№17576

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

В озеро впадает две реки. Лодка отплывает от пристани А на первой реке, плывет 36 км вниз по течению до озера, далее 19 км по озеру (в озере течения нет) и 24 км по второй реке вверх против течения до пристани В, затратив 8 часов на путь от А до В. Из этих 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру. Скорость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем скорость течения второй реки. Найти скорость течения каждой реки. (Собственная скорость лодки, т.е. скорость лодки в стоячей воде, постоянна.)

Ответ

2,5; 1,5

Решение № 17574:

Для решения задачи о скорости течения рек выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим известные величины: <ul> <li>Расстояние по первой реке: \(36\) км.</li> <li>Расстояние по озеру: \(19\) км.</li> <li>Расстояние по второй реке: \(24\) км.</li> <li>Общее время пути: \(8\) часов.</li> <li>Время пути по озеру: \(2\) часа.</li> <li>Скорость течения первой реки: \(v_1\) км/ч.</li> <li>Скорость течения второй реки: \(v_2\) км/ч.</li> <li>Собственная скорость лодки: \(v_b\) км/ч.</li> </ul> </li> <li>Выразим время, затраченное на плавание по рекам: <ul> <li>Время на первой реке: \( \frac{36}{v_b + v_1} \).</li> <li>Время на второй реке: \( \frac{24}{v_b - v_2} \).</li> </ul> </li> <li>Составим уравнение для общего времени пути: \[ \frac{36}{v_b + v_1} + \frac{24}{v_b - v_2} + 2 = 8 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \frac{36}{v_b + v_1} + \frac{24}{v_b - v_2} = 6 \] </li> <li>Из условия задачи \(v_1 = v_2 + 1\). Подставим это в уравнение: \[ \frac{36}{v_b + v_2 + 1} + \frac{24}{v_b - v_2} = 6 \] </li> <li>Введем новую переменную \(v = v_2\). Тогда \(v_1 = v + 1\): \[ \frac{36}{v_b + v + 1} + \frac{24}{v_b - v} = 6 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \((v_b + v + 1)(v_b - v)\): \[ 36(v_b - v) + 24(v_b + v + 1) = 6(v_b + v + 1)(v_b - v) \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 36v_b - 36v + 24v_b + 24v + 24 = 6v_b^2 - 6v^2 - 6v_b + 6v \] \[ 60v_b + 24 = 6v_b^2 - 6v^2 - 6v_b + 6v \] \[ 66v_b + 24 = 6v_b^2 - 6v^2 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 6v_b^2 - 6v^2 - 66v_b - 24 = 0 \] \[ v_b^2 - v^2 - 11v_b - 4 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение относительно \(v_b\): \[ v_b = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 16}}{2} \] \[ v_b = \frac{11 \pm \sqrt{137}}{2} \] </li> <li>Подставим \(v_b\) обратно в уравнение для нахождения \(v\): \[ \frac{36}{v_b + v + 1} + \frac{24}{v_b - v} = 6 \] </li> <li>Решим уравнение для \(v\): \[ v = 1 \] </li> <li>Найдем \(v_1\) и \(v_2\): \[ v_1 = v + 1 = 1 + 1 = 2 \text{ км/ч} \] \[ v_2 = v = 1 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, скорость течения первой реки \(v_1 = 2\) км/ч, а скорость течения второй реки \(v_2 = 1\) км/ч. Ответ: \(v_1 = 2\) км/ч, \(v_2 = 1\) км/ч.