№17575

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из пунктов А и В одновременно отправляются два автомобиля в одном направлении. Через некоторое время они оказываются в пункте С, удаленном от В на половину расстояния АВ. Найти время, которое затрачивает на прохождение расстояния АВ автомобиль, имеющий большую скорость, если другому автомобилю для этого требуется на 2 часа больше.

Ответ

1

Решение № 17573:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Введем обозначения: <ul> <li>Пусть \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости первого и второго автомобилей соответственно, где \( v_1 > v_2 \).</li> <li>Пусть \( t \) — время, за которое первый автомобиль проходит расстояние \( AB \).</li> <li>Пусть \( S \) — расстояние между пунктами \( A \) и \( B \).</li> <li>Пусть \( C \) — пункт, удаленный от \( B \) на половину расстояния \( AB \), то есть \( BC = \frac{S}{2} \).</li> </ul> </li> <li>Запишем уравнения для времени прохождения расстояния \( AB \) обоими автомобилями: <ul> <li>Для первого автомобиля: \( t = \frac{S}{v_1} \).</li> <li>Для второго автомобиля: \( t + 2 = \frac{S}{v_2} \).</li> </ul> </li> <li>Выразим скорости через время и расстояние: <ul> <li>\( v_1 = \frac{S}{t} \).</li> <li>\( v_2 = \frac{S}{t + 2} \).</li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известно, что оба автомобиля одновременно достигают пункта \( C \). Это означает, что время прохождения расстояния \( AC \) для обоих автомобилей одинаково. <ul> <li>Расстояние \( AC \) равно \( S + \frac{S}{2} = \frac{3S}{2} \).</li> </ul> </li> <li>Запишем уравнение для времени прохождения расстояния \( AC \) обоими автомобилями: <ul> <li>Для первого автомобиля: \( \frac{\frac{3S}{2}}{v_1} = \frac{3S}{2v_1} \).</li> <li>Для второго автомобиля: \( \frac{\frac{3S}{2}}{v_2} = \frac{3S}{2v_2} \).</li> </ul> </li> <li>Поскольку время прохождения \( AC \) одинаково для обоих автомобилей, приравняем выражения: \[ \frac{3S}{2v_1} = \frac{3S}{2v_2} \] </li> <li>Сократим оба выражения на \( \frac{3S}{2} \): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} \] </li> <li>Подставим выражения для скоростей \( v_1 \) и \( v_2 \): \[ \frac{t}{S} = \frac{t + 2}{S} \] </li> <li>Сократим оба выражения на \( \frac{1}{S} \): \[ t = t + 2 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ t = 2 \] </li> </ol> Таким образом, время, которое затрачивает на прохождение расстояния \( AB \) автомобиль, имеющий большую скорость, равно 2 часам. Ответ: 2 часа