№17580

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Моторная лодка спустилась вниз по течению реки на 18 км и вернулась обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Найти собственную скорость лодки, если известно, что 6 км по течению реки лодка проплывает на 5 минут быстрее, чем против течения.

Ответ

21

Решение № 17578:

Для решения задачи о моторной лодке, спустившейся вниз по течению реки на 18 км и вернувшейся обратно, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие задачи: <ul> <li>Лодка проплыла 18 км вниз по течению и 18 км против течения.</li> <li>Общее время, затраченное на путь, составляет 1 час 45 минут (или 105 минут).</li> <li>Лодка проплывает 6 км по течению на 5 минут быстрее, чем против течения.</li> </ul> </li> <li>Обозначим собственную скорость лодки как \( v \) км/ч, а скорость течения реки как \( u \) км/ч.</li> <li>Скорость лодки вниз по течению будет \( v + u \), а против течения — \( v - u \).</li> <li>Выразим время, затраченное на прохождение 6 км по течению и против течения: \[ \text{Время вниз по течению} = \frac{6}{v + u} \] \[ \text{Время против течения} = \frac{6}{v - u} \] По условию, время вниз по течению на 5 минут меньше: \[ \frac{6}{v - u} - \frac{6}{v + u} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \] </li> <li>Решим уравнение для времени: \[ \frac{6}{v - u} - \frac{6}{v + u} = \frac{1}{12} \] Умножим обе части на 12: \[ 72 \left( \frac{1}{v - u} - \frac{1}{v + u} \right) = 1 \] \[ 72 \left( \frac{v + u - (v - u)}{(v - u)(v + u)} \right) = 1 \] \[ 72 \left( \frac{2u}{v^2 - u^2} \right) = 1 \] \[ 144u = v^2 - u^2 \] \[ v^2 = u^2 + 144u \] </li> <li>Выразим общее время пути: \[ \frac{18}{v + u} + \frac{18}{v - u} = 1.75 \] Умножим обе части на 4: \[ 4 \left( \frac{18}{v + u} + \frac{18}{v - u} \right) = 7 \] \[ \frac{72}{v + u} + \frac{72}{v - u} = 7 \] \[ \frac{72(v - u) + 72(v + u)}{(v + u)(v - u)} = 7 \] \[ \frac{72v - 72u + 72v + 72u}{v^2 - u^2} = 7 \] \[ \frac{144v}{v^2 - u^2} = 7 \] \[ 144v = 7(v^2 - u^2) \] \[ 144v = 7(u^2 + 144u) \] </li> <li>Решим систему уравнений: \[ v^2 = u^2 + 144u \] \[ 144v = 7(u^2 + 144u) \] Подставим \( v^2 \) из первого уравнения во второе: \[ 144v = 7v^2 \] \[ 144v = 7(u^2 + 144u) \] \[ 144v = 7u^2 + 1008u \] \[ 144v = 7v^2 \] \[ 7v^2 - 144v = 0 \] \[ v(7v - 144) = 0 \] \[ v = 0 \quad \text{или} \quad 7v = 144 \] \[ v = \frac{144}{7} \approx 20.57 \text{ км/ч} \] </li> <li>Таким образом, собственная скорость лодки составляет примерно 20.57 км/ч.</li> </ol> Ответ: 20.57 км/ч