№17562

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу; один из пункта А в пункт В, другой – из В в А. После встречи один из них находился в пути еще 2 часа, а другой \frac{9}{8}. Определите скорости автомобилей, если расстояние между А и В равно 210 км.

Ответ

60; 80

Решение № 17560:

Для решения задачи определения скоростей автомобилей, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим время, которое автомобили находились в пути до встречи, как \(t\) часов.</li> <li>Обозначим скорость первого автомобиля (из пункта А в пункт В) как \(v_1\) км/ч, а скорость второго автомобиля (из пункта В в пункт А) как \(v_2\) км/ч.</li> <li>Согласно условию задачи, после встречи первый автомобиль находился в пути еще 2 часа, а второй автомобиль \(\frac{9}{8}\) часа. Таким образом, общее время в пути для первого автомобиля \(t + 2\) часов, а для второго автомобиля \(t + \frac{9}{8}\) часов.</li> <li>Поскольку оба автомобиля проехали полное расстояние между пунктами А и В, можно записать уравнения для расстояния: \[ v_1 \cdot (t + 2) = 210 \] и \[ v_2 \cdot \left(t + \frac{9}{8}\right) = 210 \] </li> <li>Также известно, что суммарное расстояние, пройденное обоими автомобилями до встречи, равно 210 км: \[ v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = 210 \] или \[ (v_1 + v_2) \cdot t = 210 \] </li> <li>Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} v_1 \cdot (t + 2) = 210 \\ v_2 \cdot \left(t + \frac{9}{8}\right) = 210 \\ (v_1 + v_2) \cdot t = 210 \end{cases} \] </li> <li>Из третьего уравнения найдем \(t\): \[ t = \frac{210}{v_1 + v_2} \] </li> <li>Подставим \(t\) в первые два уравнения: \[ v_1 \cdot \left(\frac{210}{v_1 + v_2} + 2\right) = 210 \] и \[ v_2 \cdot \left(\frac{210}{v_1 + v_2} + \frac{9}{8}\right) = 210 \] </li> <li>Упростим уравнения: \[ v_1 \cdot \left(\frac{210 + 2(v_1 + v_2)}{v_1 + v_2}\right) = 210 \] и \[ v_2 \cdot \left(\frac{210 + \frac{9}{8}(v_1 + v_2)}{v_1 + v_2}\right) = 210 \] </li> <li>Решим уравнения: \[ v_1 \cdot \left(\frac{210 + 2v_1 + 2v_2}{v_1 + v_2}\right) = 210 \] и \[ v_2 \cdot \left(\frac{210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2}{v_1 + v_2}\right) = 210 \] </li> <li>Разделим обе части уравнений на \(v_1\) и \(v_2\) соответственно: \[ \frac{210 + 2v_1 + 2v_2}{v_1 + v_2} = \frac{210}{v_1} \] и \[ \frac{210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2}{v_1 + v_2} = \frac{210}{v_2} \] </li> <li>Упростим и решим полученные уравнения: \[ 210 + 2v_1 + 2v_2 = 210 \cdot \frac{v_1 + v_2}{v_1} \] и \[ 210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2 = 210 \cdot \frac{v_1 + v_2}{v_2} \] </li> <li>Решим систему уравнений и найдем \(v_1\) и \(v_2\): \[ v_1 = 60 \text{ км/ч} \] и \[ v_2 = 45 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, скорости автомобилей составляют 60 км/ч и 45 км/ч соответственно. Ответ: 60 км/ч и 45 км/ч