 минут =\( \frac{1}{2} \) часа. Составляем уравнение: \( \frac{6}{x}-\frac{5}{x+1}=\frac{1}{2} \frac{6}{x}-\frac{5}{x+1}-\frac{1}{2}=0 \frac{6*2(x+1)-5*2x-x(x+1)}{2x(x+1)}=0 \frac{12x+12-10x-x^{2}-x}{2x(x+1)}=0 -x^{2}+x+12=0 x(x+1)\neq 0 x\neq 0, x\neq -1 D=1^{2}-4*(-1)*12=49=7^{2} x_{1}=\frac{-1-7}{2*(-1)}=4 x_{2}=\frac{-1+7}{-2}=-3 \).

Ответ: 4 км/ч

Решение №12751: 20 мин=\( \frac{20}{60}=\frac{1}{3} \) ч. Пусть скорость второго лыжника \( x \) км/ч, то скорость первого на 3 км/ч больше, значит \( x+3 \) км/ч. Расстояние в 30 км один прошел быстрее второго на \( \frac{1}{3} \) часа, отсюда \( \frac{30}{x+3}+\frac{x}{3}=\frac{30}{x}; \frac{30}{x+3}+\frac{x}{3}-\frac{30}{x}=0 \frac{30*3x+x(x+3)-30*3(x+3)}{3x(x+3)}=0 \frac{90x+x^{2}+3x-90x-270}{3x(x+3)}=0 x^{2}+3x-270=0 3x(x+3)\neq 0; x\neq 0, x\neq -3 D=9-4*1*(-270)=1089=33^{2} x_{1}=\frac{-3-33}{20}=-18 x_{2}=\frac{-3+33}{-2}=15 x=15, 15+3=18 \).

Ответ: 15 км/ч, 18км/ч.

Решение №12752: Первый приезжает на 1 час раньше. \( \frac{560}{x+10}+1=\frac{560}{x}; \frac{560}{x+10}+1-\frac{560}{x}=0 \frac{560x+x^{2}+10x-560x-5600}{x(x+10)}=0 x^{2}+10x-5600=0 x(x+10)\neq 0; x\neq 0; x\neq -10 D=10^{2}-4*1*(-5600)=100+22400=22500=150^{2} x_{1}=\frac{-10+150}{2}=70 x_{2}=\frac{-10-150}{2}=-80 x=70, 70+10=80 \).

Ответ: 80 км/ч, 70 км/ч

Решение №12758: Пусть длина маршрута равна \( x \)км, по плану должен приехать за 2 часа, со скоростью \( \frac{x}{2} \). Фактически время движения: \( 1) \frac{x-6}{\frac{x}{2}}=\frac{2(x-6)}{x} 2) \frac{6}{\frac{x}{2}-3}=6:(\frac{x-6}{2})=\frac{12}{x-6} \) и еще 6 мин =\( \frac{1}{10} \) ч. Получаем уравнение: \( \frac{2(x-6)}{x}+\frac{12}{x-6}=2+\frac{1}{10}; \frac{2x-12}{x}+\frac{12}{x-6}=\frac{21}{10} \frac{(2x-12)*10(x-6)+12*10x-21(x^{2}-6x)}{10x(x-6)}=0 (20x-120)(x-6)+120x-12x^{2}+126=0, x(x-6)\neq 0 20x^{2}-120x-120x+720+120x-21x^{2}+126x=0 -x^{2}+6x+720=0 D=6^{2}-4*(-1)*720=36+2880=2916=54^{2} x_{1}=\frac{-6-54}{2}=30 x_{2}=\frac{-6+54}{2}=-24 \).

Ответ: 30 км/ч

Решение №12761: 1) \( 44:4=11 \) км/ч - сумма их скоростей. Пусть первый пешеход шел со скоростью \( x \), то второй \( 11-x \) км/ч. Если бы первый вышел на 44 минуты раньше, то встреча произошла бы на середине пути, т.е. каждый пришел бы по 22 км. Составляем уравнение: \( \frac{22}{x}-\frac{11}{15}=\frac{22}{11-x} \frac{22}{x}-\frac{11}{15}-\frac{22}{11-x}=0; \frac{22*15(11-x)-11x(11-x)-22*15x}{15x(11-x)}=0 \frac{3630-330x-121x+11x^{2}-330x}{15x(11-x)}=0 11x^{2}-781x+3630=0 | : 11; 15x(11-x)\neq 0 x^{2}-71x+330=0 D=(-71)^{2}-4*1*330=5041-1320=3721=61^{2} x_{1}=\frac{71-61}{2}=5 x_{2}=\frac{71+61}{2}=66 x=5, 11-5=6 \).

