Решение №17553: Для решения задачи определим скорость велосипедиста по ровной дороге и в гору. Обозначим: - \( v_1 \) — скорость велосипедиста по ровной дороге (км/ч), - \( v_2 \) — скорость велосипедиста в гору (км/ч).

1. Запишем уравнение для общего расстояния: \[ v_1 \cdot 1 + v_2 \cdot 1 = 25 \] где 1 час он ехал по ровной дороге, а 1 час – в гору.
2. Упростим уравнение: \[ v_1 + v_2 = 25 \]
3. Из условия задачи известно, что каждый километр по ровной дороге он проезжал на 2 минуты быстрее, чем в гору. Переведем 2 минуты в часы: \[ 2 \text{ минуты} = \frac{2}{60} \text{ часа} = \frac{1}{30} \text{ часа} \]
4. Скорость велосипедиста по ровной дороге и в гору связана следующим образом: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{30} \]
5. Преобразуем выражение для \( v_1 \): \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{v_2} \] \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{25 - v_1} \]
6. Решим уравнение относительно \( v_1 \): \[ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{30} = \frac{1}{25 - v_1} \] \[ \frac{30 + v_1}{30v_1} = \frac{1}{25 - v_1} \] \[ 30 + v_1 = \frac{30v_1}{25 - v_1} \] \[ (30 + v_1)(25 - v_1) = 30v_1 \] \[ 750 + 25v_1 - 30v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ 750 + 25v_1 - 30v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ 750 - 5v_1 - v_1^2 = 30v_1 \] \[ v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение: \[ v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 35^2 + 4 \cdot 750 = 1225 + 3000 = 4225 \] \[ \sqrt{D} = 65 \] Найдем корни уравнения: \[ v_1 = \frac{-35 \pm 65}{2} \] \[ v_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{или} \quad v_1 = \frac{-100}{2} = -50 \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем: \[ v_1 = 15 \]

Ответ: 15

Решение №17554: Для решения задачи определим скорости двух поездов, обозначим их как \(v\) (скорость первого поезда) и \(v + 15\) (скорость второго поезда). Выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Расстояние между пунктами А и В: 230 км.
   • Первый поезд вышел из пункта А и через час навстречу ему вышел второй поезд из пункта В.
   • Поезда встретились на расстоянии 120 км от пункта А.
   • Скорость второго поезда на 15 км/ч больше, чем у первого.
2. Обозначим скорость первого поезда как \(v\) км/ч, тогда скорость второго поезда будет \(v + 15\) км/ч.
3. Первый поезд проехал 120 км до встречи. Второй поезд проехал \(230 - 120 = 110\) км до встречи.
4. Время, за которое первый поезд проехал 120 км: \[ t_1 = \frac{120}{v} \]
5. Время, за которое второй поезд проехал 110 км: \[ t_2 = \frac{110}{v + 15} \]
6. Поскольку второй поезд вышел на час позже первого, время, за которое они встретились, связано следующим образом: \[ t_1 = t_2 + 1 \]
7. Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\) в уравнение: \[ \frac{120}{v} = \frac{110}{v + 15} + 1 \]
8. Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{120}{v} = \frac{110 + (v + 15)}{v + 15} \]
9. Умножим обе части уравнения на \(v(v + 15)\) для избавления от знаменателей: \[ 120(v + 15) = 110v + v^2 + 15v \]
10. Раскроем скобки и приведем подобные: \[ 120v + 1800 = 110v + v^2 + 15v \] \[ 120v + 1800 = v^2 + 125v \]
11. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ v^2 + 5v - 1800 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225 \] \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{-5 \pm 85}{2} \]
13. Найдем корни уравнения: \[ v_1 = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40 \] \[ v_2 = \frac{-5 - 85}{2} = \frac{-90}{2} = -45 \]
14. Поскольку скорость не может быть отрицательной, примем \(v = 40\) км/ч.
15. Скорость второго поезда: \[ v + 15 = 40 + 15 = 55 \]

Ответ: 40; 55

Решение №17555: Для решения задачи о скорости автомобилей, выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость каждого автомобиля как \(v\) км/ч. Пусть время встречи \(t = 5\) ч 30 мин = 5.5 ч.
2. Расстояние, которое проехал один автомобиль до встречи, равно \(vt\). Поскольку автомобили выехали одновременно и встретились через 5.5 ч, общее расстояние между пунктами А и В равно \(2vt\).
3. Если бы скорость одного из автомобилей была бы на 10 км/ч больше, то его скорость была бы \(v + 10\) км/ч. Время встречи \(t_1\) будет меньше, чем 5.5 ч. Пусть это время равно \(t_1\).
4. Расстояние, которое проехал бы автомобиль со скоростью \(v + 10\) км/ч до встречи, равно \((v + 10)t_1\). Расстояние, которое проехал бы автомобиль со скоростью \(v\) км/ч до встречи, равно \(vt_1\).
5. Согласно условию, они встретились бы в пункте, отстоящем от С на расстоянии 25 км. Таким образом, одно из автомобилей проехало бы на 25 км меньше, чем другой.
6. Составим уравнение: \[ (v + 10)t_1 = vt_1 + 25 \]
7. Упростим уравнение: \[ 10t_1 = 25 \implies t_1 = \frac{25}{10} = 2.5 \text{ ч} \]
8. Теперь найдем скорость \(v\). Поскольку автомобили встретились через 5.5 ч при скорости \(v\), общее расстояние между пунктами А и В равно \(2vt\): \[ 2vt = 2v \cdot 5.5 = 11v \]
9. Аналогично, общее расстояние при измененной скорости равно: \[ (v + 10)t_1 + vt_1 = (v + 10) \cdot 2.5 + v \cdot 2.5 = 2.5v + 25 + 2.5v = 5v + 25 \]
10. Приравняем оба выражения для общего расстояния: \[ 11v = 5v + 25 \]
11. Решим уравнение: \[ 11v - 5v = 25 \implies 6v = 25 \implies v = \frac{25}{6} \approx 4.17 \text{ км/ч} \]

Ответ: 50

Решение №17556: Решение задачи:

1. Пусть расстояние между городами А и В равно \( S \) км.
2. Скорость первой автомашины \( V_1 \) равна \( \frac{S}{6} \) км/ч.
3. Скорость второй автомашины \( V_2 \) равна \( \frac{S}{8} \) км/ч.
4. Пусть первая автомашина прошла расстояние \( S_1 \) км до момента встречи, а вторая автомашина прошла расстояние \( S_2 \) км до момента встречи.
5. По условию задачи, \( S_2 = \frac{1}{1 + \frac{4}{5}} S_1 = \frac{5}{9} S_1 \).
6. Сумма пройденных расстояний до момента встречи равна \( S \): \[ S_1 + S_2 = S \]
7. Подставим \( S_2 \) из предыдущего уравнения: \[ S_1 + \frac{5}{9} S_1 = S \]
8. Упростим уравнение: \[ \frac{14}{9} S_1 = S \]
9. Решим уравнение относительно \( S_1 \): \[ S_1 = \frac{9}{14} S \]
10. Теперь найдем время \( t_1 \), за которое первая автомашина прошла расстояние \( S_1 \): \[ t_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{\frac{9}{14} S}{\frac{S}{6}} = \frac{9}{14} \cdot 6 = \frac{54}{14} = \frac{27}{7} \text{ часов} \]
11. Найдем расстояние \( S_2 \): \[ S_2 = S - S_1 = S - \frac{9}{14} S = \frac{5}{14} S \]
12. Теперь найдем время \( t_2 \), за которое вторая автомашина прошла расстояние \( S_2 \): \[ t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{\frac{5}{14} S}{\frac{S}{8}} = \frac{5}{14} \cdot 8 = \frac{40}{14} = \frac{20}{7} \text{ часов} \]
13. Разница во времени выезда второй автомашины относительно первой: \[ t_1 - t_2 = \frac{27}{7} - \frac{20}{7} = \frac{7}{7} = 1 \text{ час} \]

Ответ: 1

Решение №17557: Для решения задачи о скорости пешехода и велосипедиста выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость пешехода как \(v_п\) км/ч, а скорость велосипедиста как \(v_в\) км/ч.
2. Пешеход и велосипедист встречаются через 2 часа после отправления. За это время они вместе проходят 40 км. Поэтому: \[ v_п \cdot 2 + v_в \cdot 2 = 40 \] Упростим уравнение: \[ 2v_п + 2v_в = 40 \] Разделим обе части уравнения на 2: \[ v_п + v_в = 20 \quad \text{(1)} \]
3. Велосипедист прибывает в город А на 7 часов 30 минут (7.5 часа) раньше, чем пешеход в город В. Время, которое велосипедист тратит на дорогу до встречи, равно 2 часа, а пешеход — также 2 часа. Поэтому: \[ \frac{40 - v_в \cdot 2}{v_в} = \frac{40 - v_п \cdot 2}{v_п} - 7.5 \] Упростим уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} = \frac{40 - 2v_п}{v_п} - 7.5 \] Перепишем уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{40 - 2v_п}{v_п} \]
4. Подставим \(v_п + v_в = 20\) из уравнения (1): \[ v_п = 20 - v_в \] Подставим \(v_п\) в уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{40 - 2(20 - v_в)}{20 - v_в} \] Упростим уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{40 - 40 + 2v_в}{20 - v_в} \] \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{2v_в}{20 - v_в} \]
5. Решим уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{2v_в}{20 - v_в} \] Умножим обе части уравнения на \(v_в(20 - v_в)\): \[ (40 - 2v_в)(20 - v_в) + 7.5v_в(20 - v_в) = 2v_в^2 \] Раскроем скобки: \[ 800 - 60v_в + 2v_в^2 + 150v_в - 7.5v_в^2 = 2v_в^2 \] Упростим уравнение: \[ 800 + 90v_в - 5.5v_в^2 = 2v_в^2 \] \[ 800 + 90v_в - 7.5v_в^2 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ v_в^2 - 12v_в + 106.67 = 0 \] Найдем корни уравнения: \[ v_в = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 426.68}}{2} \] \[ v_в = \frac{12 \pm \sqrt{-282.68}}{2} \] Поскольку под корнем отрицательное число, уравнение не имеет реальных корней.

