№17571

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Моторная лодка и парусник, находясь на озере на расстоянии 30 км друг от друга, движутся навстречу друг другу и встречаются через час. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 часа 20 минут. Определить скорости лодки и парусника.

Ответ

18; 12

Решение № 17569:

Для решения задачи о скоростях моторной лодки и парусника выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорость моторной лодки как \(V_м\) (км/ч), а скорость парусника как \(V_п\) (км/ч).</li> <li>Из условия задачи известно, что моторная лодка и парусник находятся на расстоянии 30 км друг от друга и встречаются через час. Это означает, что суммарная скорость их сближения равна 30 км/ч: \[ V_м + V_п = 30 \] </li> <li>Теперь рассмотрим вторую часть условия. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 часа 20 минут. Преобразуем 3 часа 20 минут в часы: \[ 3 \text{ часа } 20 \text{ минут } = 3 + \frac{20}{60} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \text{ часов} \] </li> <li>Пусть \(t\) — время, за которое моторная лодка догоняет парусник. Тогда расстояние, которое пройдет моторная лодка за это время, равно 20 км. Учитывая, что парусник за это же время удаляется от моторной лодки, получим уравнение: \[ V_м \cdot t = 20 + V_п \cdot t \] </li> <li>Подставим \(t = \frac{10}{3}\) в уравнение: \[ V_м \cdot \frac{10}{3} = 20 + V_п \cdot \frac{10}{3} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{10}\): \[ V_м = 6 + V_п \] </li> <li>Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} V_м + V_п = 30 \\ V_м = 6 + V_п \end{cases} \] </li> <li>Подставим \(V_м = 6 + V_п\) во второе уравнение: \[ (6 + V_п) + V_п = 30 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 6 + 2V_п = 30 \] </li> <li>Вычтем 6 из обеих частей уравнения: \[ 2V_п = 24 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ V_п = 12 \] </li> <li>Подставим \(V_п = 12\) в уравнение \(V_м = 6 + V_п\): \[ V_м = 6 + 12 = 18 \] </li> </ol> Таким образом, скорость моторной лодки \(V_м = 18\) км/ч, а скорость парусника \(V_п = 12\) км/ч. Ответ: скорость моторной лодки 18 км/ч, скорость парусника 12 км/ч.