№17551

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Два туриста выезжают одновременно из городов А и В навстречу друг другу. Первый проезжает в час на 2 км больше второго и приезжает в город В на час раньше, чем второй в город А. Расстояние между городами 40 км. Какова скорость каждого туриста?

Ответ

10; 8

Решение № 17549:

Решим задачу пошагово: <ol> <li>Обозначим скорость первого туриста как \(v_1\) км/ч, а скорость второго туриста как \(v_2\) км/ч.</li> <li>По условию задачи, первый турист проезжает в час на 2 км больше второго, то есть: \[ v_1 = v_2 + 2 \] </li> <li>Первый турист приезжает в город В на час раньше, чем второй в город А. Это означает, что время, за которое первый турист добирается до города В, на час меньше, чем время, за которое второй турист добирается до города А. Обозначим время, за которое первый турист добирается до города В, как \(t_1\), а время, за которое второй турист добирается до города А, как \(t_2\). Тогда: \[ t_2 = t_1 + 1 \] </li> <li>Из условия задачи, расстояние между городами А и В равно 40 км. Поскольку оба туриста выезжают одновременно и движутся навстречу друг другу, время в пути для каждого туриста можно выразить через скорость и расстояние: \[ t_1 = \frac{40}{v_1} \] \[ t_2 = \frac{40}{v_2} \] </li> <li>Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\) в уравнение \(t_2 = t_1 + 1\): \[ \frac{40}{v_2} = \frac{40}{v_1} + 1 \] </li> <li>Подставим \(v_1 = v_2 + 2\) в полученное уравнение: \[ \frac{40}{v_2} = \frac{40}{v_2 + 2} + 1 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(v_2(v_2 + 2)\) для устранения знаменателей: \[ 40(v_2 + 2) = 40v_2 + v_2(v_2 + 2) \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 40v_2 + 80 = 40v_2 + v_2^2 + 2v_2 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 80 = v_2^2 + 2v_2 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ v_2^2 + 2v_2 - 80 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ v_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1} \] \[ v_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} \] \[ v_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2} \] \[ v_2 = \frac{-2 \pm 18}{2} \] </li> <li>Найдем два решения: \[ v_2 = \frac{16}{2} = 8 \] \[ v_2 = \frac{-20}{2} = -10 \quad (\text{неприемлемо, так как скорость не может быть отрицательной}) \] </li> <li>Таким образом, скорость второго туриста \(v_2 = 8\) км/ч. Подставим это значение в уравнение \(v_1 = v_2 + 2\): \[ v_1 = 8 + 2 = 10 \] </li> </ol> Ответ: скорость первого туриста \(v_1 = 10\) км/ч, скорость второго туриста \(v_2 = 8\) км/ч.