№17554

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 км меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает времени на 2 часа больше, чем мотоциклист. Вычислить скорость велосипедиста.

Ответ

30

Решение № 17552:

Для решения задачи о скорости велосипедиста выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорость велосипедиста как \(v_в\) км/мин, а скорость мотоциклиста как \(v_м\) км/мин.</li> <li>По условию задачи, велосипедист проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, т.е. \[ v_м = v_в + 500 \text{ м/мин} \] Преобразуем скорость мотоциклиста в км/мин: \[ v_м = v_в + 0.5 \text{ км/мин} \] </li> <li>Велосипедист затрачивает времени на 2 часа больше, чем мотоциклист. Обозначим время, которое тратит мотоциклист на путь в 120 км, как \(t_м\) часов, а время, которое тратит велосипедист, как \(t_в\) часов. Тогда: \[ t_в = t_м + 2 \] </li> <li>Время, которое тратит мотоциклист на путь в 120 км, можно выразить через его скорость: \[ t_м = \frac{120}{v_м} \] </li> <li>Время, которое тратит велосипедист на путь в 120 км, можно выразить через его скорость: \[ t_в = \frac{120}{v_в} \] </li> <li>Подставим выражения для времени в уравнение \(t_в = t_м + 2\): \[ \frac{120}{v_в} = \frac{120}{v_м} + 2 \] </li> <li>Подставим \(v_м = v_в + 0.5\) в уравнение: \[ \frac{120}{v_в} = \frac{120}{v_в + 0.5} + 2 \] </li> <li>Решим полученное уравнение. Для этого умножим обе части уравнения на \(v_в(v_в + 0.5)\) для избавления от знаменателей: \[ 120(v_в + 0.5) = 120v_в + 2v_в(v_в + 0.5) \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 120v_в + 60 = 120v_в + 2v_в^2 + v_в \] \[ 60 = 2v_в^2 + v_в \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(2v_в^2 + v_в - 60 = 0\). Для этого найдем корни уравнения с помощью формулы квадратного уравнения: \[ v_в = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = 1\) и \(c = -60\): \[ v_в = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-60)}}{2 \cdot 2} \] \[ v_в = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 480}}{4} \] \[ v_в = \frac{-1 \pm \sqrt{481}}{4} \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ v_в = \frac{-1 + \sqrt{481}}{4} \quad \text{или} \quad v_в = \frac{-1 - \sqrt{481}}{4} \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \[ v_в = \frac{-1 + \sqrt{481}}{4} \] </li> <li>Приблизительно вычислим значение: \[ v_в \approx \frac{-1 + 21.93}{4} \approx \frac{20.93}{4} \approx 5.2325 \text{ км/мин} \] </li> <li>Переведем скорость велосипедиста в км/ч: \[ v_в \approx 5.2325 \times 60 \approx 313.95 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, скорость велосипедиста составляет примерно 5.23 км/мин или 313.95 км/ч. Ответ: 5.23 км/мин или 313.95 км/ч.