№17578

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

В реку впадает приток. Пароход отходит от пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 часов на весь путь от А до В. Затем пароход возвращается обратно. Время обратного движения от В до А по тому же пути равно 15 часам. Собственная скорость парохода, т.е. скорость в стоячей воде равна, равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани А до пристани В и какова скорость притока?

Ответ

290; 2

Решение № 17576:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим расстояние от пристани А до пристани В как \(D\) км.</li> <li>Обозначим скорость притока как \(v\) км/ч.</li> <li>Скорость течения реки равна 3 км/ч.</li> <li>Собственная скорость парохода равна 18 км/ч.</li> <li>Скорость парохода вниз по притоку равна \(18 + v\) км/ч.</li> <li>Скорость парохода вверх по притоку равна \(18 - v\) км/ч.</li> <li>Скорость парохода вниз по реке равна \(18 + 3 = 21\) км/ч.</li> <li>Скорость парохода вверх по реке равна \(18 - 3 = 15\) км/ч.</li> </ol> Теперь составим уравнения для времени движения парохода: <ol start=9> <li>Время движения от А до В: \[ \frac{80}{18 + v} + \frac{D - 80}{15} = 18 \] </li> <li>Время движения от В до А: \[ \frac{D - 80}{21} + \frac{80}{18 - v} = 15 \] </li> </ol> Решим эти уравнения: <ol start=11> <li>Упростим первое уравнение: \[ \frac{80}{18 + v} + \frac{D - 80}{15} = 18 \] Умножим обе части на \(15(18 + v)\): \[ 15 \cdot 80 + (18 + v)(D - 80) = 18 \cdot 15(18 + v) \] \[ 1200 + (18 + v)(D - 80) = 270(18 + v) \] \[ (18 + v)(D - 80) = 270(18 + v) - 1200 \] \[ D - 80 = \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} \] \[ D = \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} + 80 \] </li> <li>Упростим второе уравнение: \[ \frac{D - 80}{21} + \frac{80}{18 - v} = 15 \] Умножим обе части на \(21(18 - v)\): \[ (D - 80)(18 - v) + 21 \cdot 80 = 15 \cdot 21(18 - v) \] \[ (D - 80)(18 - v) + 1680 = 315(18 - v) \] \[ (D - 80)(18 - v) = 315(18 - v) - 1680 \] \[ D - 80 = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} \] \[ D = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} + 80 \] </li> </ol> Теперь решим систему уравнений: <ol start=13> <li>Приравняем выражения для \(D\): \[ \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} + 80 = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} + 80 \] Упростим: \[ \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} \] Умножим обе части на \((18 + v)(18 - v)\): \[ (270(18 + v) - 1200)(18 - v) = (315(18 - v) - 1680)(18 + v) \] Раскроем скобки и упростим: \[ 270 \cdot 18 \cdot 18 - 270 \cdot 18 \cdot v + 270 \cdot v \cdot 18 - 270 \cdot v^2 - 1200 \cdot 18 + 1200 \cdot v = 315 \cdot 18 \cdot 18 - 315 \cdot 18 \cdot v + 315 \cdot v \cdot 18 - 315 \cdot v^2 - 1680 \cdot 18 + 1680 \cdot v \] Упростим и решим относительно \(v\): \[ v = 1 \text{ км/ч} \] </li> <li>Подставим \(v = 1\) в одно из уравнений для \(D\): \[ D = \frac{270(18 + 1) - 1200}{18 + 1} + 80 \] \[ D = \frac{270 \cdot 19 - 1200}{19} + 80 \] \[ D = \frac{5130 - 1200}{19} + 80 \] \[ D = \frac{3930}{19} + 80 \] \[ D = 207 + 80 \] \[ D = 287 \text{ км} \] </li> </ol> Таким образом, расстояние от пристани А до пристани В равно 287 км, а скорость притока равна 1 км/ч. Ответ: 287 км, 1 км/ч