№17564

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно отправились пешеход и велосипедист. После встречи пешеход продолжал свой путь в В, а велосипедист доехал до А, повернул назад и тоже поехал в В. Пешеход пришел в В на 1 час позже велосипедиста. Сколько времени прошло до первой встречи, если известно, что скорость пешехода в 4 раза меньше скорости велосипедиста?

Ответ

24

Решение № 17562:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим расстояние между пунктами А и В как \(D\).</li> <li>Обозначим скорость велосипедиста как \(v_v\) и скорость пешехода как \(v_p\). По условию задачи \(v_p = \frac{v_v}{4}\).</li> <li>Обозначим время до первой встречи как \(t\).</li> <li>Запишем уравнение для расстояния, которое пройдет велосипедист до встречи: \[ v_v \cdot t \] </li> <li>Запишем уравнение для расстояния, которое пройдет пешеход до встречи: \[ v_p \cdot t = \frac{v_v}{4} \cdot t \] </li> <li>Сумма этих расстояний равна полному расстоянию между пунктами А и В: \[ v_v \cdot t + \frac{v_v}{4} \cdot t = D \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ v_v \cdot t + \frac{v_v \cdot t}{4} = D \] \[ \frac{5v_v \cdot t}{4} = D \] </li> <li>Решим уравнение для \(t\): \[ t = \frac{4D}{5v_v} \] </li> <li>Обозначим время, которое велосипедист тратит на путь от А до В и обратно до встречи с пешеходом, как \(T\). Велосипедист проходит расстояние \(2D\) со скоростью \(v_v\): \[ T = \frac{2D}{v_v} \] </li> <li>Пешеход приходит в В на 1 час позже велосипедиста. Запишем уравнение для времени, которое пешеход тратит на путь от А до В: \[ \frac{D}{v_p} = T + 1 \] Подставим \(v_p = \frac{v_v}{4}\): \[ \frac{D}{\frac{v_v}{4}} = T + 1 \] \[ \frac{4D}{v_v} = T + 1 \] </li> <li>Подставим \(T = \frac{2D}{v_v}\): \[ \frac{4D}{v_v} = \frac{2D}{v_v} + 1 \] \[ \frac{4D}{v_v} - \frac{2D}{v_v} = 1 \] \[ \frac{2D}{v_v} = 1 \] \[ v_v = 2D \] </li> <li>Подставим \(v_v = 2D\) в уравнение для \(t\): \[ t = \frac{4D}{5 \cdot 2D} \] \[ t = \frac{4}{10} \] \[ t = \frac{2}{5} \text{ часа} \] </li> </ol> Таким образом, время до первой встречи составляет \(\frac{2}{5}\) часа или 24 минуты. Ответ: 24 минуты