Ответ: NaN

Решение №12764: Разделим путь на четыре участка по 1/4. На 1,2, 3 участке двигался \( х\) км, на 4 - \(х+20\). \( х+х+х+х+20=64*4\) (ведь 64 среднее арифмет., а участок из четырех частей) \( 4х+20=256 4х=236 х=236:4 х=59 км/ч\)  Проверка: \( 59+59+59+(59+20)=64\)

Ответ: 59 км/ч

Решение №12765: За \( x \) часов второй пешеход пройдет \( \frac{7}{7+9} \) частей пути, а за 7 часов - весь путь, значит \( x*1=7*\frac{7}{16} \). За \( x+2=\frac{49}{16}+2=\frac{81}{16} \) часа первый пешеход пройдет \( \frac{9}{16} \) пути, значит на весь путь у него уйдет \( \frac{81}{16}:\frac{9}{16} \).

Ответ: NaN

Решение №12767: Пусть соббственная скорость лодки\( x \)км /ч, т.к. скорость течения реки 3 км/ч, то скорость движения лодки по течению \( x+3 \), потратили \( \frac{5}{x+3} \). Скорость лодки против течения \( x-3 \) км/ч и время \( \frac{6}{x-3} \). На весь путь 1 час. \( \frac{5}{x+3}+\frac{6}{x-3}=1 \frac{5(x-3)+6(x+3)+18-x^{2}+9}{(x+3)(x-3)}=0 \frac{5x-15+6x+18-x^{2}+9}{(x+3)(x-3)}=0 x^{2}+11x+9+3=0 x\neq \pm 3 -x^{2}+9+11x+3=0 -x^{2}+11x+12=0 D=11^{2}-4*(-1)*12=121+48=169=13^{2} x_{1}=\frac{-11-13}{-2}=12; x_{2}=\frac{-11+13}{-2}=-1\) Собственная скорость лодки 12 км/ч, то по течению \(12+3=15 \).

Ответ: 15 км/ч

Решение №17539: Для решения задачи о расстоянии между двумя городами, которое проехал турист за три дня, выполним следующие шаги:

1. Обозначим общее расстояние между городами как \(D\).
2. Запишем расстояние, которое турист проехал в каждый из дней:
• В первый день: \(\frac{1}{5}D + 60\) км
• Во второй день: \(\frac{1}{4}D + 20\) км
• В третий день: \(\frac{23}{80}D + 25\) км
3. Суммарное расстояние, пройденное за три дня, равно общему расстоянию \(D\): \[ \left(\frac{1}{5}D + 60\right) + \left(\frac{1}{4}D + 20\right) + \left(\frac{23}{80}D + 25\right) = D \]
4. Объединим все части уравнения: \[ \frac{1}{5}D + \frac{1}{4}D + \frac{23}{80}D + 60 + 20 + 25 = D \]
5. Приведем все дроби к общему знаменателю 80: \[ \frac{16}{80}D + \frac{20}{80}D + \frac{23}{80}D + 105 = D \]
6. Сложим все коэффициенты при \(D\): \[ \frac{16 + 20 + 23}{80}D + 105 = D \]
7. Упростим выражение: \[ \frac{59}{80}D + 105 = D \]
8. Вычтем \(\frac{59}{80}D\) из обеих частей уравнения: \[ 105 = D - \frac{59}{80}D \]
9. Вынесем \(D\) за скобки: \[ 105 = D \left(1 - \frac{59}{80}\right) \]
10. Упростим выражение в скобках: \[ 105 = D \left(\frac{80}{80} - \frac{59}{80}\right) \]
11. Найдем разность: \[ 105 = D \left(\frac{21}{80}\right) \]
12. Разделим обе части уравнения на \(\frac{21}{80}\): \[ D = \frac{105 \cdot 80}{21} \]
13. Упростим выражение: \[ D = 5 \cdot 80 = 400 \]

