№17573

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно вышли 2 пешехода. Когда первый пешеход прошел четверть пути от А до В, второму до середины пути оставалось идти 1.5 км, а когда второй пешеход прошел половину пути от В до А, первый находился на расстоянии 2 км от второго. Найдите расстояние от А до В, если известно, что второй шел быстрее первого.

Ответ

12

Решение № 17571:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим расстояние между пунктами А и В как \(D\).</li> <li>Обозначим скорость первого пешехода как \(v_1\), а скорости второго пешехода как \(v_2\).</li> <li>Когда первый пешеход прошел четверть пути от А до В, он прошел расстояние \(\frac{D}{4}\).</li> <li>В этот момент второму пешеходу до середины пути оставалось идти 1.5 км. Поскольку середина пути — это \(\frac{D}{2}\), расстояние, которое второму пешеходу оставалось пройти до середины пути, равно \(\frac{D}{2} - 1.5\).</li> <li>Пусть \(t_1\) — время, за которое первый пешеход прошел четверть пути. Тогда \(v_1 \cdot t_1 = \frac{D}{4}\).</li> <li>Пусть \(t_2\) — время, за которое второй пешеход прошел расстояние \(\frac{D}{2} - 1.5\). Тогда \(v_2 \cdot t_2 = \frac{D}{2} - 1.5\).</li> <li>Когда второй пешеход прошел половину пути от В до А, он прошел расстояние \(\frac{D}{2}\).</li> <li>В этот момент первый пешеход находился на расстоянии 2 км от второго. Таким образом, первый пешеход прошел расстояние \(D - 2\).</li> <li>Пусть \(t_3\) — время, за которое второй пешеход прошел половину пути. Тогда \(v_2 \cdot t_3 = \frac{D}{2}\).</li> <li>Пусть \(t_4\) — время, за которое первый пешеход прошел расстояние \(D - 2\). Тогда \(v_1 \cdot t_4 = D - 2\).</li> <li>Поскольку второй пешеход шел быстрее первого, \(v_2 > v_1\).</li> <li>Из условия задачи известно, что когда первый пешеход прошел четверть пути, второй пешеход прошел \(\frac{D}{2} - 1.5\). Поскольку они вышли одновременно, \(t_1 = t_2\).</li> <li>Из условия задачи также известно, что когда второй пешеход прошел половину пути, первый пешеход прошел \(D - 2\). Поскольку они вышли одновременно, \(t_3 = t_4\).</li> <li>Таким образом, мы имеем систему уравнений: \[ v_1 \cdot t_1 = \frac{D}{4} \] \[ v_2 \cdot t_1 = \frac{D}{2} - 1.5 \] \[ v_2 \cdot t_3 = \frac{D}{2} \] \[ v_1 \cdot t_3 = D - 2 \] </li> <li>Разделим первое уравнение на второе: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{D}{4}}{\frac{D}{2} - 1.5} \] \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{D}{4} \cdot \frac{2}{D - 3} \] \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{D}{2(D - 3)} \] </li> <li>Разделим третье уравнение на четвертое: \[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{D}{2}}{D - 2} \] \[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{D}{2(D - 2)} \] </li> <li>Поскольку \(v_2 > v_1\), \(\frac{v_2}{v_1} > 1\). Следовательно, \(\frac{D}{2(D - 2)} > 1\).</li> <li>Решим неравенство: \[ \frac{D}{2(D - 2)} > 1 \] \[ D > 2(D - 2) \] \[ D > 2D - 4 \] \[ 4 > D \] </li> <li>Теперь решим систему уравнений: \[ \frac{D}{2(D - 3)} = \frac{2(D - 2)}{D} \] \[ D^2 = 4(D - 2)(D - 3) \] \[ D^2 = 4(D^2 - 5D + 6) \] \[ D^2 = 4D^2 - 20D + 24 \] \[ 3D^2 - 20D + 24 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ D = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -20\), \(c = 24\). \[ D = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 288}}{6} \] \[ D = \frac{20 \pm \sqrt{112}}{6} \] \[ D = \frac{20 \pm 4\sqrt{7}}{6} \] \[ D = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{3} \] </li> <li>Поскольку \(D\) должно быть положительным и больше 4, выберем положительное значение: \[ D = \frac{10 + 2\sqrt{7}}{3} \] </li> </ol> Таким образом, расстояние от А до В составляет \(\frac{10 + 2\sqrt{7}}{3}\) км.