Ответ: 14; 16

Решение №17558: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорости пешеходов: \[ v_1 \text{ и } v_2 \]
2. Переведем время встречи в минуты: \[ 2 \text{ часа } 24 \text{ минуты} = 2 \times 60 + 24 = 144 \text{ минуты} \]
3. Переведем расстояние между пунктами А и В в минуты: \[ 24 \text{ км} = 24000 \text{ м} \]
4. Запишем уравнение для суммарного расстояния, пройденного пешеходами до встречи: \[ v_1 \cdot 144 + v_2 \cdot 144 = 24000 \]
5. Упростим уравнение, вынеся общий множитель 144: \[ 144(v_1 + v_2) = 24000 \]
6. Разделим обе части уравнения на 144: \[ v_1 + v_2 = \frac{24000}{144} = \frac{24000}{144} = 166.67 \text{ м/мин} \]
7. Запишем уравнение для времени прохождения расстояния: \[ \frac{24000}{v_1} = \frac{24000}{v_2} - 120 \]
8. Перепишем уравнение: \[ \frac{24000}{v_1} + 120 = \frac{24000}{v_2} \]
9. Подставим \(v_1 + v_2 = 166.67\) в уравнение: \[ \frac{24000}{v_1} + 120 = \frac{24000}{166.67 - v_1} \]
10. Решим уравнение для \(v_1\): \[ \frac{24000}{v_1} + 120 = \frac{24000}{166.67 - v_1} \]
11. Умножим обе части уравнения на \(v_1 (166.67 - v_1)\): \[ 24000 (166.67 - v_1) + 120 v_1 (166.67 - v_1) = 24000 v_1 \]
12. Раскроем скобки и упростим: \[ 24000 \cdot 166.67 - 24000 v_1 + 120 v_1 \cdot 166.67 - 120 v_1^2 = 24000 v_1 \]
13. Приведем подобные: \[ 24000 \cdot 166.67 + 120 v_1 \cdot 166.67 - 120 v_1^2 = 24000 v_1 + 24000 v_1 \]
14. Упростим уравнение: \[ 24000 \cdot 166.67 + 120 v_1 \cdot 166.67 = 120 v_1^2 \]
15. Решим квадратное уравнение для \(v_1\): \[ 120 v_1^2 - 120 v_1 \cdot 166.67 - 24000 \cdot 166.67 = 0 \]
16. Решим квадратное уравнение: \[ v_1 = 60 \text{ м/мин}, \quad v_2 = 106.67 \text{ м/мин} \]
17. Переведем скорости в км/ч: \[ v_1 = \frac{60 \text{ м/мин}}{1000} \times 60 = 3.6 \text{ км/ч}, \quad v_2 = \frac{106.67 \text{ м/мин}}{1000} \times 60 = 6.4 \text{ км/ч} \]
18. Вычислим время прохождения расстояния между пунктами А и В: \[ t_1 = \frac{24 \text{ км}}{3.6 \text{ км/ч}} = 6.67 \text{ часа}, \quad t_2 = \frac{24 \text{ км}}{6.4 \text{ км/ч}} = 3.75 \text{ часа} \]

Ответ: 4; 6; 6; 4

Решение №17559: Для решения задачи о расстоянии между пунктами А и В, где два поезда отправляются одновременно и встречаются через 50 минут, а первый поезд прибывает на 75 минут раньше второго, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние между пунктами А и В как \(D\).
2. Обозначим скорость первого поезда как \(V_1 = 120\) км/ч.
3. Обозначим скорость второго поезда как \(V_2\).
4. Поезда встречаются через 50 минут, что составляет \(\frac{50}{60} = \frac{5}{6}\) часа.
5. За время до встречи первый поезд пройдет расстояние: \[ \text{Расстояние}_1 = V_1 \cdot \frac{5}{6} = 120 \cdot \frac{5}{6} = 100 \text{ км} \]
6. За время до встречи второй поезд пройдет расстояние: \[ \text{Расстояние}_2 = V_2 \cdot \frac{5}{6} \]
7. Сумма расстояний, пройденных обоими поездами до встречи, равна общему расстоянию между А и В: \[ \text{Расстояние}_1 + \text{Расстояние}_2 = D \] Подставим известные значения: \[ 100 + V_2 \cdot \frac{5}{6} = D \]
8. Первый поезд прибывает в пункт В на 75 минут (1 час 15 минут) раньше второго поезда. Это означает, что второй поезд добирается до пункта А на 1 час 15 минут дольше, чем первый поезд до пункта В.
9. Время, за которое первый поезд добирается до пункта В: \[ \text{Время}_1 = \frac{D}{V_1} = \frac{D}{120} \]
10. Время, за которое второй поезд добирается до пункта А: \[ \text{Время}_2 = \text{Время}_1 + 1.25 \text{ часа} \] Подставим значение \(\text{Время}_1\): \[ \text{Время}_2 = \frac{D}{120} + 1.25 \]
11. Поскольку второй поезд проходит то же самое расстояние \(D\), выразим его скорость через время: \[ V_2 = \frac{D}{\text{Время}_2} = \frac{D}{\frac{D}{120} + 1.25} \]
12. Подставим выражение для \(V_2\) в уравнение для расстояния: \[ 100 + \left(\frac{D}{\frac{D}{120} + 1.25}\right) \cdot \frac{5}{6} = D \]
13. Упростим уравнение: \[ 100 + \frac{5D}{6 \left(\frac{D}{120} + 1.25\right)} = D \] Умножим обе части на \(6 \left(\frac{D}{120} + 1.25\right)\): \[ 600 \left(\frac{D}{120} + 1.25\right) + 5D = 6D \left(\frac{D}{120} + 1.25\right) \] \[ 600 \cdot \frac{D}{120} + 750 + 5D = \frac{6D^2}{120} + 7.5D \] \[ 5D + 750 = \frac{6D^2}{120} + 7.5D \] Умножим на 120: \[ 600D + 90000 = 6D^2 + 900D \] \[ 6D^2 - 300D - 90000 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D^2 - 50D - 15000 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ D = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -50\), \(c = -15000\): \[ D = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 60000}}{2} \] \[ D = \frac{50 \pm \sqrt{62500}}{2} \] \[ D = \frac{50 \pm 250}{2} \] Получаем два решения: \[ D = \frac{300}{2} = 150 \quad \text{и} \quad D = \frac{-200}{2} = -100 \] Поскольку расстояние не может быть отрицательным, принимаем \(D = 150\) км.

Ответ: 150

Решение №17560: Для решения задачи определения скоростей автомобилей, выполним следующие шаги:

1. Обозначим время, которое автомобили находились в пути до встречи, как \(t\) часов.
2. Обозначим скорость первого автомобиля (из пункта А в пункт В) как \(v_1\) км/ч, а скорость второго автомобиля (из пункта В в пункт А) как \(v_2\) км/ч.
3. Согласно условию задачи, после встречи первый автомобиль находился в пути еще 2 часа, а второй автомобиль \(\frac{9}{8}\) часа. Таким образом, общее время в пути для первого автомобиля \(t + 2\) часов, а для второго автомобиля \(t + \frac{9}{8}\) часов.
4. Поскольку оба автомобиля проехали полное расстояние между пунктами А и В, можно записать уравнения для расстояния: \[ v_1 \cdot (t + 2) = 210 \] и \[ v_2 \cdot \left(t + \frac{9}{8}\right) = 210 \]
5. Также известно, что суммарное расстояние, пройденное обоими автомобилями до встречи, равно 210 км: \[ v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = 210 \] или \[ (v_1 + v_2) \cdot t = 210 \]
6. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} v_1 \cdot (t + 2) = 210 \\ v_2 \cdot \left(t + \frac{9}{8}\right) = 210 \\ (v_1 + v_2) \cdot t = 210 \end{cases} \]
7. Из третьего уравнения найдем \(t\): \[ t = \frac{210}{v_1 + v_2} \]
8. Подставим \(t\) в первые два уравнения: \[ v_1 \cdot \left(\frac{210}{v_1 + v_2} + 2\right) = 210 \] и \[ v_2 \cdot \left(\frac{210}{v_1 + v_2} + \frac{9}{8}\right) = 210 \]
9. Упростим уравнения: \[ v_1 \cdot \left(\frac{210 + 2(v_1 + v_2)}{v_1 + v_2}\right) = 210 \] и \[ v_2 \cdot \left(\frac{210 + \frac{9}{8}(v_1 + v_2)}{v_1 + v_2}\right) = 210 \]
10. Решим уравнения: \[ v_1 \cdot \left(\frac{210 + 2v_1 + 2v_2}{v_1 + v_2}\right) = 210 \] и \[ v_2 \cdot \left(\frac{210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2}{v_1 + v_2}\right) = 210 \]
11. Разделим обе части уравнений на \(v_1\) и \(v_2\) соответственно: \[ \frac{210 + 2v_1 + 2v_2}{v_1 + v_2} = \frac{210}{v_1} \] и \[ \frac{210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2}{v_1 + v_2} = \frac{210}{v_2} \]
12. Упростим и решим полученные уравнения: \[ 210 + 2v_1 + 2v_2 = 210 \cdot \frac{v_1 + v_2}{v_1} \] и \[ 210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2 = 210 \cdot \frac{v_1 + v_2}{v_2} \]
13. Решим систему уравнений и найдем \(v_1\) и \(v_2\): \[ v_1 = 60 \text{ км/ч} \] и \[ v_2 = 45 \text{ км/ч} \]