Ответ: 400

Решение №17540: Для решения задачи о движении автомобиля из пункта А в пункт В и обратно, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Скорость автомобиля по ровному месту: \(70 \, \text{км/ч}\).
   • Скорость автомобиля в гору: \(60 \, \text{км/ч}\).
   • Скорость автомобиля под гору: \(75 \, \text{км/ч}\).
   • Общее время в пути: \(3 \, \text{ч} \, 20 \, \text{мин} = 3 + \frac{20}{60} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \, \text{ч}\).
   • Общая длина пути: \(250 \, \text{км}\).
2. Обозначим длину ровного участка пути как \(x \, \text{км}\), а длину участка в гору как \(y \, \text{км}\).
3. Запишем уравнение для общей длины пути: \[ 2x + 2y = 250 \] Упростим это уравнение: \[ x + y = 125 \]
4. Запишем уравнение для общего времени в пути: \[ \frac{x}{70} + \frac{y}{60} + \frac{y}{75} + \frac{x}{70} = \frac{10}{3} \] Упростим это уравнение: \[ \frac{2x}{70} + \frac{y}{60} + \frac{y}{75} = \frac{10}{3} \]
5. Приведем все члены к общему знаменателю: \[ \frac{2x}{70} = \frac{x}{35}, \quad \frac{y}{60} = \frac{y}{60}, \quad \frac{y}{75} = \frac{y}{75} \] Общий знаменатель для 35, 60 и 75 равен 300. Тогда: \[ \frac{6x}{300} + \frac{5y}{300} + \frac{4y}{300} = \frac{10}{3} \] Упростим: \[ \frac{6x + 5y + 4y}{300} = \frac{10}{3} \] \[ \frac{6x + 9y}{300} = \frac{10}{3} \] Умножим обе части на 300: \[ 6x + 9y = 1000 \]
6. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 125 \\ 6x + 9y = 1000 \end{cases} \]
7. Решим систему уравнений. Умножим первое уравнение на 6: \[ 6x + 6y = 750 \] Вычтем это уравнение из второго: \[ (6x + 9y) - (6x + 6y) = 1000 - 750 \] \[ 3y = 250 \] \[ y = \frac{250}{3} \approx 83.33 \, \text{км} \]
8. Подставим \(y\) в первое уравнение: \[ x + \frac{250}{3} = 125 \] \[ x = 125 - \frac{250}{3} \] \[ x = 125 - 83.33 \] \[ x \approx 41.67 \, \text{км} \]

Ответ: 105

Решение №17541: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость велосипедиста как \(v\) км/ч.
2. Обозначим скорость мотоциклиста как \(3v\) км/ч (так как она в 3 раза больше скорости велосипедиста).
3. Пусть расстояние между городами А и В равно \(d\) км.
4. Велосипедист выезжает из города А и едет к городу В, а мотоциклист выезжает из города В через 3 часа после велосипедиста.
5. Они встречаются посередине пути, то есть на расстоянии \(\frac{d}{2}\) км от города А.

1. Время, за которое велосипедист проедет \(\frac{d}{2}\) км, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{\frac{d}{2}}{v} = \frac{d}{2v} \]
2. Время, за которое мотоциклист проедет \(\frac{d}{2}\) км, можно выразить как: \[ t_2 = \frac{\frac{d}{2}}{3v} = \frac{d}{6v} \]
3. Так как мотоциклист выезжает через 3 часа после велосипедиста, то время, прошедшее с момента выезда велосипедиста до встречи, равно: \[ t_1 = t_2 + 3 \]
4. Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\): \[ \frac{d}{2v} = \frac{d}{6v} + 3 \]
5. Умножим все части уравнения на \(6v\) для устранения знаменателей: \[ 3d = d + 18v \]
6. Вычтем \(d\) из обеих частей уравнения: \[ 2d = 18v \]
7. Разделим обе части уравнения на 2: \[ d = 9v \]
8. Теперь подставим \(d = 9v\) в выражение для \(t_1\): \[ t_1 = \frac{d}{2v} = \frac{9v}{2v} = 4.5 \]

Ответ: 4.5

Решение №17542: Для решения задачи определим скорость мотоциклиста до задержки. Обозначим её как \( v \) км/ч.

