№17552

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из города в колхоз, находящийся на расстоянии 20 км, была отправлена грузовая машина; через 8 минут вслед за ней вышел автобус, который приехал в колхоз одновременно с грузовой машиной. Сколько километров в час проходил автобус, если он шел на 5 км/ч быстрее грузовика?

Ответ

30

Решение № 17550:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорость грузовика как \(v\) км/ч. Тогда скорость автобуса будет \(v + 5\) км/ч.</li> <li>Грузовик выехал первым и прошел 20 км до колхоза. Время, за которое грузовик прошел это расстояние, можно выразить как: \[ t_{\text{грузовик}} = \frac{20}{v} \] </li> <li>Автобус выехал через 8 минут после грузовика. 8 минут переведем в часы: \[ 8 \text{ минут} = \frac{8}{60} \text{ часа} = \frac{2}{15} \text{ часа} \] </li> <li>Время, за которое автобус прошел 20 км до колхоза, можно выразить как: \[ t_{\text{автобус}} = \frac{20}{v + 5} \] </li> <li>Поскольку автобус выехал через \(\frac{2}{15}\) часа после грузовика и приехал одновременно с ним, время, за которое автобус прошел 20 км, на \(\frac{2}{15}\) часа меньше времени, за которое грузовик прошел 20 км: \[ t_{\text{автобус}} = t_{\text{грузовик}} - \frac{2}{15} \] </li> <li>Подставим выражения для времени: \[ \frac{20}{v + 5} = \frac{20}{v} - \frac{2}{15} \] </li> <li>Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{20}{v + 5} = \frac{20}{v} - \frac{2}{15} \] \[ \frac{20}{v + 5} = \frac{300 - 2v}{15v} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(15v(v + 5)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 20 \cdot 15v = 300 \cdot (v + 5) - 2v \cdot (v + 5) \] \[ 300v = 300v + 1500 - 2v^2 - 10v \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 300v = 300v + 1500 - 2v^2 - 10v \] \[ 0 = 1500 - 2v^2 - 10v \] \[ 2v^2 + 10v - 1500 = 0 \] \[ v^2 + 5v - 750 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(v^2 + 5v - 750 = 0\): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 5\), и \(c = -750\): \[ v = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750)}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 3000}}{2} \] \[ v = \frac{-5 \pm \sqrt{3025}}{2} \] \[ v = \frac{-5 \pm 55}{2} \] </li> <li>Рассчитаем два возможных значения для \(v\): \[ v = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{или} \quad v = \frac{-60}{2} = -30 \] </li> <li>Отбросим отрицательное значение \(v = -30\), так как скорость не может быть отрицательной. Получаем \(v = 25\) км/ч.</li> <li>Таким образом, скорость автобуса: \[ v_{\text{автобус}} = v + 5 = 25 + 5 = 30 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Ответ: 30 км/ч.