Ответ: 60; 80

Решение №17561: Для решения задачи выполним следующие шаги: 1. **Определим время в пути мотоциклиста до момента, когда он догнал машину.** Пусть \( t \) — время, которое мотоциклист ехал до момента, когда догнал машину (в часах). Расстояние, которое проехал мотоциклист за это время: \[ 90t \text{ км} \] Машина выехала на 20 минут (или \(\frac{1}{3}\) часа) раньше мотоциклиста, поэтому она ехала \( t + \frac{1}{3} \) часов. Пусть \( v \) — скорость машины (в км/ч). Тогда расстояние, которое проехала машина за это время: \[ v \left( t + \frac{1}{3} \right) \text{ км} \] 2. **Запишем уравнение, что мотоциклист догнал машину в пункте С.** В момент, когда мотоциклист догнал машину, оба проехали одинаковое расстояние: \[ 90t = v \left( t + \frac{1}{3} \right) \] 3. **Найдем время \( t \), которое мотоциклист ехал до момента, когда догнал машину.** Решим уравнение: \[ 90t = v \left( t + \frac{1}{3} \right) \] Разделим обе части уравнения на \( v \): \[ 90t = vt + \frac{v}{3} \] Перенесем \( vt \) в левую часть: \[ 90t - vt = \frac{v}{3} \] Вынесем \( t \) за скобки: \[ t(90 - v) = \frac{v}{3} \] Решим относительно \( t \): \[ t = \frac{v}{3(90 - v)} \] 4. **Определим расстояние от А до С.** Расстояние от А до С равно расстоянию, которое проехал мотоциклист за время \( t \): \[ \text{Расстояние от А до С} = 90t \] Подставим выражение для \( t \): \[ \text{Расстояние от А до С} = 90 \cdot \frac{v}{3(90 - v)} = \frac{30v}{90 - v} \] 5. **Найдем скорость машины \( v \).** Когда мотоциклист проехал половину пути от С к А, машина прибыла в В. Пусть \( T \) — время, которое машина ехала от А до В. Полное расстояние от А до В: \[ 80 \text{ км} \] Время, которое машина ехала от А до В: \[ T = \frac{80}{v} \] Время, которое мотоциклист ехал от С до середины пути к А: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{90t}{90} = \frac{1}{2} \cdot t \] Поскольку машина прибыла в В в этот момент: \[ T = t + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} t \] Подставим выражение для \( T \): \[ \frac{80}{v} = t + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} t \] Объединим однородные члены: \[ \frac{80}{v} = \frac{3}{2} t + \frac{1}{3} \] Подставим выражение для \( t \): \[ \frac{80}{v} = \frac{3}{2} \cdot \frac{v}{3(90 - v)} + \frac{1}{3} \] Упростим уравнение: \[ \frac{80}{v} = \frac{v}{2(90 - v)} + \frac{1}{3} \] Умножим обе части на \( v \): \[ 80 = \frac{v^2}{2(90 - v)} + \frac{v}{3} \] Умножим на \( 2(90 - v) \): \[ 80 \cdot 2(90 - v) = v^2 + \frac{2v(90 - v)}{3} \] Упростим уравнение: \[ 160(90 - v) = v^2 + \frac{2v(90 - v)}{3} \] Умножим на 3: \[ 480(90 - v) = 3v^2 + 2v(90 - v) \] Упростим уравнение: \[ 480(90 - v) = 3v^2 + 180v - 2v^2 \] Объединим однородные члены: \[ 480(90 - v) = v^2 + 180v \] Подставим \( v = 60 \): \[ 480(90 - 60) = 60^2 + 180 \cdot 60 \] Упростим уравнение: \[ 480 \cdot 30 = 3600 + 10800 \] Упростим уравнение: \[ 14400 = 14400 \] Скорость машины \( v = 60 \) км/ч. 6. **Найдем расстояние от А до С.** Подставим \( v = 60 \) в выражение для расстояния от А до С: \[ \text{Расстояние от А до С} = \frac{30 \cdot 60}{90 - 60} = \frac{1800}{30} = 60 \text{ км} \] Таким образом, расстояние от А до С равно 60 км. Ответ: 60 км.

Ответ: 60

Решение №17562: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние между пунктами А и В как \(D\).
2. Обозначим скорость велосипедиста как \(v_v\) и скорость пешехода как \(v_p\). По условию задачи \(v_p = \frac{v_v}{4}\).
3. Обозначим время до первой встречи как \(t\).
4. Запишем уравнение для расстояния, которое пройдет велосипедист до встречи: \[ v_v \cdot t \]
5. Запишем уравнение для расстояния, которое пройдет пешеход до встречи: \[ v_p \cdot t = \frac{v_v}{4} \cdot t \]
6. Сумма этих расстояний равна полному расстоянию между пунктами А и В: \[ v_v \cdot t + \frac{v_v}{4} \cdot t = D \]
7. Упростим уравнение: \[ v_v \cdot t + \frac{v_v \cdot t}{4} = D \] \[ \frac{5v_v \cdot t}{4} = D \]
8. Решим уравнение для \(t\): \[ t = \frac{4D}{5v_v} \]
9. Обозначим время, которое велосипедист тратит на путь от А до В и обратно до встречи с пешеходом, как \(T\). Велосипедист проходит расстояние \(2D\) со скоростью \(v_v\): \[ T = \frac{2D}{v_v} \]
10. Пешеход приходит в В на 1 час позже велосипедиста. Запишем уравнение для времени, которое пешеход тратит на путь от А до В: \[ \frac{D}{v_p} = T + 1 \] Подставим \(v_p = \frac{v_v}{4}\): \[ \frac{D}{\frac{v_v}{4}} = T + 1 \] \[ \frac{4D}{v_v} = T + 1 \]
11. Подставим \(T = \frac{2D}{v_v}\): \[ \frac{4D}{v_v} = \frac{2D}{v_v} + 1 \] \[ \frac{4D}{v_v} - \frac{2D}{v_v} = 1 \] \[ \frac{2D}{v_v} = 1 \] \[ v_v = 2D \]
12. Подставим \(v_v = 2D\) в уравнение для \(t\): \[ t = \frac{4D}{5 \cdot 2D} \] \[ t = \frac{4}{10} \] \[ t = \frac{2}{5} \text{ часа} \]

Ответ: 24

Решение №17563: Для решения задачи найдем скорость третьего велосипедиста, следуя пошаговым шагам:

1. Обозначим скорость третьего велосипедиста как \(v\) км/ч.
2. Второй велосипедист выехал через 1 час после первого, а третий – через 2 часа после первого. Таким образом, когда третий велосипедист выехал, первый уже проехал \(12 \times 2 = 24\) км, а второй – \(10 \times 1 = 10\) км.
3. Пусть \(t\) часов третий велосипедист догнал второго. За это время третий велосипедист проехал \(v \cdot t\) км, а второй проехал \(10 \cdot (t + 1)\) км (поскольку он выехал на час раньше).
4. Составим уравнение для момента, когда третий велосипедист догнал второго: \[ v \cdot t = 10 \cdot (t + 1) \]
5. Решим это уравнение для \(t\): \[ v \cdot t = 10t + 10 \] \[ vt - 10t = 10 \] \[ t(v - 10) = 10 \] \[ t = \frac{10}{v - 10} \]
6. Теперь найдем время, через которое третий велосипедист догнал первого. Пусть это время равно \(t + 2\) часа. За это время третий велосипедист проехал \(v \cdot (t + 2)\) км, а первый проехал \(12 \cdot (t + 2 + 2)\) км (поскольку он выехал на 2 часа раньше).
7. Составим уравнение для момента, когда третий велосипедист догнал первого: \[ v \cdot (t + 2) = 12 \cdot (t + 4) \]
8. Подставим \(t = \frac{10}{v - 10}\) в это уравнение: \[ v \cdot \left(\frac{10}{v - 10} + 2\right) = 12 \cdot \left(\frac{10}{v - 10} + 4\right) \] \[ v \cdot \left(\frac{10 + 2(v - 10)}{v - 10}\right) = 12 \cdot \left(\frac{10 + 4(v - 10)}{v - 10}\right) \] \[ v \cdot \left(\frac{10 + 2v - 20}{v - 10}\right) = 12 \cdot \left(\frac{10 + 4v - 40}{v - 10}\right) \] \[ v \cdot \left(\frac{2v - 10}{v - 10}\right) = 12 \cdot \left(\frac{4v - 30}{v - 10}\right) \] \[ v \cdot (2v - 10) = 12 \cdot (4v - 30) \] \[ 2v^2 - 10v = 48v - 360 \] \[ 2v^2 - 58v + 360 = 0 \] \[ v^2 - 29v + 180 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ v = \frac{29 \pm \sqrt{29^2 - 4 \cdot 180}}{2} \] \[ v = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 720}}{2} \] \[ v = \frac{29 \pm \sqrt{121}}{2} \] \[ v = \frac{29 \pm 11}{2} \] \[ v = 20 \quad \text{или} \quad v = 9 \]
10. Поскольку скорость третьего велосипедиста должна быть больше скорости первого и второго, выберем \(v = 20\) км/ч.

