№17561

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Первый поезд отправляется из пункта А в пункт В. Одновременно с ним из В в А отправляется второй поезд. Встретившись через 50 минут, поезда следуют дальше, и первый поезд прибывает в пункт В на 75 минут раньше, чем второй – в пункт А. Найти расстояние между А и В, если скорость первого поезда равна 120 км/ч.

Ответ

150

Решение № 17559:

Для решения задачи о расстоянии между пунктами А и В, где два поезда отправляются одновременно и встречаются через 50 минут, а первый поезд прибывает на 75 минут раньше второго, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим расстояние между пунктами А и В как \(D\).</li> <li>Обозначим скорость первого поезда как \(V_1 = 120\) км/ч.</li> <li>Обозначим скорость второго поезда как \(V_2\).</li> <li>Поезда встречаются через 50 минут, что составляет \(\frac{50}{60} = \frac{5}{6}\) часа.</li> <li>За время до встречи первый поезд пройдет расстояние: \[ \text{Расстояние}_1 = V_1 \cdot \frac{5}{6} = 120 \cdot \frac{5}{6} = 100 \text{ км} \] </li> <li>За время до встречи второй поезд пройдет расстояние: \[ \text{Расстояние}_2 = V_2 \cdot \frac{5}{6} \] </li> <li>Сумма расстояний, пройденных обоими поездами до встречи, равна общему расстоянию между А и В: \[ \text{Расстояние}_1 + \text{Расстояние}_2 = D \] Подставим известные значения: \[ 100 + V_2 \cdot \frac{5}{6} = D \] </li> <li>Первый поезд прибывает в пункт В на 75 минут (1 час 15 минут) раньше второго поезда. Это означает, что второй поезд добирается до пункта А на 1 час 15 минут дольше, чем первый поезд до пункта В.</li> <li>Время, за которое первый поезд добирается до пункта В: \[ \text{Время}_1 = \frac{D}{V_1} = \frac{D}{120} \] </li> <li>Время, за которое второй поезд добирается до пункта А: \[ \text{Время}_2 = \text{Время}_1 + 1.25 \text{ часа} \] Подставим значение \(\text{Время}_1\): \[ \text{Время}_2 = \frac{D}{120} + 1.25 \] </li> <li>Поскольку второй поезд проходит то же самое расстояние \(D\), выразим его скорость через время: \[ V_2 = \frac{D}{\text{Время}_2} = \frac{D}{\frac{D}{120} + 1.25} \] </li> <li>Подставим выражение для \(V_2\) в уравнение для расстояния: \[ 100 + \left(\frac{D}{\frac{D}{120} + 1.25}\right) \cdot \frac{5}{6} = D \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 100 + \frac{5D}{6 \left(\frac{D}{120} + 1.25\right)} = D \] Умножим обе части на \(6 \left(\frac{D}{120} + 1.25\right)\): \[ 600 \left(\frac{D}{120} + 1.25\right) + 5D = 6D \left(\frac{D}{120} + 1.25\right) \] \[ 600 \cdot \frac{D}{120} + 750 + 5D = \frac{6D^2}{120} + 7.5D \] \[ 5D + 750 = \frac{6D^2}{120} + 7.5D \] Умножим на 120: \[ 600D + 90000 = 6D^2 + 900D \] \[ 6D^2 - 300D - 90000 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D^2 - 50D - 15000 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ D = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -50\), \(c = -15000\): \[ D = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 60000}}{2} \] \[ D = \frac{50 \pm \sqrt{62500}}{2} \] \[ D = \frac{50 \pm 250}{2} \] Получаем два решения: \[ D = \frac{300}{2} = 150 \quad \text{и} \quad D = \frac{-200}{2} = -100 \] Поскольку расстояние не может быть отрицательным, принимаем \(D = 150\) км. </li> </ol> Таким образом, расстояние между пунктами А и В составляет 150 км. Ответ: 150 км