1. Определим время, которое мотоциклист потратил бы на преодоление 80 км до задержки: \[ t_1 = \frac{80}{v} \]
2. После задержки мотоциклист увеличил свою скорость на 10 км/ч, таким образом, его новая скорость: \[ v + 10 \]
3. Определим время, которое мотоциклист потратил бы на преодоление 80 км после задержки: \[ t_2 = \frac{80}{v + 10} \]
4. Так как мотоциклист наверстал опоздание за 80 км, разница во времени должна быть равна времени задержки (24 минуты или 0.4 часа): \[ t_1 - t_2 = 0.4 \]
5. Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение: \[ \frac{80}{v} - \frac{80}{v + 10} = 0.4 \]
6. Найдем общее знаменатель и упростим уравнение: \[ \frac{80(v + 10) - 80v}{v(v + 10)} = 0.4 \] \[ \frac{80v + 800 - 80v}{v(v + 10)} = 0.4 \] \[ \frac{800}{v(v + 10)} = 0.4 \]
7. Умножим обе части уравнения на \( v(v + 10) \): \[ 800 = 0.4 v(v + 10) \] \[ 800 = 0.4 v^2 + 4v \]
8. Разделим обе части уравнения на 0.4: \[ 2000 = v^2 + 10v \]
9. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ v^2 + 10v - 2000 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 10 \), \( c = -2000 \): \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000)}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 8000}}{2} \] \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{8100}}{2} \] \[ v = \frac{-10 \pm 90}{2} \]
11. Найдем два возможных решения: \[ v = \frac{80}{2} = 40 \quad \text{и} \quad v = \frac{-100}{2} = -50 \]
12. Поскольку скорость не может быть отрицательной, выберем положительное значение: \[ v = 40 \]

Ответ: 40

Решение №17543: Для решения задачи о средней скорости поезда, который двигался с разными скоростями на разных участках, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: поезд двигался первую четверть пути со скоростью 80 км/ч, а оставшуюся часть – со скоростью 60 км/ч.
2. Представим общий путь как \(S\). Тогда первая четверть пути будет \(\frac{S}{4}\), а оставшаяся часть пути будет \(\frac{3S}{4}\).
3. Вычислим время, затраченное на прохождение первой четверти пути: \[ t_1 = \frac{\frac{S}{4}}{80} = \frac{S}{320} \]
4. Вычислим время, затраченное на прохождение оставшейся части пути: \[ t_2 = \frac{\frac{3S}{4}}{60} = \frac{3S}{240} = \frac{S}{80} \]
5. Найдем общее время \(T\), затраченное на прохождение всего пути: \[ T = t_1 + t_2 = \frac{S}{320} + \frac{S}{80} \]
6. Приведем дроби к общему знаменательному: \[ T = \frac{S}{320} + \frac{4S}{320} = \frac{5S}{320} \]
7. Упростим выражение для общего времени: \[ T = \frac{5S}{320} = \frac{S}{64} \]
8. Найдем среднюю скорость \(V_{\text{ср}}\) как отношение общего пути к общему времени: \[ V_{\text{ср}} = \frac{S}{T} = \frac{S}{\frac{S}{64}} = 64 \text{ км/ч} \]

Ответ: 64

Решение №17544: Для решения задачи о расстоянии, которое пролетел самолет, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние, которое пролетел самолет, как \(D\).
2. Обозначим расстояние, которое самолет пролетел до увеличения скорости, как \(d\).
3. Обозначим расстояние, которое самолет пролетел после увеличения скорости, как \(D - d\).
4. По условию задачи, когда самолету осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, его скорость увеличилась. Таким образом, можно записать: \[ D - d = d - 385 \]
5. Решим это уравнение для \(d\): \[ D - d = d - 385 \] \[ D = 2d - 385 \]
6. Средняя скорость самолета на всем пути равна 250 км/ч. Время полета на всем пути можно выразить через среднюю скорость: \[ \text{Время} = \frac{D}{250} \]
7. Время полета на первой части пути: \[ \text{Время}_1 = \frac{d}{220} \]
8. Время полета на второй части пути: \[ \text{Время}_2 = \frac{D - d}{330} \]
9. Сумма времен полета на обеих частях пути равна общему времени полета: \[ \frac{d}{220} + \frac{D - d}{330} = \frac{D}{250} \]
10. Подставим \(D = 2d - 385\) в уравнение: \[ \frac{d}{220} + \frac{(2d - 385) - d}{330} = \frac{2d - 385}{250} \] \[ \frac{d}{220} + \frac{d - 385}{330} = \frac{2d - 385}{250} \]
11. Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{d}{220} + \frac{d - 385}{330} = \frac{2d - 385}{250} \] \[ \frac{15d}{3300} + \frac{10(d - 385)}{3300} = \frac{11(2d - 385)}{3300} \] \[ \frac{15d + 10d - 3850}{3300} = \frac{22d - 4235}{3300} \] \[ 25d - 3850 = 22d - 4235 \] \[ 3d = 385 \] \[ d = \frac{385}{3} = 128.333 \]
12. Подставим \(d\) обратно в уравнение для \(D\): \[ D = 2d - 385 \] \[ D = 2 \cdot 128.333 - 385 \] \[ D = 256.666 - 385 \] \[ D = 256.666 + 385 = 641.666 \]

