№17581

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Моторная лодка спустилась вниз по течению реки на 20 км и поднялась вверх по притоку на 10 км, затратив на весь путь 1 ч 10 мин. На обратный путь лодке потребовалось 1 ч 20 мин. Зная, что скорость течения реки равна скорости течения притока, найти собственную скорость лодки.

Ответ

25

Решение № 17579:

Для решения задачи о моторной лодке, которая спустилась вниз по течению реки на 20 км и поднялась вверх по притоку на 10 км, затратив на весь путь 1 час 10 минут, а на обратный путь 1 час 20 минут, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим собственную скорость лодки через \(v\) (км/ч), а скорость течения реки и притока через \(u\) (км/ч).</li> <li>Переведем время в часы: <ul> <li>1 час 10 минут = 1 + \(\frac{10}{60}\) часа = 1.167 часа.</li> <li>1 час 20 минут = 1 + \(\frac{20}{60}\) часа = 1.333 часа.</li> </ul> </li> <li>Составим уравнения для пути туда и обратно: <ul> <li>Время на путь туда: \(\frac{20}{v + u} + \frac{10}{v - u} = 1.167\).</li> <li>Время на путь обратно: \(\frac{20}{v - u} + \frac{10}{v + u} = 1.333\).</li> </ul> </li> <li>Запишем систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{20}{v + u} + \frac{10}{v - u} = 1.167 \\ \frac{20}{v - u} + \frac{10}{v + u} = 1.333 \end{cases} \] </li> <li>Решим систему уравнений. Для этого сначала выразим одно из уравнений через другое: <ul> <li>Умножим первое уравнение на \((v + u)\) и \((v - u)\): \[ 20(v - u) + 10(v + u) = 1.167(v + u)(v - u) \] </li> <li>Умножим второе уравнение на \((v - u)\) и \((v + u)\): \[ 20(v + u) + 10(v - u) = 1.333(v + u)(v - u) \] </li> </ul> </li> <li>Упростим уравнения: \[ \begin{cases} 20v - 20u + 10v + 10u = 1.167(v^2 - u^2) \\ 20v + 20u + 10v - 10u = 1.333(v^2 - u^2) \end{cases} \] \[ \begin{cases} 30v = 1.167(v^2 - u^2) \\ 30v = 1.333(v^2 - u^2) \end{cases} \] </li> <li>Разделим одно уравнение на другое: \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v^2 - u^2}{v^2 - u^2} \] </li> <li>Упростим: \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v - u}{v + u} \] \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v - u}{v + u} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v - u}{v + u} \] \[ \frac{1.333}{1.167} = \frac{v - u}{v + u} \] </li> <li>Найдем \(v\): \[ v = 15 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, собственная скорость лодки \(v\) равна 15 км/ч. Ответ: 15 км/ч