№17582

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от пункта А до пункта В пароход проходит в полтора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если же они плывут против течения, то пароход проходит путь от В до А в два раза быстрее катера. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде.

Ответ

20; 12

Решение № 17580:

Для решения задачи определим скорости парохода и катера в стоячей воде. Обозначим: - \( v_p \) — скорость парохода в стоячей воде, - \( v_k \) — скорость катера в стоячей воде, - \( v_t \) — скорость течения реки. Запишем уравнения для скоростей парохода и катера по течению и против течения. <ol> <li>Скорость парохода по течению: \( v_p + v_t \).</li> <li>Скорость катера по течению: \( v_k + v_t \).</li> <li>Скорость парохода против течения: \( v_p - v_t \).</li> <li>Скорость катера против течения: \( v_k - v_t \).</li> </ol> Из условия задачи: <ol> <li>Пароход проходит путь в полтора раза быстрее катера по течению: \[ v_p + v_t = 1.5 (v_k + v_t) \] </li> <li>Каждый час катер отстает от парохода на 8 км: \[ (v_p + v_t) - (v_k + v_t) = 8 \] </li> <li>Пароход проходит путь в два раза быстрее катера против течения: \[ v_p - v_t = 2 (v_k - v_t) \] </li> </ol> Решим систему уравнений: <ol> <li>Из второго уравнения: \[ v_p + v_t - v_k - v_t = 8 \] \[ v_p - v_k = 8 \] </li> <li>Из первого уравнения: \[ v_p + v_t = 1.5 (v_k + v_t) \] Подставим \( v_p = v_k + 8 \): \[ (v_k + 8) + v_t = 1.5 (v_k + v_t) \] \[ v_k + 8 + v_t = 1.5 v_k + 1.5 v_t \] \[ 8 + v_t = 0.5 v_k + 0.5 v_t \] \[ 8 = 0.5 v_k - 0.5 v_t \] \[ 16 = v_k - v_t \] </li> <li>Из третьего уравнения: \[ v_p - v_t = 2 (v_k - v_t) \] Подставим \( v_p = v_k + 8 \): \[ (v_k + 8) - v_t = 2 (v_k - v_t) \] \[ v_k + 8 - v_t = 2 v_k - 2 v_t \] \[ 8 - v_t = v_k - v_t \] \[ 8 = v_k \] </li> </ol> Теперь подставим \( v_k = 8 \) в уравнение \( v_p = v_k + 8 \): \[ v_p = 8 + 8 = 16 \] Таким образом, скорости парохода и катера в стоячей воде: \[ v_p = 16 \text{ км/ч}, \quad v_k = 8 \text{ км/ч} \] Ответ: \( v_p = 16 \) км/ч, \( v_k = 8 \) км/ч.