№17555

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Велосипедист проехал 25 км. При этом 1 час он ехал по ровной дороге, а 1 час – в гору. Какова скорость (км/ч) велосипедиста по ровной дороге, если каждый километр по ровной дороге он проезжал на 2 минуты быстрее, чем в гору?

Ответ

15

Решение № 17553:

Для решения задачи определим скорость велосипедиста по ровной дороге и в гору. Обозначим: - \( v_1 \) — скорость велосипедиста по ровной дороге (км/ч), - \( v_2 \) — скорость велосипедиста в гору (км/ч). <ol> <li>Запишем уравнение для общего расстояния: \[ v_1 \cdot 1 + v_2 \cdot 1 = 25 \] где 1 час он ехал по ровной дороге, а 1 час – в гору. </li> <li>Упростим уравнение: \[ v_1 + v_2 = 25 \] </li> <li>Из условия задачи известно, что каждый километр по ровной дороге он проезжал на 2 минуты быстрее, чем в гору. Переведем 2 минуты в часы: \[ 2 \text{ минуты} = \frac{2}{60} \text{ часа} = \frac{1}{30} \text{ часа} \] </li> <li>Скорость велосипедиста по ровной дороге и в гору связана следующим образом: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{30} \] </li> <li>Преобразуем выражение для \( v_1 \): \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{v_2} \] \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{25 - v_1} \] </li> <li>Решим уравнение относительно \( v_1 \): \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{25 - v_1} \] \[ \frac{30 + v_1}{30v_1} = \frac{1}{25 - v_1} \] \[ 30 + v_1 = \frac{30v_1}{25 - v_1} \] \[ (30 + v_1)(25 - v_1) = 30v_1 \] \[ 750 + 25v_1 - 30v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ 750 + 25v_1 - 30v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ 750 - 5v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 35^2 + 4 \cdot 750 = 1225 + 3000 = 4225 \] \[ \sqrt{D} = 65 \] Найдем корни уравнения: \[ v_1 = \frac{-35 \pm 65}{2} \] \[ v_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{или} \quad v_1 = \frac{-100}{2} = -50 \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем: \[ v_1 = 15 \] </li> </ol> Таким образом, скорость велосипедиста по ровной дороге составляет \( 15 \) км/ч. Ответ: 15