Ответ: 20

Решение №17564: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость третьего автомобиля как \(V\) км/ч.
2. Первый автомобиль выезжает из M в N со скоростью 80 км/ч. За 1 час он проедет 80 км.
3. Второй автомобиль выезжает из N в M со скоростью 60 км/ч. За 1 час он проедет 60 км.
4. Третий автомобиль выезжает из M через 1 час после первого автомобиля и догоняет его. Расстояние между ними в момент выезда третьего автомобиля составляет 80 км.
5. Время, за которое третий автомобиль догоняет первый автомобиль: \[ \frac{80}{V - 80} \]
6. После того как третий автомобиль догоняет первый автомобиль, он продолжает движение и через 1 час встречается со вторым автомобилем. За это время второй автомобиль проедет еще 60 км.
7. Расстояние, которое проедет третий автомобиль за этот час: \[ V \cdot 1 = V \]
8. Таким образом, общее расстояние, которое проедет третий автомобиль до встречи со вторым автомобилем: \[ \frac{80}{V - 80} \cdot V + V \]
9. Расстояние, которое проедет второй автомобиль до встречи с третьим автомобилем: \[ 60 \cdot \left( \frac{80}{V - 80} + 1 \right) \]
10. Суммарное расстояние между M и N равно 860 км. Поэтому: \[ \frac{80V}{V - 80} + V + 60 \cdot \left( \frac{80}{V - 80} + 1 \right) = 860 \]
11. Упростим уравнение: \[ \frac{80V}{V - 80} + V + \frac{4800}{V - 80} + 60 = 860 \]
12. Объединим дроби: \[ \frac{80V + 4800}{V - 80} + V + 60 = 860 \]
13. Умножим обе части уравнения на \(V - 80\): \[ 80V + 4800 + V(V - 80) + 60(V - 80) = 860(V - 80) \]
14. Раскроем скобки и упростим: \[ 80V + 4800 + V^2 - 80V + 60V - 4800 = 860V - 68800 \]
15. Сократим подобные члены: \[ V^2 + 60V = 860V - 68800 \]
16. Перенесем все члены в одну сторону: \[ V^2 + 60V - 860V + 68800 = 0 \]
17. Упростим уравнение: \[ V^2 - 800V + 68800 = 0 \]
18. Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -800\), \(c = 68800\): \[ V = \frac{800 \pm \sqrt{800^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68800}}{2 \cdot 1} \]
19. Вычислим дискриминант: \[ 800^2 - 4 \cdot 68800 = 640000 - 275200 = 364800 \]
20. Вычислим корни: \[ V = \frac{800 \pm \sqrt{364800}}{2} \] \[ V = \frac{800 \pm 604}{2} \]
21. Найдем два значения: \[ V_1 = \frac{800 + 604}{2} = 702 \] \[ V_2 = \frac{800 - 604}{2} = 98 \]
22. По условию задачи скорость третьего автомобиля меньше 200 км/ч. Значит, правильный ответ: \[ V = 98 \text{ км/ч} \]

Ответ: 100

Решение №17565: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость грузовика как \(v\) км/ч. Тогда скорость легкового автомобиля будет \(\frac{6}{5}v\) км/ч.
2. Скорость мотоциклиста составляет 90 км/ч.
3. Обозначим время, за которое мотоциклист догоняет грузовик, как \(t\) часов. Тогда время, за которое мотоциклист догоняет легковой автомобиль, будет \(t + 1\) часов.
4. Мотоциклист выехал через 30 минут (0.5 часа) после грузовика и легкового автомобиля. Таким образом, грузовик и легковой автомобиль едут уже 0.5 часа к моменту выезда мотоциклиста.
5. Запишем уравнение для грузовика: \[ \text{Расстояние, пройденное грузовиком} = v \cdot (t + 0.5) \] \[ \text{Расстояние, пройденное мотоциклистом} = 90 \cdot t \] Поскольку мотоциклист догоняет грузовик: \[ v \cdot (t + 0.5) = 90 \cdot t \]
6. Запишем уравнение для легкового автомобиля: \[ \text{Расстояние, пройденное легковым автомобилем} = \frac{6}{5}v \cdot (t + 1.5) \] \[ \text{Расстояние, пройденное мотоциклистом} = 90 \cdot (t + 1) \] Поскольку мотоциклист догоняет легковой автомобиль: \[ \frac{6}{5}v \cdot (t + 1.5) = 90 \cdot (t + 1) \]
7. Решим первое уравнение для грузовика: \[ v \cdot (t + 0.5) = 90 \cdot t \] \[ vt + 0.5v = 90t \] \[ vt - 90t = -0.5v \] \[ t(v - 90) = -0.5v \] \[ t = \frac{-0.5v}{v - 90} \]
8. Решим второе уравнение для легкового автомобиля: \[ \frac{6}{5}v \cdot (t + 1.5) = 90 \cdot (t + 1) \] \[ \frac{6}{5}v \cdot t + \frac{6}{5}v \cdot 1.5 = 90t + 90 \] \[ \frac{6}{5}vt + 1.8v = 90t + 90 \] \[ \frac{6}{5}vt - 90t = 90 - 1.8v \] \[ t(\frac{6}{5}v - 90) = 90 - 1.8v \] \[ t = \frac{90 - 1.8v}{\frac{6}{5}v - 90} \]
9. Приравняем два выражения для \(t\): \[ \frac{-0.5v}{v - 90} = \frac{90 - 1.8v}{\frac{6}{5}v - 90} \] Умножим обе части на \((v - 90)(\frac{6}{5}v - 90)\): \[ -0.5v(\frac{6}{5}v - 90) = (90 - 1.8v)(v - 90) \] Упростим: \[ -0.5v \cdot \frac{6}{5}v + 0.5v \cdot 90 = 90v - 1.8v^2 - 8100 + 162v \] \[ -\frac{3}{5}v^2 + 45v = 90v - 1.8v^2 - 8100 + 162v \] \[ -\frac{3}{5}v^2 + 45v = 252v - 1.8v^2 - 8100 \] \[ -\frac{3}{5}v^2 + 1.8v^2 = 252v - 45v - 8100 \] \[ \frac{6}{5}v^2 - 1.8v^2 = 207v - 8100 \] \[ \frac{6}{5}v^2 - \frac{9}{5}v^2 = 207v - 8100 \] \[ -\frac{3}{5}v^2 = 207v - 8100 \] \[ v^2 + 345v - 13500 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение: \[ v^2 + 345v - 13500 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = 345\), \(c = -13500\): \[ v = \frac{-345 \pm \sqrt{345^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13500)}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{-345 \pm \sqrt{119025 + 54000}}{2} \] \[ v = \frac{-345 \pm \sqrt{173025}}{2} \] \[ v = \frac{-345 \pm 416}{2} \] Решим два возможных варианта: \[ v = \frac{71}{2} = 35.5 \quad \text{(не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)} \] \[ v = \frac{-345 - 416}{2} = -380.5 \quad \text{(не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)} \] \[ v = 71 \quad \text{(подходит)} \]
11. Найдем скорость легкового автомобиля: \[ \text{Скорость легкового автомобиля} = \frac{6}{5}v = \frac{6}{5} \cdot 71 = 85.2 \text{ км/ч} \]

Ответ: 72

Решение №17566: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим время, за которое грузовик проехал от А до В, как \( t \) часов.
2. Легковой автомобиль выехал через час после грузовика, поэтому он догоняет грузовик через \( t - 1 \) часов.
3. Легковой автомобиль догоняет грузовик через 2 часа после выезда, поэтому \( t - 1 = 2 \).
4. Решим уравнение \( t - 1 = 2 \): \[ t - 1 = 2 \\ t = 2 + 1 \\ t = 3 \]
5. Легковой автомобиль прибывает в пункт В на 3 часа раньше грузовика, поэтому время, за которое легковой автомобиль проезжает от А до В, равно \( t - 3 \).
6. Подставим \( t = 3 \) в выражение для времени легкового автомобиля: \[ t - 3 = 3 - 3 = 0 \]
7. Однако, это невозможно, так как время не может быть нулевым. Это означает, что мы должны пересмотреть наши предположения.
8. Рассмотрим, что легковой автомобиль догоняет грузовик за 2 часа, и прибывает в пункт В на 3 часа раньше грузовика. Это означает, что грузовик едет \( 2 + 3 = 5 \) часов от А до В.

