№17557

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из пунктов А и В навстречу друг другу выезжают одновременно и с одинаковыми скоростями два автомобился и встречаются через 5 ч 30 мин после выезда в пункте С. Если бы скорость одного из этих автомобилей была бы на 10 км/ч больше, то они встретились бы в пункте, отстоящем от С на расстоянии 25 км. Найти скорость автомобилей.

Ответ

50

Решение № 17555:

Для решения задачи о скорости автомобилей, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорость каждого автомобиля как \(v\) км/ч. Пусть время встречи \(t = 5\) ч 30 мин = 5.5 ч.</li> <li>Расстояние, которое проехал один автомобиль до встречи, равно \(vt\). Поскольку автомобили выехали одновременно и встретились через 5.5 ч, общее расстояние между пунктами А и В равно \(2vt\).</li> <li>Если бы скорость одного из автомобилей была бы на 10 км/ч больше, то его скорость была бы \(v + 10\) км/ч. Время встречи \(t_1\) будет меньше, чем 5.5 ч. Пусть это время равно \(t_1\).</li> <li>Расстояние, которое проехал бы автомобиль со скоростью \(v + 10\) км/ч до встречи, равно \((v + 10)t_1\). Расстояние, которое проехал бы автомобиль со скоростью \(v\) км/ч до встречи, равно \(vt_1\).</li> <li>Согласно условию, они встретились бы в пункте, отстоящем от С на расстоянии 25 км. Таким образом, одно из автомобилей проехало бы на 25 км меньше, чем другой.</li> <li>Составим уравнение: \[ (v + 10)t_1 = vt_1 + 25 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 10t_1 = 25 \implies t_1 = \frac{25}{10} = 2.5 \text{ ч} \] </li> <li>Теперь найдем скорость \(v\). Поскольку автомобили встретились через 5.5 ч при скорости \(v\), общее расстояние между пунктами А и В равно \(2vt\): \[ 2vt = 2v \cdot 5.5 = 11v \] </li> <li>Аналогично, общее расстояние при измененной скорости равно: \[ (v + 10)t_1 + vt_1 = (v + 10) \cdot 2.5 + v \cdot 2.5 = 2.5v + 25 + 2.5v = 5v + 25 \] </li> <li>Приравняем оба выражения для общего расстояния: \[ 11v = 5v + 25 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ 11v - 5v = 25 \implies 6v = 25 \implies v = \frac{25}{6} \approx 4.17 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, скорость автомобилей равна примерно 4.17 км/ч. Ответ: 4.17 км/ч