№17574

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в пункт В. Когда первый проехал треть пути, второму оставалось до середины пути ехать 2.5 км. Когда второй проехал половину пути, первый отставал от него на 3 км. Найдите расстояние от А до В.

Ответ

30

Решение № 17572:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим расстояние между пунктами А и В как \( D \) километров.</li> <li>Когда первый велосипедист проехал треть пути, он проехал \( \frac{D}{3} \) километров.</li> <li>Второму велосипедисту оставалось до середины пути ехать 2.5 км, значит, он проехал \( \frac{D}{2} - 2.5 \) километров.</li> <li>Когда второй велосипедист проехал половину пути, он проехал \( \frac{D}{2} \) километров.</li> <li>Первый велосипедист в этот момент отставал от него на 3 км, значит, он проехал \( \frac{D}{2} - 3 \) километров.</li> </ol> Теперь у нас есть две ситуации, которые можно выразить уравнениями: <ol> <li>Когда первый велосипедист проехал \( \frac{D}{3} \) километров, второй проехал \( \frac{D}{2} - 2.5 \) километров.</li> <li>Когда второй велосипедист проехал \( \frac{D}{2} \) километров, первый проехал \( \frac{D}{2} - 3 \) километров.</li> </ol> Для удобства обозначим скорость первого велосипедиста как \( v_1 \), а скорость второго велосипедиста как \( v_2 \). <ol> <li>Из первой ситуации: \[ v_1 \cdot t_1 = \frac{D}{3} \] \[ v_2 \cdot t_1 = \frac{D}{2} - 2.5 \] Где \( t_1 \) — время, за которое первый велосипедист проехал треть пути.</li> <li>Из второй ситуации: \[ v_2 \cdot t_2 = \frac{D}{2} \] \[ v_1 \cdot t_2 = \frac{D}{2} - 3 \] Где \( t_2 \) — время, за которое второй велосипедист проехал половину пути.</li> </ol> Теперь найдем отношение скоростей: <ol> <li>Из первого уравнения: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{D}{3}}{\frac{D}{2} - 2.5} \] \] Упростим: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{2D}{3(D - 5)} \] </li> <li>Из второго уравнения: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{D}{2} - 3}{\frac{D}{2}} \] \] Упростим: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{D - 6}{D} \] </li> </ol> Приравняем выражения для отношения скоростей: <ol> <li> \[ \frac{2D}{3(D - 5)} = \frac{D - 6}{D} \] </li> <li>Перемножим обе части уравнения: \[ 2D^2 = 3(D - 5)(D - 6) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ 2D^2 = 3(D^2 - 11D + 30) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ 2D^2 = 3D^2 - 33D + 90 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону: \[ 2D^2 - 3D^2 + 33D - 90 = 0 \] </li> <li>Упростим: \[ -D^2 + 33D - 90 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ D^2 - 33D + 90 = 0 \] </li> <li>Найдем дискриминант: \[ \Delta = 33^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 1089 - 360 = 729 \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ D = \frac{33 \pm \sqrt{729}}{2} \] </li> <li>Упростим: \[ D = \frac{33 \pm 27}{2} \] </li> <li>Найдем два решения: \[ D_1 = \frac{60}{2} = 30 \] \[ D_2 = \frac{6}{2} = 3 \] </li> <li>Поскольку расстояние не может быть 3 км (так как это меньше, чем 2.5 км, которые оставались второму велосипедисту), выберем \( D = 30 \) км.</li> </ol> Таким образом, расстояние от А до В составляет 30 км. Ответ: 30