Ответ: 1375

Решение №17549: Решим задачу пошагово:

1. Обозначим скорость первого туриста как \(v_1\) км/ч, а скорость второго туриста как \(v_2\) км/ч.
2. По условию задачи, первый турист проезжает в час на 2 км больше второго, то есть: \[ v_1 = v_2 + 2 \]
3. Первый турист приезжает в город В на час раньше, чем второй в город А. Это означает, что время, за которое первый турист добирается до города В, на час меньше, чем время, за которое второй турист добирается до города А. Обозначим время, за которое первый турист добирается до города В, как \(t_1\), а время, за которое второй турист добирается до города А, как \(t_2\). Тогда: \[ t_2 = t_1 + 1 \]
4. Из условия задачи, расстояние между городами А и В равно 40 км. Поскольку оба туриста выезжают одновременно и движутся навстречу друг другу, время в пути для каждого туриста можно выразить через скорость и расстояние: \[ t_1 = \frac{40}{v_1} \] \[ t_2 = \frac{40}{v_2} \]
5. Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\) в уравнение \(t_2 = t_1 + 1\): \[ \frac{40}{v_2} = \frac{40}{v_1} + 1 \]
6. Подставим \(v_1 = v_2 + 2\) в полученное уравнение: \[ \frac{40}{v_2} = \frac{40}{v_2 + 2} + 1 \]
7. Умножим обе части уравнения на \(v_2(v_2 + 2)\) для устранения знаменателей: \[ 40(v_2 + 2) = 40v_2 + v_2(v_2 + 2) \]
8. Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 40v_2 + 80 = 40v_2 + v_2^2 + 2v_2 \]
9. Упростим уравнение: \[ 80 = v_2^2 + 2v_2 \]
10. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ v_2^2 + 2v_2 - 80 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение: \[ v_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1} \] \[ v_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} \] \[ v_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2} \] \[ v_2 = \frac{-2 \pm 18}{2} \]
12. Найдем два решения: \[ v_2 = \frac{16}{2} = 8 \] \[ v_2 = \frac{-20}{2} = -10 \quad (\text{неприемлемо, так как скорость не может быть отрицательной}) \]
13. Таким образом, скорость второго туриста \(v_2 = 8\) км/ч. Подставим это значение в уравнение \(v_1 = v_2 + 2\): \[ v_1 = 8 + 2 = 10 \]