Ответ: 12

Решение №17567: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим время, которое велосипедист ехал до пункта В, как \( t \) часов.
2. Мотоциклист выехал через 3 часа после велосипедиста, значит, велосипедист ехал \( t - 3 \) часов до момента выезда мотоциклиста.
3. Мотоциклист догнал велосипедиста и затем за 1 час достиг пункта В, опередив велосипедиста на 1.5 часа. Это означает, что велосипедист достиг пункта В через \( 1.5 \) часа после мотоциклиста.
4. Следовательно, велосипедист ехал до пункта В \( 1.5 \) часа после того, как мотоциклист достиг пункта В. Таким образом, велосипедист ехал до пункта В \( 1.5 + 1 = 2.5 \) часа после выезда мотоциклиста.
5. Теперь суммируем время, которое велосипедист ехал до выезда мотоциклиста, и время, которое он ехал после выезда мотоциклиста: \[ t = (t - 3) + 2.5 \]
6. Решим уравнение: \[ t = t - 3 + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
7. Так как \( t \) должно быть положительным числом, мы допустили ошибку в уравнении. Вернемся к шагу 4 и пересчитаем: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
8. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
9. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
10. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
11. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
12. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
13. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
14. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
15. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
16. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
17. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
18. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
19. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
20. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
21. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
22. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
23. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
24. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
25. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
26. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
27. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
28. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
29. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
30. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
31. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
32. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
33. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
34. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
35. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
36. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
37. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
38. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
39. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
40. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
41. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
42. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
43. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
44. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
45. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
46. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
47. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
48. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
49. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
50. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
51. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
52. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
53. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
54. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
55. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
56. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
57. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
58. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
59. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
60. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
61. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
62. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
63. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
64. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
65. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
66. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
67. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
68. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
69. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
70. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]
71. Пересчитаем правильно: \[ t = (t - 3) + 2.5 \] \[ t = t - 0.5 \] \[ 0.5 = 0 \]

72. Ответ: 7.5

Решение №17568: Для решения задачи о двух пешеходах, идущих навстречу друг другу, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние между городами А и В как \(D\).
2. Пусть \(x\) — это расстояние, которое прошел первый пешеход к моменту, когда второй пешеход прошел половину пути.
3. Когда первый пешеход прошел половину пути, второму пешеходу осталось пройти 24 км. Значит, второй пешеход прошел \(D/2 - 24\) км.
4. Когда второй пешеход прошел половину пути, первому пешеходу осталось пройти 15 км. Значит, первый пешеход прошел \(D/2 - 15\) км.
5. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{D}{2} + 24 = D - \left(\frac{D}{2} - 15\right) \\ \frac{D}{2} - 24 = D - \left(\frac{D}{2} - 15\right) \end{cases} \]
6. Упростим первое уравнение: \[ \frac{D}{2} + 24 = D - \frac{D}{2} + 15 \] \[ \frac{D}{2} + 24 = \frac{D}{2} + 15 \] \[ 24 = 15 \] Это неверное уравнение, значит, мы допустили ошибку в постановке уравнений.
7. Пересмотрим систему уравнений: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
8. Решим первое уравнение: \[ x = D/2 + 24 \]
9. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 + 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 - 24 \] \[ -15 = -24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
10. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = x \end{cases} \]
11. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
12. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D/2 - 24 \] \[ -15 = -24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
13. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
14. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
15. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
16. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
17. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
18. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
19. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
20. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
21. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
22. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
23. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
24. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
25. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
26. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
27. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
28. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
29. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
30. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
31. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
32. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
33. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
34. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
35. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
36. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
37. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
38. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
39. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
40. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
41. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
42. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
43. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
44. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
45. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
46. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
47. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
48. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
49. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
50. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
51. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
52. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
53. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
54. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
55. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
56. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
57. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
58. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
59. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
60. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D/2 + 24 \] \[ -15 = 24 \] Это также неверное уравнение, значит, мы снова допустили ошибку.
61. Пересмотрим систему уравнений еще раз: \[ \begin{cases} D/2 + 24 = D - x \\ D/2 - 15 = D - x \end{cases} \]
62. Решим первое уравнение: \[ D/2 + 24 = D - x \] \[ x = D/2 - 24 \]
63. Подставим \(x\) во второе уравнение: \[ D/2 - 15 = D - (D/2 - 24) \] \[ D/2 - 15 = D

    Ответ: 8

Решение №17569: Для решения задачи о скоростях моторной лодки и парусника выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость моторной лодки как \(V_м\) (км/ч), а скорость парусника как \(V_п\) (км/ч).
2. Из условия задачи известно, что моторная лодка и парусник находятся на расстоянии 30 км друг от друга и встречаются через час. Это означает, что суммарная скорость их сближения равна 30 км/ч: \[ V_м + V_п = 30 \]
3. Теперь рассмотрим вторую часть условия. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 часа 20 минут. Преобразуем 3 часа 20 минут в часы: \[ 3 \text{ часа } 20 \text{ минут } = 3 + \frac{20}{60} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \text{ часов} \]
4. Пусть \(t\) — время, за которое моторная лодка догоняет парусник. Тогда расстояние, которое пройдет моторная лодка за это время, равно 20 км. Учитывая, что парусник за это же время удаляется от моторной лодки, получим уравнение: \[ V_м \cdot t = 20 + V_п \cdot t \]
5. Подставим \(t = \frac{10}{3}\) в уравнение: \[ V_м \cdot \frac{10}{3} = 20 + V_п \cdot \frac{10}{3} \]
6. Умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{10}\): \[ V_м = 6 + V_п \]
7. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} V_м + V_п = 30 \\ V_м = 6 + V_п \end{cases} \]
8. Подставим \(V_м = 6 + V_п\) во второе уравнение: \[ (6 + V_п) + V_п = 30 \]
9. Упростим уравнение: \[ 6 + 2V_п = 30 \]
10. Вычтем 6 из обеих частей уравнения: \[ 2V_п = 24 \]
11. Разделим обе части уравнения на 2: \[ V_п = 12 \]
12. Подставим \(V_п = 12\) в уравнение \(V_м = 6 + V_п\): \[ V_м = 6 + 12 = 18 \]

Ответ: 18; 12

Решение №17570: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость третьего гонщика как \(v\) км/ч.
2. Первый мотоциклист едет со скоростью 80 км/ч, второй — со скоростью 60 км/ч.
3. Третий гонщик стартует через полчаса после первых двух, то есть через 0.5 часа.
4. Обозначим время, через которое третий гонщик догоняет второго мотоциклиста, как \(t\) часов.
5. Время, через которое третий гонщик догоняет первого мотоциклиста, будет \(t + 1.25\) часов (поскольку он догоняет первого на 1 час 15 минут позже).

6. Расстояние, которое проехал второй мотоциклист за время \(t + 0.5\) часов (поскольку третий гонщик стартовал через 0.5 часа после второго): \[ 60 \cdot (t + 0.5) \]
7. Расстояние, которое проехал третий гонщик за время \(t\) часов: \[ v \cdot t \]
8. Приравняем эти расстояния (поскольку третий гонщик догоняет второго): \[ 60 \cdot (t + 0.5) = v \cdot t \]

9. Расстояние, которое проехал первый мотоциклист за время \(t + 1.25 + 0.5\) часов (поскольку третий гонщик стартовал через 0.5 часа после первого): \[ 80 \cdot (t + 1.75) \]
10. Расстояние, которое проехал третий гонщик за время \(t + 1.25\) часов: \[ v \cdot (t + 1.25) \]
11. Приравняем эти расстояния (поскольку третий гонщик догоняет первого): \[ 80 \cdot (t + 1.75) = v \cdot (t + 1.25) \]

12. Первое уравнение: \[ 60 \cdot (t + 0.5) = v \cdot t \]
13. Второе уравнение: \[ 80 \cdot (t + 1.75) = v \cdot (t + 1.25) \]

14. Раскроем скобки: \[ 60t + 30 = vt \]
15. Выразим \(v\): \[ v = \frac{60t + 30}{t} \]

16. Подставим \(v\) во второе уравнение: \[ 80 \cdot (t + 1.75) = \left(\frac{60t + 30}{t}\right) \cdot (t + 1.25) \]
17. Умножим обе части на \(t\): \[ 80t^2 + 140t = (60t + 30) \cdot (t + 1.25) \]
18. Раскроем скобки: \[ 80t^2 + 140t = 60t^2 + 75t + 30t + 37.5 \]
19. Упростим: \[ 80t^2 + 140t = 60t^2 + 105t + 37.5 \]
20. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 20t^2 + 35t - 37.5 = 0 \]

21. Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 20\), \(b = 35\), \(c = -37.5\).
22. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-37.5) = 1225 + 3000 = 4225 \]
23. Найдем корни: \[ t = \frac{-35 \pm \sqrt{4225}}{40} \]
24. Вычислим корни: \[ t = \frac{-35 \pm 65}{40} \]
25. Найдем положительный корень: \[ t = \frac{30}{40} = 0.75 \]

26. Подставим \(t = 0.75\) в выражение для \(v\): \[ v = \frac{60 \cdot 0.75 + 30}{0.75} = \frac{45 + 30}{0.75} = \frac{75}{0.75} = 100 \]

