№17556

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Поезд вышел из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 230 км. Через час навстречу ему вышел из пункта В второй поезд, скорость которого на 15 км/ч больше, чем у первого. Определите скорости поездов, если известно, что они встретились на расстоянии 120 км от пункта А.

Ответ

40; 55

Решение № 17554:

Для решения задачи определим скорости двух поездов, обозначим их как \(v\) (скорость первого поезда) и \(v + 15\) (скорость второго поезда). Выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие задачи: <ul> <li>Расстояние между пунктами А и В: 230 км.</li> <li>Первый поезд вышел из пункта А и через час навстречу ему вышел второй поезд из пункта В.</li> <li>Поезда встретились на расстоянии 120 км от пункта А.</li> <li>Скорость второго поезда на 15 км/ч больше, чем у первого.</li> </ul> </li> <li>Обозначим скорость первого поезда как \(v\) км/ч, тогда скорость второго поезда будет \(v + 15\) км/ч.</li> <li>Первый поезд проехал 120 км до встречи. Второй поезд проехал \(230 - 120 = 110\) км до встречи.</li> <li>Время, за которое первый поезд проехал 120 км: \[ t_1 = \frac{120}{v} \] </li> <li>Время, за которое второй поезд проехал 110 км: \[ t_2 = \frac{110}{v + 15} \] </li> <li>Поскольку второй поезд вышел на час позже первого, время, за которое они встретились, связано следующим образом: \[ t_1 = t_2 + 1 \] </li> <li>Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\) в уравнение: \[ \frac{120}{v} = \frac{110}{v + 15} + 1 \] </li> <li>Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{120}{v} = \frac{110 + (v + 15)}{v + 15} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(v(v + 15)\) для избавления от знаменателей: \[ 120(v + 15) = 110v + v^2 + 15v \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем подобные: \[ 120v + 1800 = 110v + v^2 + 15v \] \[ 120v + 1800 = v^2 + 125v \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ v^2 + 5v - 1800 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225 \] \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{-5 \pm 85}{2} \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ v_1 = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40 \] \[ v_2 = \frac{-5 - 85}{2} = \frac{-90}{2} = -45 \] </li> <li>Поскольку скорость не может быть отрицательной, примем \(v = 40\) км/ч.</li> <li>Скорость второго поезда: \[ v + 15 = 40 + 15 = 55 \] </li> </ol> Таким образом, скорость первого поезда \(v = 40\) км/ч, а скорость второго поезда \(v + 15 = 55\) км/ч. Ответ: Скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 55 км/ч.