№17559

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 часа после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 часов 30 минут раньше, чем пешеход в В. Найти скорость пешехода и велосипедиста (в км/ч).

Ответ

14; 16

Решение № 17557:

Для решения задачи о скорости пешехода и велосипедиста выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорость пешехода как \(v_п\) км/ч, а скорость велосипедиста как \(v_в\) км/ч.</li> <li>Пешеход и велосипедист встречаются через 2 часа после отправления. За это время они вместе проходят 40 км. Поэтому: \[ v_п \cdot 2 + v_в \cdot 2 = 40 \] Упростим уравнение: \[ 2v_п + 2v_в = 40 \] Разделим обе части уравнения на 2: \[ v_п + v_в = 20 \quad \text{(1)} \] </li> <li>Велосипедист прибывает в город А на 7 часов 30 минут (7.5 часа) раньше, чем пешеход в город В. Время, которое велосипедист тратит на дорогу до встречи, равно 2 часа, а пешеход — также 2 часа. Поэтому: \[ \frac{40 - v_в \cdot 2}{v_в} = \frac{40 - v_п \cdot 2}{v_п} - 7.5 \] Упростим уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} = \frac{40 - 2v_п}{v_п} - 7.5 \] Перепишем уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{40 - 2v_п}{v_п} \] </li> <li>Подставим \(v_п + v_в = 20\) из уравнения (1): \[ v_п = 20 - v_в \] Подставим \(v_п\) в уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{40 - 2(20 - v_в)}{20 - v_в} \] Упростим уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{40 - 40 + 2v_в}{20 - v_в} \] \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{2v_в}{20 - v_в} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ \frac{40 - 2v_в}{v_в} + 7.5 = \frac{2v_в}{20 - v_в} \] Умножим обе части уравнения на \(v_в(20 - v_в)\): \[ (40 - 2v_в)(20 - v_в) + 7.5v_в(20 - v_в) = 2v_в^2 \] Раскроем скобки: \[ 800 - 60v_в + 2v_в^2 + 150v_в - 7.5v_в^2 = 2v_в^2 \] Упростим уравнение: \[ 800 + 90v_в - 5.5v_в^2 = 2v_в^2 \] \[ 800 + 90v_в - 7.5v_в^2 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ v_в^2 - 12v_в + 106.67 = 0 \] Найдем корни уравнения: \[ v_в = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 426.68}}{2} \] \[ v_в = \frac{12 \pm \sqrt{-282.68}}{2} \] Поскольку под корнем отрицательное число, уравнение не имеет реальных корней. </li> </ol> Таким образом, задача не имеет решения в рамках предложенных условий.