Ответ: 100

Решение №17571: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние между пунктами А и В как \(D\).
2. Обозначим скорость первого пешехода как \(v_1\), а скорости второго пешехода как \(v_2\).
3. Когда первый пешеход прошел четверть пути от А до В, он прошел расстояние \(\frac{D}{4}\).
4. В этот момент второму пешеходу до середины пути оставалось идти 1.5 км. Поскольку середина пути — это \(\frac{D}{2}\), расстояние, которое второму пешеходу оставалось пройти до середины пути, равно \(\frac{D}{2} - 1.5\).
5. Пусть \(t_1\) — время, за которое первый пешеход прошел четверть пути. Тогда \(v_1 \cdot t_1 = \frac{D}{4}\).
6. Пусть \(t_2\) — время, за которое второй пешеход прошел расстояние \(\frac{D}{2} - 1.5\). Тогда \(v_2 \cdot t_2 = \frac{D}{2} - 1.5\).
7. Когда второй пешеход прошел половину пути от В до А, он прошел расстояние \(\frac{D}{2}\).
8. В этот момент первый пешеход находился на расстоянии 2 км от второго. Таким образом, первый пешеход прошел расстояние \(D - 2\).
9. Пусть \(t_3\) — время, за которое второй пешеход прошел половину пути. Тогда \(v_2 \cdot t_3 = \frac{D}{2}\).
10. Пусть \(t_4\) — время, за которое первый пешеход прошел расстояние \(D - 2\). Тогда \(v_1 \cdot t_4 = D - 2\).
11. Поскольку второй пешеход шел быстрее первого, \(v_2 > v_1\).
12. Из условия задачи известно, что когда первый пешеход прошел четверть пути, второй пешеход прошел \(\frac{D}{2} - 1.5\). Поскольку они вышли одновременно, \(t_1 = t_2\).
13. Из условия задачи также известно, что когда второй пешеход прошел половину пути, первый пешеход прошел \(D - 2\). Поскольку они вышли одновременно, \(t_3 = t_4\).
14. Таким образом, мы имеем систему уравнений: \[ v_1 \cdot t_1 = \frac{D}{4} \] \[ v_2 \cdot t_1 = \frac{D}{2} - 1.5 \] \[ v_2 \cdot t_3 = \frac{D}{2} \] \[ v_1 \cdot t_3 = D - 2 \]
15. Разделим первое уравнение на второе: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{D}{4}}{\frac{D}{2} - 1.5} \] \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{D}{4} \cdot \frac{2}{D - 3} \] \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{D}{2(D - 3)} \]
16. Разделим третье уравнение на четвертое: \[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{D}{2}}{D - 2} \] \[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{D}{2(D - 2)} \]
17. Поскольку \(v_2 > v_1\), \(\frac{v_2}{v_1} > 1\). Следовательно, \(\frac{D}{2(D - 2)} > 1\).
18. Решим неравенство: \[ \frac{D}{2(D - 2)} > 1 \] \[ D > 2(D - 2) \] \[ D > 2D - 4 \] \[ 4 > D \]
19. Теперь решим систему уравнений: \[ \frac{D}{2(D - 3)} = \frac{2(D - 2)}{D} \] \[ D^2 = 4(D - 2)(D - 3) \] \[ D^2 = 4(D^2 - 5D + 6) \] \[ D^2 = 4D^2 - 20D + 24 \] \[ 3D^2 - 20D + 24 = 0 \]
20. Решим квадратное уравнение: \[ D = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -20\), \(c = 24\). \[ D = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 288}}{6} \] \[ D = \frac{20 \pm \sqrt{112}}{6} \] \[ D = \frac{20 \pm 4\sqrt{7}}{6} \] \[ D = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{3} \]
21. Поскольку \(D\) должно быть положительным и больше 4, выберем положительное значение: \[ D = \frac{10 + 2\sqrt{7}}{3} \]

Ответ: 12

Решение №17572: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние между пунктами А и В как \( D \) километров.
2. Когда первый велосипедист проехал треть пути, он проехал \( \frac{D}{3} \) километров.
3. Второму велосипедисту оставалось до середины пути ехать 2.5 км, значит, он проехал \( \frac{D}{2} - 2.5 \) километров.
4. Когда второй велосипедист проехал половину пути, он проехал \( \frac{D}{2} \) километров.
5. Первый велосипедист в этот момент отставал от него на 3 км, значит, он проехал \( \frac{D}{2} - 3 \) километров.

1. Когда первый велосипедист проехал \( \frac{D}{3} \) километров, второй проехал \( \frac{D}{2} - 2.5 \) километров.
2. Когда второй велосипедист проехал \( \frac{D}{2} \) километров, первый проехал \( \frac{D}{2} - 3 \) километров.

1. Из первой ситуации: \[ v_1 \cdot t_1 = \frac{D}{3} \] \[ v_2 \cdot t_1 = \frac{D}{2} - 2.5 \] Где \( t_1 \) — время, за которое первый велосипедист проехал треть пути.
2. Из второй ситуации: \[ v_2 \cdot t_2 = \frac{D}{2} \] \[ v_1 \cdot t_2 = \frac{D}{2} - 3 \] Где \( t_2 \) — время, за которое второй велосипедист проехал половину пути.

1. Из первого уравнения: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{D}{3}}{\frac{D}{2} - 2.5} \] \] Упростим: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{2D}{3(D - 5)} \]
2. Из второго уравнения: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{D}{2} - 3}{\frac{D}{2}} \] \] Упростим: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{D - 6}{D} \]

1. \[ \frac{2D}{3(D - 5)} = \frac{D - 6}{D} \]
2. Перемножим обе части уравнения: \[ 2D^2 = 3(D - 5)(D - 6) \]
3. Раскроем скобки: \[ 2D^2 = 3(D^2 - 11D + 30) \]
4. Упростим выражение: \[ 2D^2 = 3D^2 - 33D + 90 \]
5. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 2D^2 - 3D^2 + 33D - 90 = 0 \]
6. Упростим: \[ -D^2 + 33D - 90 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение: \[ D^2 - 33D + 90 = 0 \]
8. Найдем дискриминант: \[ \Delta = 33^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 1089 - 360 = 729 \]
9. Найдем корни уравнения: \[ D = \frac{33 \pm \sqrt{729}}{2} \]
10. Упростим: \[ D = \frac{33 \pm 27}{2} \]
11. Найдем два решения: \[ D_1 = \frac{60}{2} = 30 \] \[ D_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
12. Поскольку расстояние не может быть 3 км (так как это меньше, чем 2.5 км, которые оставались второму велосипедисту), выберем \( D = 30 \) км.

Ответ: 30

Решение №17573: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Введем обозначения:
   • Пусть \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости первого и второго автомобилей соответственно, где \( v_1 > v_2 \).
   • Пусть \( t \) — время, за которое первый автомобиль проходит расстояние \( AB \).
   • Пусть \( S \) — расстояние между пунктами \( A \) и \( B \).
   • Пусть \( C \) — пункт, удаленный от \( B \) на половину расстояния \( AB \), то есть \( BC = \frac{S}{2} \).
2. Запишем уравнения для времени прохождения расстояния \( AB \) обоими автомобилями:
   • Для первого автомобиля: \( t = \frac{S}{v_1} \).
   • Для второго автомобиля: \( t + 2 = \frac{S}{v_2} \).
3. Выразим скорости через время и расстояние:
   • \( v_1 = \frac{S}{t} \).
   • \( v_2 = \frac{S}{t + 2} \).
4. Из условия задачи известно, что оба автомобиля одновременно достигают пункта \( C \). Это означает, что время прохождения расстояния \( AC \) для обоих автомобилей одинаково.
   • Расстояние \( AC \) равно \( S + \frac{S}{2} = \frac{3S}{2} \).
5. Запишем уравнение для времени прохождения расстояния \( AC \) обоими автомобилями:
   • Для первого автомобиля: \( \frac{\frac{3S}{2}}{v_1} = \frac{3S}{2v_1} \).
   • Для второго автомобиля: \( \frac{\frac{3S}{2}}{v_2} = \frac{3S}{2v_2} \).
6. Поскольку время прохождения \( AC \) одинаково для обоих автомобилей, приравняем выражения: \[ \frac{3S}{2v_1} = \frac{3S}{2v_2} \]
7. Сократим оба выражения на \( \frac{3S}{2} \): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} \]
8. Подставим выражения для скоростей \( v_1 \) и \( v_2 \): \[ \frac{t}{S} = \frac{t + 2}{S} \]
9. Сократим оба выражения на \( \frac{1}{S} \): \[ t = t + 2 \]
10. Решим уравнение: \[ t = 2 \]

Ответ: 1

Решение №17574: Для решения задачи о скорости течения рек выполним следующие шаги:

1. Обозначим известные величины:
   • Расстояние по первой реке: \(36\) км.
   • Расстояние по озеру: \(19\) км.
   • Расстояние по второй реке: \(24\) км.
   • Общее время пути: \(8\) часов.
   • Время пути по озеру: \(2\) часа.
   • Скорость течения первой реки: \(v_1\) км/ч.
   • Скорость течения второй реки: \(v_2\) км/ч.
   • Собственная скорость лодки: \(v_b\) км/ч.
2. Выразим время, затраченное на плавание по рекам:
   • Время на первой реке: \( \frac{36}{v_b + v_1} \).
   • Время на второй реке: \( \frac{24}{v_b - v_2} \).
3. Составим уравнение для общего времени пути: \[ \frac{36}{v_b + v_1} + \frac{24}{v_b - v_2} + 2 = 8 \]
4. Упростим уравнение: \[ \frac{36}{v_b + v_1} + \frac{24}{v_b - v_2} = 6 \]
5. Из условия задачи \(v_1 = v_2 + 1\). Подставим это в уравнение: \[ \frac{36}{v_b + v_2 + 1} + \frac{24}{v_b - v_2} = 6 \]
6. Введем новую переменную \(v = v_2\). Тогда \(v_1 = v + 1\): \[ \frac{36}{v_b + v + 1} + \frac{24}{v_b - v} = 6 \]
7. Умножим обе части уравнения на \((v_b + v + 1)(v_b - v)\): \[ 36(v_b - v) + 24(v_b + v + 1) = 6(v_b + v + 1)(v_b - v) \]
8. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 36v_b - 36v + 24v_b + 24v + 24 = 6v_b^2 - 6v^2 - 6v_b + 6v \] \[ 60v_b + 24 = 6v_b^2 - 6v^2 - 6v_b + 6v \] \[ 66v_b + 24 = 6v_b^2 - 6v^2 \]
9. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 6v_b^2 - 6v^2 - 66v_b - 24 = 0 \] \[ v_b^2 - v^2 - 11v_b - 4 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение относительно \(v_b\): \[ v_b = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 16}}{2} \] \[ v_b = \frac{11 \pm \sqrt{137}}{2} \]
11. Подставим \(v_b\) обратно в уравнение для нахождения \(v\): \[ \frac{36}{v_b + v + 1} + \frac{24}{v_b - v} = 6 \]
12. Решим уравнение для \(v\): \[ v = 1 \]
13. Найдем \(v_1\) и \(v_2\): \[ v_1 = v + 1 = 1 + 1 = 2 \text{ км/ч} \] \[ v_2 = v = 1 \text{ км/ч} \]

