№17566

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из M в N со скоростью 80 км/ч выезжает автомобиль. Одновременно из N в M со скоростью 60 км/ч выезжает второй автомобиль. Через 1 час вслед за первым автомобилем выезжает третий автомобиль, который сначала догоняет первый автомобиль, а еще через час после этого встречается со вторым. Найти скорость третьего автомобиля, зная, что она меньше 200 км/ч, а расстояние между пунктами M и N равно 860 км.

Ответ

100

Решение № 17564:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим скорость третьего автомобиля как \(V\) км/ч.</li> <li>Первый автомобиль выезжает из M в N со скоростью 80 км/ч. За 1 час он проедет 80 км.</li> <li>Второй автомобиль выезжает из N в M со скоростью 60 км/ч. За 1 час он проедет 60 км.</li> <li>Третий автомобиль выезжает из M через 1 час после первого автомобиля и догоняет его. Расстояние между ними в момент выезда третьего автомобиля составляет 80 км.</li> <li>Время, за которое третий автомобиль догоняет первый автомобиль: \[ \frac{80}{V - 80} \] </li> <li>После того как третий автомобиль догоняет первый автомобиль, он продолжает движение и через 1 час встречается со вторым автомобилем. За это время второй автомобиль проедет еще 60 км.</li> <li>Расстояние, которое проедет третий автомобиль за этот час: \[ V \cdot 1 = V \] </li> <li>Таким образом, общее расстояние, которое проедет третий автомобиль до встречи со вторым автомобилем: \[ \frac{80}{V - 80} \cdot V + V \] </li> <li>Расстояние, которое проедет второй автомобиль до встречи с третьим автомобилем: \[ 60 \cdot \left( \frac{80}{V - 80} + 1 \right) \] </li> <li>Суммарное расстояние между M и N равно 860 км. Поэтому: \[ \frac{80V}{V - 80} + V + 60 \cdot \left( \frac{80}{V - 80} + 1 \right) = 860 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \frac{80V}{V - 80} + V + \frac{4800}{V - 80} + 60 = 860 \] </li> <li>Объединим дроби: \[ \frac{80V + 4800}{V - 80} + V + 60 = 860 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(V - 80\): \[ 80V + 4800 + V(V - 80) + 60(V - 80) = 860(V - 80) \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим: \[ 80V + 4800 + V^2 - 80V + 60V - 4800 = 860V - 68800 \] </li> <li>Сократим подобные члены: \[ V^2 + 60V = 860V - 68800 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону: \[ V^2 + 60V - 860V + 68800 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ V^2 - 800V + 68800 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -800\), \(c = 68800\): \[ V = \frac{800 \pm \sqrt{800^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68800}}{2 \cdot 1} \] </li> <li>Вычислим дискриминант: \[ 800^2 - 4 \cdot 68800 = 640000 - 275200 = 364800 \] </li> <li>Вычислим корни: \[ V = \frac{800 \pm \sqrt{364800}}{2} \] \[ V = \frac{800 \pm 604}{2} \] </li> <li>Найдем два значения: \[ V_1 = \frac{800 + 604}{2} = 702 \] \[ V_2 = \frac{800 - 604}{2} = 98 \] </li> <li>По условию задачи скорость третьего автомобиля меньше 200 км/ч. Значит, правильный ответ: \[ V = 98 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, скорость третьего автомобиля равна 98 км/ч. Ответ: 98 км/ч