№17567

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет \frac{6}{5} скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 час раньше, чем легковой автомобиль.

Ответ

72

Решение № 17565:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорость грузовика как \(v\) км/ч. Тогда скорость легкового автомобиля будет \(\frac{6}{5}v\) км/ч.</li> <li>Скорость мотоциклиста составляет 90 км/ч.</li> <li>Обозначим время, за которое мотоциклист догоняет грузовик, как \(t\) часов. Тогда время, за которое мотоциклист догоняет легковой автомобиль, будет \(t + 1\) часов.</li> <li>Мотоциклист выехал через 30 минут (0.5 часа) после грузовика и легкового автомобиля. Таким образом, грузовик и легковой автомобиль едут уже 0.5 часа к моменту выезда мотоциклиста.</li> <li>Запишем уравнение для грузовика: \[ \text{Расстояние, пройденное грузовиком} = v \cdot (t + 0.5) \] \[ \text{Расстояние, пройденное мотоциклистом} = 90 \cdot t \] Поскольку мотоциклист догоняет грузовик: \[ v \cdot (t + 0.5) = 90 \cdot t \] </li> <li>Запишем уравнение для легкового автомобиля: \[ \text{Расстояние, пройденное легковым автомобилем} = \frac{6}{5}v \cdot (t + 1.5) \] \[ \text{Расстояние, пройденное мотоциклистом} = 90 \cdot (t + 1) \] Поскольку мотоциклист догоняет легковой автомобиль: \[ \frac{6}{5}v \cdot (t + 1.5) = 90 \cdot (t + 1) \] </li> <li>Решим первое уравнение для грузовика: \[ v \cdot (t + 0.5) = 90 \cdot t \] \[ vt + 0.5v = 90t \] \[ vt - 90t = -0.5v \] \[ t(v - 90) = -0.5v \] \[ t = \frac{-0.5v}{v - 90} \] </li> <li>Решим второе уравнение для легкового автомобиля: \[ \frac{6}{5}v \cdot (t + 1.5) = 90 \cdot (t + 1) \] \[ \frac{6}{5}v \cdot t + \frac{6}{5}v \cdot 1.5 = 90t + 90 \] \[ \frac{6}{5}vt + 1.8v = 90t + 90 \] \[ \frac{6}{5}vt - 90t = 90 - 1.8v \] \[ t(\frac{6}{5}v - 90) = 90 - 1.8v \] \[ t = \frac{90 - 1.8v}{\frac{6}{5}v - 90} \] </li> <li>Приравняем два выражения для \(t\): \[ \frac{-0.5v}{v - 90} = \frac{90 - 1.8v}{\frac{6}{5}v - 90} \] Умножим обе части на \((v - 90)(\frac{6}{5}v - 90)\): \[ -0.5v(\frac{6}{5}v - 90) = (90 - 1.8v)(v - 90) \] Упростим: \[ -0.5v \cdot \frac{6}{5}v + 0.5v \cdot 90 = 90v - 1.8v^2 - 8100 + 162v \] \[ -\frac{3}{5}v^2 + 45v = 90v - 1.8v^2 - 8100 + 162v \] \[ -\frac{3}{5}v^2 + 45v = 252v - 1.8v^2 - 8100 \] \[ -\frac{3}{5}v^2 + 1.8v^2 = 252v - 45v - 8100 \] \[ \frac{6}{5}v^2 - 1.8v^2 = 207v - 8100 \] \[ \frac{6}{5}v^2 - \frac{9}{5}v^2 = 207v - 8100 \] \[ -\frac{3}{5}v^2 = 207v - 8100 \] \[ v^2 + 345v - 13500 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ v^2 + 345v - 13500 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = 345\), \(c = -13500\): \[ v = \frac{-345 \pm \sqrt{345^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13500)}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{-345 \pm \sqrt{119025 + 54000}}{2} \] \[ v = \frac{-345 \pm \sqrt{173025}}{2} \] \[ v = \frac{-345 \pm 416}{2} \] Решим два возможных варианта: \[ v = \frac{71}{2} = 35.5 \quad \text{(не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)} \] \[ v = \frac{-345 - 416}{2} = -380.5 \quad \text{(не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)} \] \[ v = 71 \quad \text{(подходит)} \] </li> <li>Найдем скорость легкового автомобиля: \[ \text{Скорость легкового автомобиля} = \frac{6}{5}v = \frac{6}{5} \cdot 71 = 85.2 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, скорость легкового автомобиля составляет 85.2 км/ч. Ответ: 85.2 км/ч