№17572

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Одновременно начали гонки с одного старта в одном направлении два мотоциклиста: один со скоростью 80 км/ч, другой со скоростью 60 км/ч. Через полчаса с того же старта в том же направлении отправился третий гонщик. Найдите скорость третьего гонщика, если известно, что он догнал первого за 1 час 15 минут позже, чем второго.

Ответ

100

Решение № 17570:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорость третьего гонщика как \(v\) км/ч.</li> <li>Первый мотоциклист едет со скоростью 80 км/ч, второй — со скоростью 60 км/ч.</li> <li>Третий гонщик стартует через полчаса после первых двух, то есть через 0.5 часа.</li> <li>Обозначим время, через которое третий гонщик догоняет второго мотоциклиста, как \(t\) часов.</li> <li>Время, через которое третий гонщик догоняет первого мотоциклиста, будет \(t + 1.25\) часов (поскольку он догоняет первого на 1 час 15 минут позже).</li> </ol> Теперь составим уравнения для расстояний: <ol start=6> <li>Расстояние, которое проехал второй мотоциклист за время \(t + 0.5\) часов (поскольку третий гонщик стартовал через 0.5 часа после второго): \[ 60 \cdot (t + 0.5) \] </li> <li>Расстояние, которое проехал третий гонщик за время \(t\) часов: \[ v \cdot t \] </li> <li>Приравняем эти расстояния (поскольку третий гонщик догоняет второго): \[ 60 \cdot (t + 0.5) = v \cdot t \] </li> </ol> Теперь рассмотрим уравнение для первого мотоциклиста: <ol start=9> <li>Расстояние, которое проехал первый мотоциклист за время \(t + 1.25 + 0.5\) часов (поскольку третий гонщик стартовал через 0.5 часа после первого): \[ 80 \cdot (t + 1.75) \] </li> <li>Расстояние, которое проехал третий гонщик за время \(t + 1.25\) часов: \[ v \cdot (t + 1.25) \] </li> <li>Приравняем эти расстояния (поскольку третий гонщик догоняет первого): \[ 80 \cdot (t + 1.75) = v \cdot (t + 1.25) \] </li> </ol> Теперь у нас есть система уравнений: <ol start=12> <li>Первое уравнение: \[ 60 \cdot (t + 0.5) = v \cdot t \] </li> <li>Второе уравнение: \[ 80 \cdot (t + 1.75) = v \cdot (t + 1.25) \] </li> </ol> Решим первое уравнение: <ol start=14> <li>Раскроем скобки: \[ 60t + 30 = vt \] </li> <li>Выразим \(v\): \[ v = \frac{60t + 30}{t} \] </li> </ol> Подставим \(v\) во второе уравнение: <ol start=16> <li>Подставим \(v\) во второе уравнение: \[ 80 \cdot (t + 1.75) = \left(\frac{60t + 30}{t}\right) \cdot (t + 1.25) \] </li> <li>Умножим обе части на \(t\): \[ 80t^2 + 140t = (60t + 30) \cdot (t + 1.25) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ 80t^2 + 140t = 60t^2 + 75t + 30t + 37.5 \] </li> <li>Упростим: \[ 80t^2 + 140t = 60t^2 + 105t + 37.5 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону: \[ 20t^2 + 35t - 37.5 = 0 \] </li> </ol> Решим квадратное уравнение: <ol start=21> <li>Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 20\), \(b = 35\), \(c = -37.5\). </li> <li>Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-37.5) = 1225 + 3000 = 4225 \] </li> <li>Найдем корни: \[ t = \frac{-35 \pm \sqrt{4225}}{40} \] </li> <li>Вычислим корни: \[ t = \frac{-35 \pm 65}{40} \] </li> <li>Найдем положительный корень: \[ t = \frac{30}{40} = 0.75 \] </li> </ol> Теперь найдем скорость третьего гонщика \(v\): <ol start=26> <li>Подставим \(t = 0.75\) в выражение для \(v\): \[ v = \frac{60 \cdot 0.75 + 30}{0.75} = \frac{45 + 30}{0.75} = \frac{75}{0.75} = 100 \] </li> </ol> Таким образом, скорость третьего гонщика равна 100 км/ч. Ответ: 100