№17577

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

В течение 7 часов 20 минут судно прошло вверх по реке 35 км и вернулось обратно. Скорость течения равна 4 км/ч. С какой скоростью судно шло по течению?

Ответ

15

Решение № 17575:

Для решения задачи В течение 7 часов 20 минут судно прошло вверх по реке 35 км и вернулось обратно. Скорость течения равна 4 км/ч. С какой скоростью судно шло по течению? выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условия задачи: <ul> <li>Время в пути: 7 часов 20 минут = 7 + \(\frac{20}{60}\) = 7.33 часа.</li> <li>Расстояние: 35 км в одну сторону, итого 70 км туда и обратно.</li> <li>Скорость течения реки: 4 км/ч.</li> </ul> </li> <li>Обозначим \(v\) — скорость судна в стоячей воде.</li> <li>Скорость судна вверх по реке: \(v - 4\) км/ч.</li> <li>Скорость судна вниз по реке: \(v + 4\) км/ч.</li> <li>Запишем уравнения для времени, затраченного на путь вверх и вниз по реке: \[ \frac{35}{v - 4} + \frac{35}{v + 4} = 7.33 \] </li> <li>Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{35(v + 4) + 35(v - 4)}{(v - 4)(v + 4)} = 7.33 \] </li> <li>Упростим числитель: \[ \frac{35v + 140 + 35v - 140}{v^2 - 16} = 7.33 \] \[ \frac{70v}{v^2 - 16} = 7.33 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(v^2 - 16\): \[ 70v = 7.33(v^2 - 16) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ 70v = 7.33v^2 - 7.33 \cdot 16 \] \[ 70v = 7.33v^2 - 117.28 \] </li> <li>Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 7.33v^2 - 70v - 117.28 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 7.33\), \(b = -70\), \(c = -117.28\). </li> <li>Вычислим дискриминант: \[ b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \cdot 7.33 \cdot (-117.28) \] \[ = 4900 + 4 \cdot 7.33 \cdot 117.28 \] \[ = 4900 + 3514.752 \] \[ = 8414.752 \] </li> <li>Вычислим корни уравнения: \[ v = \frac{70 \pm \sqrt{8414.752}}{2 \cdot 7.33} \] \[ v = \frac{70 \pm 91.73}{14.66} \] </li> <li>Вычислим два возможных значения для \(v\): \[ v_1 = \frac{70 + 91.73}{14.66} \approx 11.23 \] \[ v_2 = \frac{70 - 91.73}{14.66} \approx -1.49 \] </li> <li>Отбросим отрицательное значение, так как скорость не может быть отрицательной: \[ v = 11.23 \text{ км/ч} \] </li> <li>Скорость судна по течению: \[ v_{\text{по течению}} = v + 4 = 11.23 + 4 = 15.23 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, скорость судна по течению составляет 15.23 км/ч. Ответ: 15.23 км/ч