№17565

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Три велосипедиста из одного поселка в одном направлении выезжают с интервалом в 1 час. Первый двигался со скоростью 12 км/ч, второй – 10 км/ч. Третий велосипедист, имея большую скорость, догнал второго, а еще через 2 часа догнал первого. Найти скорость третьего велосипедиста.

Ответ

20

Решение № 17563:

Для решения задачи найдем скорость третьего велосипедиста, следуя пошаговым шагам: <ol> <li>Обозначим скорость третьего велосипедиста как \(v\) км/ч.</li> <li>Второй велосипедист выехал через 1 час после первого, а третий – через 2 часа после первого. Таким образом, когда третий велосипедист выехал, первый уже проехал \(12 \times 2 = 24\) км, а второй – \(10 \times 1 = 10\) км.</li> <li>Пусть \(t\) часов третий велосипедист догнал второго. За это время третий велосипедист проехал \(v \cdot t\) км, а второй проехал \(10 \cdot (t + 1)\) км (поскольку он выехал на час раньше).</li> <li>Составим уравнение для момента, когда третий велосипедист догнал второго: \[ v \cdot t = 10 \cdot (t + 1) \] </li> <li>Решим это уравнение для \(t\): \[ v \cdot t = 10t + 10 \] \[ vt - 10t = 10 \] \[ t(v - 10) = 10 \] \[ t = \frac{10}{v - 10} \] </li> <li>Теперь найдем время, через которое третий велосипедист догнал первого. Пусть это время равно \(t + 2\) часа. За это время третий велосипедист проехал \(v \cdot (t + 2)\) км, а первый проехал \(12 \cdot (t + 2 + 2)\) км (поскольку он выехал на 2 часа раньше).</li> <li>Составим уравнение для момента, когда третий велосипедист догнал первого: \[ v \cdot (t + 2) = 12 \cdot (t + 4) \] </li> <li>Подставим \(t = \frac{10}{v - 10}\) в это уравнение: \[ v \cdot \left(\frac{10}{v - 10} + 2\right) = 12 \cdot \left(\frac{10}{v - 10} + 4\right) \] \[ v \cdot \left(\frac{10 + 2(v - 10)}{v - 10}\right) = 12 \cdot \left(\frac{10 + 4(v - 10)}{v - 10}\right) \] \[ v \cdot \left(\frac{10 + 2v - 20}{v - 10}\right) = 12 \cdot \left(\frac{10 + 4v - 40}{v - 10}\right) \] \[ v \cdot \left(\frac{2v - 10}{v - 10}\right) = 12 \cdot \left(\frac{4v - 30}{v - 10}\right) \] \[ v \cdot (2v - 10) = 12 \cdot (4v - 30) \] \[ 2v^2 - 10v = 48v - 360 \] \[ 2v^2 - 58v + 360 = 0 \] \[ v^2 - 29v + 180 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ v = \frac{29 \pm \sqrt{29^2 - 4 \cdot 180}}{2} \] \[ v = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 720}}{2} \] \[ v = \frac{29 \pm \sqrt{121}}{2} \] \[ v = \frac{29 \pm 11}{2} \] \[ v = 20 \quad \text{или} \quad v = 9 \] </li> <li>Поскольку скорость третьего велосипедиста должна быть больше скорости первого и второго, выберем \(v = 20\) км/ч.</li> </ol> Таким образом, скорость третьего велосипедиста равна \(20\) км/ч. Ответ: 20