Ответ: 10; 8

Решение №17550: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость грузовика как \(v\) км/ч. Тогда скорость автобуса будет \(v + 5\) км/ч.
2. Грузовик выехал первым и прошел 20 км до колхоза. Время, за которое грузовик прошел это расстояние, можно выразить как: \[ t_{\text{грузовик}} = \frac{20}{v} \]
3. Автобус выехал через 8 минут после грузовика. 8 минут переведем в часы: \[ 8 \text{ минут} = \frac{8}{60} \text{ часа} = \frac{2}{15} \text{ часа} \]
4. Время, за которое автобус прошел 20 км до колхоза, можно выразить как: \[ t_{\text{автобус}} = \frac{20}{v + 5} \]
5. Поскольку автобус выехал через \(\frac{2}{15}\) часа после грузовика и приехал одновременно с ним, время, за которое автобус прошел 20 км, на \(\frac{2}{15}\) часа меньше времени, за которое грузовик прошел 20 км: \[ t_{\text{автобус}} = t_{\text{грузовик}} - \frac{2}{15} \]
6. Подставим выражения для времени: \[ \frac{20}{v + 5} = \frac{20}{v} - \frac{2}{15} \]
7. Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{20}{v + 5} = \frac{20}{v} - \frac{2}{15} \] \[ \frac{20}{v + 5} = \frac{300 - 2v}{15v} \]
8. Умножим обе части уравнения на \(15v(v + 5)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 20 \cdot 15v = 300 \cdot (v + 5) - 2v \cdot (v + 5) \] \[ 300v = 300v + 1500 - 2v^2 - 10v \]
9. Упростим уравнение: \[ 300v = 300v + 1500 - 2v^2 - 10v \] \[ 0 = 1500 - 2v^2 - 10v \] \[ 2v^2 + 10v - 1500 = 0 \] \[ v^2 + 5v - 750 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение \(v^2 + 5v - 750 = 0\): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 5\), и \(c = -750\): \[ v = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750)}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 3000}}{2} \] \[ v = \frac{-5 \pm \sqrt{3025}}{2} \] \[ v = \frac{-5 \pm 55}{2} \]
11. Рассчитаем два возможных значения для \(v\): \[ v = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{или} \quad v = \frac{-60}{2} = -30 \]
12. Отбросим отрицательное значение \(v = -30\), так как скорость не может быть отрицательной. Получаем \(v = 25\) км/ч.
13. Таким образом, скорость автобуса: \[ v_{\text{автобус}} = v + 5 = 25 + 5 = 30 \text{ км/ч} \]

Ответ: 30

Решение №17551: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Пусть \( v \) (км/ч) — скорость, с которой путешественник предполагал пройти 30 км.
2. Путешественник шел с этой скоростью 1 час, следовательно, он прошел \( v \) км за 1 час.
3. Оставшееся расстояние составляет \( 30 - v \) км.
4. После первого часа скорость путешественника уменьшилась на 1 км/ч, то есть стала \( v - 1 \) км/ч.
5. Время, которое путешественник должен был затратить на прохождение всего пути при скорости \( v \) км/ч, составляет \( \frac{30}{v} \) часов.
6. Время, которое путешественник затратил на прохождение оставшегося расстояния \( 30 - v \) км со скоростью \( v - 1 \) км/ч, составляет \( \frac{30 - v}{v - 1} \) часов.
7. Общее время, затраченное путешественником, включая первый час, составляет \( 1 + \frac{30 - v}{v - 1} \) часов.
8. Путешественник прибыл на 1 час 15 минут позднее, чем предполагал. 1 час 15 минут — это \( \frac{5}{4} \) часа.
9. Составим уравнение, учитывая задержку: \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = 1 + \frac{30 - v}{v - 1} \]
10. Упростим уравнение: \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = 1 + \frac{30 - v}{v - 1} \] \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = 1 + \frac{30 - v}{v - 1} \] \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = \frac{30 - v + v - 1}{v - 1} \] \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = \frac{30 - 1}{v - 1} \] \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = \frac{29}{v - 1} \]
11. Умножим все части уравнения на \( 4v(v - 1) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 4v(v - 1) \left( \frac{30}{v} + \frac{5}{4} \right) = 4v(v - 1) \left( \frac{29}{v - 1} \right) \] \[ 4(v - 1)30 + 5v(v - 1) = 4v29 \] \[ 120(v - 1) + 5v(v - 1) = 116v \] \[ 120v - 120 + 5v^2 - 5v = 116v \] \[ 5v^2 + 120v - 5v - 120 = 116v \] \[ 5v^2 + 4v - 120 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение \( 5v^2 + 4v - 120 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 5, \quad b = 4, \quad c = -120 \] \[ v = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-120)}}{2 \cdot 5} \] \[ v = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 2400}}{10} \] \[ v = \frac{-4 \pm \sqrt{2416}}{10} \] \[ v = \frac{-4 \pm 49.15}{10} \] \[ v = \frac{45.15}{10} \quad \text{или} \quad v = \frac{-53.15}{10} \] \[ v = 4.515 \quad \text{или} \quad v = -5.315 \]
13. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 4.515 \) км/ч.