Ответ: 2,5; 1,5

Решение №17575: Для решения задачи В течение 7 часов 20 минут судно прошло вверх по реке 35 км и вернулось обратно. Скорость течения равна 4 км/ч. С какой скоростью судно шло по течению? выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Время в пути: 7 часов 20 минут = 7 + \(\frac{20}{60}\) = 7.33 часа.
   • Расстояние: 35 км в одну сторону, итого 70 км туда и обратно.
   • Скорость течения реки: 4 км/ч.
2. Обозначим \(v\) — скорость судна в стоячей воде.
3. Скорость судна вверх по реке: \(v - 4\) км/ч.
4. Скорость судна вниз по реке: \(v + 4\) км/ч.
5. Запишем уравнения для времени, затраченного на путь вверх и вниз по реке: \[ \frac{35}{v - 4} + \frac{35}{v + 4} = 7.33 \]
6. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{35(v + 4) + 35(v - 4)}{(v - 4)(v + 4)} = 7.33 \]
7. Упростим числитель: \[ \frac{35v + 140 + 35v - 140}{v^2 - 16} = 7.33 \] \[ \frac{70v}{v^2 - 16} = 7.33 \]
8. Умножим обе части уравнения на \(v^2 - 16\): \[ 70v = 7.33(v^2 - 16) \]
9. Раскроем скобки: \[ 70v = 7.33v^2 - 7.33 \cdot 16 \] \[ 70v = 7.33v^2 - 117.28 \]
10. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 7.33v^2 - 70v - 117.28 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 7.33\), \(b = -70\), \(c = -117.28\).
12. Вычислим дискриминант: \[ b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \cdot 7.33 \cdot (-117.28) \] \[ = 4900 + 4 \cdot 7.33 \cdot 117.28 \] \[ = 4900 + 3514.752 \] \[ = 8414.752 \]
13. Вычислим корни уравнения: \[ v = \frac{70 \pm \sqrt{8414.752}}{2 \cdot 7.33} \] \[ v = \frac{70 \pm 91.73}{14.66} \]
14. Вычислим два возможных значения для \(v\): \[ v_1 = \frac{70 + 91.73}{14.66} \approx 11.23 \] \[ v_2 = \frac{70 - 91.73}{14.66} \approx -1.49 \]
15. Отбросим отрицательное значение, так как скорость не может быть отрицательной: \[ v = 11.23 \text{ км/ч} \]
16. Скорость судна по течению: \[ v_{\text{по течению}} = v + 4 = 11.23 + 4 = 15.23 \text{ км/ч} \]

Ответ: 15

Решение №17576: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние от пристани А до пристани В как \(D\) км.
2. Обозначим скорость притока как \(v\) км/ч.
3. Скорость течения реки равна 3 км/ч.
4. Собственная скорость парохода равна 18 км/ч.
5. Скорость парохода вниз по притоку равна \(18 + v\) км/ч.
6. Скорость парохода вверх по притоку равна \(18 - v\) км/ч.
7. Скорость парохода вниз по реке равна \(18 + 3 = 21\) км/ч.
8. Скорость парохода вверх по реке равна \(18 - 3 = 15\) км/ч.

9. Время движения от А до В: \[ \frac{80}{18 + v} + \frac{D - 80}{15} = 18 \]
10. Время движения от В до А: \[ \frac{D - 80}{21} + \frac{80}{18 - v} = 15 \]

11. Упростим первое уравнение: \[ \frac{80}{18 + v} + \frac{D - 80}{15} = 18 \] Умножим обе части на \(15(18 + v)\): \[ 15 \cdot 80 + (18 + v)(D - 80) = 18 \cdot 15(18 + v) \] \[ 1200 + (18 + v)(D - 80) = 270(18 + v) \] \[ (18 + v)(D - 80) = 270(18 + v) - 1200 \] \[ D - 80 = \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} \] \[ D = \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} + 80 \]
12. Упростим второе уравнение: \[ \frac{D - 80}{21} + \frac{80}{18 - v} = 15 \] Умножим обе части на \(21(18 - v)\): \[ (D - 80)(18 - v) + 21 \cdot 80 = 15 \cdot 21(18 - v) \] \[ (D - 80)(18 - v) + 1680 = 315(18 - v) \] \[ (D - 80)(18 - v) = 315(18 - v) - 1680 \] \[ D - 80 = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} \] \[ D = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} + 80 \]

13. Приравняем выражения для \(D\): \[ \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} + 80 = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} + 80 \] Упростим: \[ \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} \] Умножим обе части на \((18 + v)(18 - v)\): \[ (270(18 + v) - 1200)(18 - v) = (315(18 - v) - 1680)(18 + v) \] Раскроем скобки и упростим: \[ 270 \cdot 18 \cdot 18 - 270 \cdot 18 \cdot v + 270 \cdot v \cdot 18 - 270 \cdot v^2 - 1200 \cdot 18 + 1200 \cdot v = 315 \cdot 18 \cdot 18 - 315 \cdot 18 \cdot v + 315 \cdot v \cdot 18 - 315 \cdot v^2 - 1680 \cdot 18 + 1680 \cdot v \] Упростим и решим относительно \(v\): \[ v = 1 \text{ км/ч} \]
14. Подставим \(v = 1\) в одно из уравнений для \(D\): \[ D = \frac{270(18 + 1) - 1200}{18 + 1} + 80 \] \[ D = \frac{270 \cdot 19 - 1200}{19} + 80 \] \[ D = \frac{5130 - 1200}{19} + 80 \] \[ D = \frac{3930}{19} + 80 \] \[ D = 207 + 80 \] \[ D = 287 \text{ км} \]

Ответ: 290; 2

Решение №17577: Для решения задачи о скорости парохода в стоячей воде выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Пароход прошел 4 км против течения реки и 33 км по течению.
   • Общее время, затраченное на путь, составляет 1 час.
   • Скорость течения реки равна 6.5 км/ч.
2. Обозначим скорость парохода в стоячей воде как \(v\) км/ч.
3. Определим скорость парохода против течения и по течению:
   • Скорость парохода против течения: \(v - 6.5\) км/ч.
   • Скорость парохода по течению: \(v + 6.5\) км/ч.
4. Выразим время, затраченное на прохождение каждого участка:
   • Время на прохождение 4 км против течения: \(\frac{4}{v - 6.5}\) часов.
   • Время на прохождение 33 км по течению: \(\frac{33}{v + 6.5}\) часов.
5. Составим уравнение для общего времени: \[ \frac{4}{v - 6.5} + \frac{33}{v + 6.5} = 1 \]
6. Умножим обе части уравнения на \((v - 6.5)(v + 6.5)\) для устранения знаменателей: \[ 4(v + 6.5) + 33(v - 6.5) = (v - 6.5)(v + 6.5) \]
7. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 4v + 26 + 33v - 214.5 = v^2 - 42.25 \] \[ 37v - 188.5 = v^2 - 42.25 \]
8. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ v^2 - 37v - 146.25 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-146.25) = 1369 + 585 = 1954 \] \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 \pm \sqrt{1954}}{2} \]
10. Вычислим корни уравнения: \[ v_1 = \frac{37 + \sqrt{1954}}{2} \approx \frac{37 + 44.2}{2} \approx 40.6 \] \[ v_2 = \frac{37 - \sqrt{1954}}{2} \approx \frac{37 - 44.2}{2} \approx -3.6 \]
11. Отбросим отрицательное значение, так как скорость не может быть отрицательной: \[ v = 40.6 \text{ км/ч} \]

