№17553

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Путешественник предполагал пройти 30 км с некоторой скоростью. Но с этой скоростью он шел всего 1 час, а затем стал проходить в час на 1 км меньше. В результате он прибыл в конечный пункт на 1 час 15 минут позднее, чем предполагал. С какой скоростью путешественник предполагал пройти путь?

Ответ

5

Решение № 17551:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Пусть \( v \) (км/ч) — скорость, с которой путешественник предполагал пройти 30 км.</li> <li>Путешественник шел с этой скоростью 1 час, следовательно, он прошел \( v \) км за 1 час.</li> <li>Оставшееся расстояние составляет \( 30 - v \) км.</li> <li>После первого часа скорость путешественника уменьшилась на 1 км/ч, то есть стала \( v - 1 \) км/ч.</li> <li>Время, которое путешественник должен был затратить на прохождение всего пути при скорости \( v \) км/ч, составляет \( \frac{30}{v} \) часов.</li> <li>Время, которое путешественник затратил на прохождение оставшегося расстояния \( 30 - v \) км со скоростью \( v - 1 \) км/ч, составляет \( \frac{30 - v}{v - 1} \) часов.</li> <li>Общее время, затраченное путешественником, включая первый час, составляет \( 1 + \frac{30 - v}{v - 1} \) часов.</li> <li>Путешественник прибыл на 1 час 15 минут позднее, чем предполагал. 1 час 15 минут — это \( \frac{5}{4} \) часа.</li> <li>Составим уравнение, учитывая задержку: \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = 1 + \frac{30 - v}{v - 1} \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = 1 + \frac{30 - v}{v - 1} \] \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = 1 + \frac{30 - v}{v - 1} \] \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = \frac{30 - v + v - 1}{v - 1} \] \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = \frac{30 - 1}{v - 1} \] \[ \frac{30}{v} + \frac{5}{4} = \frac{29}{v - 1} \] </li> <li>Умножим все части уравнения на \( 4v(v - 1) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 4v(v - 1) \left( \frac{30}{v} + \frac{5}{4} \right) = 4v(v - 1) \left( \frac{29}{v - 1} \right) \] \[ 4(v - 1)30 + 5v(v - 1) = 4v29 \] \[ 120(v - 1) + 5v(v - 1) = 116v \] \[ 120v - 120 + 5v^2 - 5v = 116v \] \[ 5v^2 + 120v - 5v - 120 = 116v \] \[ 5v^2 + 4v - 120 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \( 5v^2 + 4v - 120 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 5, \quad b = 4, \quad c = -120 \] \[ v = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-120)}}{2 \cdot 5} \] \[ v = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 2400}}{10} \] \[ v = \frac{-4 \pm \sqrt{2416}}{10} \] \[ v = \frac{-4 \pm 49.15}{10} \] \[ v = \frac{45.15}{10} \quad \text{или} \quad v = \frac{-53.15}{10} \] \[ v = 4.515 \quad \text{или} \quad v = -5.315 \] </li> <li>Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 4.515 \) км/ч.</li> </ol> Таким образом, путешественник предполагал пройти путь со скоростью \( 4.515 \) км/ч. Ответ: \( 4.515 \) км/ч.