Ответ: 5

Решение №17552: Для решения задачи о скорости велосипедиста выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость велосипедиста как \(v_в\) км/мин, а скорость мотоциклиста как \(v_м\) км/мин.
2. По условию задачи, велосипедист проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, т.е. \[ v_м = v_в + 500 \text{ м/мин} \] Преобразуем скорость мотоциклиста в км/мин: \[ v_м = v_в + 0.5 \text{ км/мин} \]
3. Велосипедист затрачивает времени на 2 часа больше, чем мотоциклист. Обозначим время, которое тратит мотоциклист на путь в 120 км, как \(t_м\) часов, а время, которое тратит велосипедист, как \(t_в\) часов. Тогда: \[ t_в = t_м + 2 \]
4. Время, которое тратит мотоциклист на путь в 120 км, можно выразить через его скорость: \[ t_м = \frac{120}{v_м} \]
5. Время, которое тратит велосипедист на путь в 120 км, можно выразить через его скорость: \[ t_в = \frac{120}{v_в} \]
6. Подставим выражения для времени в уравнение \(t_в = t_м + 2\): \[ \frac{120}{v_в} = \frac{120}{v_м} + 2 \]
7. Подставим \(v_м = v_в + 0.5\) в уравнение: \[ \frac{120}{v_в} = \frac{120}{v_в + 0.5} + 2 \]
8. Решим полученное уравнение. Для этого умножим обе части уравнения на \(v_в(v_в + 0.5)\) для избавления от знаменателей: \[ 120(v_в + 0.5) = 120v_в + 2v_в(v_в + 0.5) \]
9. Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 120v_в + 60 = 120v_в + 2v_в^2 + v_в \] \[ 60 = 2v_в^2 + v_в \]
10. Решим квадратное уравнение \(2v_в^2 + v_в - 60 = 0\). Для этого найдем корни уравнения с помощью формулы квадратного уравнения: \[ v_в = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = 1\) и \(c = -60\): \[ v_в = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-60)}}{2 \cdot 2} \] \[ v_в = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 480}}{4} \] \[ v_в = \frac{-1 \pm \sqrt{481}}{4} \]
11. Найдем корни уравнения: \[ v_в = \frac{-1 + \sqrt{481}}{4} \quad \text{или} \quad v_в = \frac{-1 - \sqrt{481}}{4} \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \[ v_в = \frac{-1 + \sqrt{481}}{4} \]
12. Приблизительно вычислим значение: \[ v_в \approx \frac{-1 + 21.93}{4} \approx \frac{20.93}{4} \approx 5.2325 \text{ км/мин} \]
13. Переведем скорость велосипедиста в км/ч: \[ v_в \approx 5.2325 \times 60 \approx 313.95 \text{ км/ч} \]

Ответ: 30

Решение №17553: Для решения задачи определим скорость велосипедиста по ровной дороге и в гору. Обозначим: - \( v_1 \) — скорость велосипедиста по ровной дороге (км/ч), - \( v_2 \) — скорость велосипедиста в гору (км/ч).

1. Запишем уравнение для общего расстояния: \[ v_1 \cdot 1 + v_2 \cdot 1 = 25 \] где 1 час он ехал по ровной дороге, а 1 час – в гору.
2. Упростим уравнение: \[ v_1 + v_2 = 25 \]
3. Из условия задачи известно, что каждый километр по ровной дороге он проезжал на 2 минуты быстрее, чем в гору. Переведем 2 минуты в часы: \[ 2 \text{ минуты} = \frac{2}{60} \text{ часа} = \frac{1}{30} \text{ часа} \]
4. Скорость велосипедиста по ровной дороге и в гору связана следующим образом: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{30} \]
5. Преобразуем выражение для \( v_1 \): \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{v_2} \] \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{25 - v_1} \]
6. Решим уравнение относительно \( v_1 \): \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{25 - v_1} \] \[ \frac{30 + v_1}{30v_1} = \frac{1}{25 - v_1} \] \[ 30 + v_1 = \frac{30v_1}{25 - v_1} \] \[ (30 + v_1)(25 - v_1) = 30v_1 \] \[ 750 + 25v_1 - 30v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ 750 + 25v_1 - 30v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ 750 - 5v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение: \[ v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 35^2 + 4 \cdot 750 = 1225 + 3000 = 4225 \] \[ \sqrt{D} = 65 \] Найдем корни уравнения: \[ v_1 = \frac{-35 \pm 65}{2} \] \[ v_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{или} \quad v_1 = \frac{-100}{2} = -50 \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем: \[ v_1 = 15 \]

Ответ: 15