№17560

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 24 км, вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 часа 24 минуты. Первый пешеход проходит путь от А до В на 2 часа быстрее, чем второй. За сколько времени каждый из них пройдет расстояние между пунктом А и пунктом В? С какими скоростями двигаются пешеходы?

Ответ

4; 6; 6; 4

Решение № 17558:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорости пешеходов: \[ v_1 \text{ и } v_2 \] </li> <li>Переведем время встречи в минуты: \[ 2 \text{ часа } 24 \text{ минуты} = 2 \times 60 + 24 = 144 \text{ минуты} \] </li> <li>Переведем расстояние между пунктами А и В в минуты: \[ 24 \text{ км} = 24000 \text{ м} \] </li> <li>Запишем уравнение для суммарного расстояния, пройденного пешеходами до встречи: \[ v_1 \cdot 144 + v_2 \cdot 144 = 24000 \] </li> <li>Упростим уравнение, вынеся общий множитель 144: \[ 144(v_1 + v_2) = 24000 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 144: \[ v_1 + v_2 = \frac{24000}{144} = \frac{24000}{144} = 166.67 \text{ м/мин} \] </li> <li>Запишем уравнение для времени прохождения расстояния: \[ \frac{24000}{v_1} = \frac{24000}{v_2} - 120 \] </li> <li>Перепишем уравнение: \[ \frac{24000}{v_1} + 120 = \frac{24000}{v_2} \] </li> <li>Подставим \(v_1 + v_2 = 166.67\) в уравнение: \[ \frac{24000}{v_1} + 120 = \frac{24000}{166.67 - v_1} \] </li> <li>Решим уравнение для \(v_1\): \[ \frac{24000}{v_1} + 120 = \frac{24000}{166.67 - v_1} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(v_1 (166.67 - v_1)\): \[ 24000 (166.67 - v_1) + 120 v_1 (166.67 - v_1) = 24000 v_1 \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим: \[ 24000 \cdot 166.67 - 24000 v_1 + 120 v_1 \cdot 166.67 - 120 v_1^2 = 24000 v_1 \] </li> <li>Приведем подобные: \[ 24000 \cdot 166.67 + 120 v_1 \cdot 166.67 - 120 v_1^2 = 24000 v_1 + 24000 v_1 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 24000 \cdot 166.67 + 120 v_1 \cdot 166.67 = 120 v_1^2 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение для \(v_1\): \[ 120 v_1^2 - 120 v_1 \cdot 166.67 - 24000 \cdot 166.67 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ v_1 = 60 \text{ м/мин}, \quad v_2 = 106.67 \text{ м/мин} \] </li> <li>Переведем скорости в км/ч: \[ v_1 = \frac{60 \text{ м/мин}}{1000} \times 60 = 3.6 \text{ км/ч}, \quad v_2 = \frac{106.67 \text{ м/мин}}{1000} \times 60 = 6.4 \text{ км/ч} \] </li> <li>Вычислим время прохождения расстояния между пунктами А и В: \[ t_1 = \frac{24 \text{ км}}{3.6 \text{ км/ч}} = 6.67 \text{ часа}, \quad t_2 = \frac{24 \text{ км}}{6.4 \text{ км/ч}} = 3.75 \text{ часа} \] </li> </ol> Таким образом, первый пешеход пройдет расстояние между пунктами А и В за 6.67 часа, а второй пешеход за 3.75 часа. Скорости пешеходов: 3.6 км/ч и 6.4 км/ч соответственно.