Ответ: 32.5

Решение №17578: Для решения задачи о моторной лодке, спустившейся вниз по течению реки на 18 км и вернувшейся обратно, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Лодка проплыла 18 км вниз по течению и 18 км против течения.
   • Общее время, затраченное на путь, составляет 1 час 45 минут (или 105 минут).
   • Лодка проплывает 6 км по течению на 5 минут быстрее, чем против течения.
2. Обозначим собственную скорость лодки как \( v \) км/ч, а скорость течения реки как \( u \) км/ч.
3. Скорость лодки вниз по течению будет \( v + u \), а против течения — \( v - u \).
4. Выразим время, затраченное на прохождение 6 км по течению и против течения: \[ \text{Время вниз по течению} = \frac{6}{v + u} \] \[ \text{Время против течения} = \frac{6}{v - u} \] По условию, время вниз по течению на 5 минут меньше: \[ \frac{6}{v - u} - \frac{6}{v + u} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \]
5. Решим уравнение для времени: \[ \frac{6}{v - u} - \frac{6}{v + u} = \frac{1}{12} \] Умножим обе части на 12: \[ 72 \left( \frac{1}{v - u} - \frac{1}{v + u} \right) = 1 \] \[ 72 \left( \frac{v + u - (v - u)}{(v - u)(v + u)} \right) = 1 \] \[ 72 \left( \frac{2u}{v^2 - u^2} \right) = 1 \] \[ 144u = v^2 - u^2 \] \[ v^2 = u^2 + 144u \]
6. Выразим общее время пути: \[ \frac{18}{v + u} + \frac{18}{v - u} = 1.75 \] Умножим обе части на 4: \[ 4 \left( \frac{18}{v + u} + \frac{18}{v - u} \right) = 7 \] \[ \frac{72}{v + u} + \frac{72}{v - u} = 7 \] \[ \frac{72(v - u) + 72(v + u)}{(v + u)(v - u)} = 7 \] \[ \frac{72v - 72u + 72v + 72u}{v^2 - u^2} = 7 \] \[ \frac{144v}{v^2 - u^2} = 7 \] \[ 144v = 7(v^2 - u^2) \] \[ 144v = 7(u^2 + 144u) \]
7. Решим систему уравнений: \[ v^2 = u^2 + 144u \] \[ 144v = 7(u^2 + 144u) \] Подставим \( v^2 \) из первого уравнения во второе: \[ 144v = 7v^2 \] \[ 144v = 7(u^2 + 144u) \] \[ 144v = 7u^2 + 1008u \] \[ 144v = 7v^2 \] \[ 7v^2 - 144v = 0 \] \[ v(7v - 144) = 0 \] \[ v = 0 \quad \text{или} \quad 7v = 144 \] \[ v = \frac{144}{7} \approx 20.57 \text{ км/ч} \]
8. Таким образом, собственная скорость лодки составляет примерно 20.57 км/ч.

Ответ: 21

Решение №17579: Для решения задачи о моторной лодке, которая спустилась вниз по течению реки на 20 км и поднялась вверх по притоку на 10 км, затратив на весь путь 1 час 10 минут, а на обратный путь 1 час 20 минут, выполним следующие шаги:

1. Обозначим собственную скорость лодки через \(v\) (км/ч), а скорость течения реки и притока через \(u\) (км/ч).
2. Переведем время в часы:
   • 1 час 10 минут = 1 + \(\frac{10}{60}\) часа = 1.167 часа.
   • 1 час 20 минут = 1 + \(\frac{20}{60}\) часа = 1.333 часа.
3. Составим уравнения для пути туда и обратно:
   • Время на путь туда: \(\frac{20}{v + u} + \frac{10}{v - u} = 1.167\).
   • Время на путь обратно: \(\frac{20}{v - u} + \frac{10}{v + u} = 1.333\).
4. Запишем систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{20}{v + u} + \frac{10}{v - u} = 1.167 \\ \frac{20}{v - u} + \frac{10}{v + u} = 1.333 \end{cases} \]
5. Решим систему уравнений. Для этого сначала выразим одно из уравнений через другое:
   • Умножим первое уравнение на \((v + u)\) и \((v - u)\): \[ 20(v - u) + 10(v + u) = 1.167(v + u)(v - u) \]
   • Умножим второе уравнение на \((v - u)\) и \((v + u)\): \[ 20(v + u) + 10(v - u) = 1.333(v + u)(v - u) \]
6. Упростим уравнения: \[ \begin{cases} 20v - 20u + 10v + 10u = 1.167(v^2 - u^2) \\ 20v + 20u + 10v - 10u = 1.333(v^2 - u^2) \end{cases} \] \[ \begin{cases} 30v = 1.167(v^2 - u^2) \\ 30v = 1.333(v^2 - u^2) \end{cases} \]
7. Разделим одно уравнение на другое: \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v^2 - u^2}{v^2 - u^2} \]
8. Упростим: \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v - u}{v + u} \] \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v - u}{v + u} \]
9. Решим уравнение: \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v - u}{v + u} \] \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v - u}{v + u} \]
10. Найдем \(v\): \[ v = 15 \text{ км/ч} \]

Ответ: 25

Решение №17580: Для решения задачи определим скорости парохода и катера в стоячей воде. Обозначим: - \( v_p \) — скорость парохода в стоячей воде, - \( v_k \) — скорость катера в стоячей воде, - \( v_t \) — скорость течения реки. Запишем уравнения для скоростей парохода и катера по течению и против течения.

1. Скорость парохода по течению: \( v_p + v_t \).
2. Скорость катера по течению: \( v_k + v_t \).
3. Скорость парохода против течения: \( v_p - v_t \).
4. Скорость катера против течения: \( v_k - v_t \).

1. Пароход проходит путь в полтора раза быстрее катера по течению: \[ v_p + v_t = 1.5 (v_k + v_t) \]
2. Каждый час катер отстает от парохода на 8 км: \[ (v_p + v_t) - (v_k + v_t) = 8 \]
3. Пароход проходит путь в два раза быстрее катера против течения: \[ v_p - v_t = 2 (v_k - v_t) \]

1. Из второго уравнения: \[ v_p + v_t - v_k - v_t = 8 \] \[ v_p - v_k = 8 \]
2. Из первого уравнения: \[ v_p + v_t = 1.5 (v_k + v_t) \] Подставим \( v_p = v_k + 8 \): \[ (v_k + 8) + v_t = 1.5 (v_k + v_t) \] \[ v_k + 8 + v_t = 1.5 v_k + 1.5 v_t \] \[ 8 + v_t = 0.5 v_k + 0.5 v_t \] \[ 8 = 0.5 v_k - 0.5 v_t \] \[ 16 = v_k - v_t \]
3. Из третьего уравнения: \[ v_p - v_t = 2 (v_k - v_t) \] Подставим \( v_p = v_k + 8 \): \[ (v_k + 8) - v_t = 2 (v_k - v_t) \] \[ v_k + 8 - v_t = 2 v_k - 2 v_t \] \[ 8 - v_t = v_k - v_t \] \[ 8 = v_k \]

Ответ: 20; 12

Решение №17582: Для решения задачи о пассажире, спускающемся по эскалатору, выполним следующие шаги:

1. Обозначим длину эскалатора через \( L \) (в метрах).
2. Обозначим скорость пассажира через \( v_p \) (в метрах в секунду).
3. Обозначим скорость эскалатора через \( v_e \) (в метрах в секунду).
4. Обозначим время спуска по движущемуся эскалатору через \( t_1 = 24 \) секунды.
5. Обозначим время спуска по неподвижному эскалатору через \( t_2 = 42 \) секунды.
6. Запишем уравнения для времени спуска: \[ \frac{L}{v_p + v_e} = 24 \quad \text{(1)} \] \[ \frac{L}{v_p} = 42 \quad \text{(2)} \]
7. Решим уравнение (2) для \( v_p \): \[ v_p = \frac{L}{42} \]
8. Подставим \( v_p \) в уравнение (1): \[ \frac{L}{\frac{L}{42} + v_e} = 24 \]
9. Упростим уравнение: \[ \frac{L}{\frac{L}{42} + v_e} = 24 \] \[ \frac{L}{\frac{L + 42v_e}{42}} = 24 \] \[ \frac{42L}{L + 42v_e} = 24 \]
10. Умножим обе части уравнения на \( L + 42v_e \): \[ 42L = 24(L + 42v_e) \] \[ 42L = 24L + 1008v_e \]
11. Решим уравнение для \( v_e \): \[ 42L - 24L = 1008v_e \] \[ 18L = 1008v_e \] \[ v_e = \frac{18L}{1008} \] \[ v_e = \frac{L}{56} \]
12. Теперь найдем время спуска, стоя на ступеньках движущегося эскалатора: \[ t_3 = \frac{L}{v_e} \] \[ t_3 = \frac{L}{\frac{L}{56}} \] \[ t_3 = 56 \]

Ответ: 56

Решение №17583: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим время движения колонны и вестового:
   • Колонна движется со скоростью 3 км/ч.
   • Вестовой тратит 30 минут на проезд туда и обратно.
2. Переведем время в часы: \[ 30 \text{ минут} = 0.5 \text{ часа} \]
3. Запишем уравнение для расстояния, которое проходит вестовой:
   • Вестовой должен проехать от конца колонны до начала и обратно, то есть общее расстояние \(2L\), где \(L\) — длина колонны.
   • Длина колонны \(L = 2 \text{ км}\).
4. Учитывая, что колонна движется, определим, сколько пройдет колонна за 0.5 часа: \[ \text{Расстояние, пройденное колонной} = 3 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 1.5 \text{ км} \]
5. Определим полное расстояние, которое должен проехать вестовой:
   • Вестовой должен проехать длину колонны \(2 \text{ км}\) и вернуться обратно на \(2 \text{ км}\), но с учетом движения колонны.
   • Таким образом, вестовой должен проехать \(2 \text{ км} + 1.5 \text{ км} + 2 \text{ км} + 1.5 \text{ км} = 7 \text{ км}\).
6. Найдем скорость вестового: \[ \text{Скорость вестового} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Время}} = \frac{7 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 14 \text{ км/ч} \]

Ответ: 9