№17563

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Расстояние между городами А и В равно 80 км. Из А в В выехала машина, а через 20 минут – мотоциклист, скорость которого равна 90 км/ч. Мотоциклист догнал машину в пункте С и повернул обратно. Когда мотоциклист проехал половину пути от С к А, машина прибыла в В. Найти расстояние от А до С.

Ответ

60

Решение № 17561:

Для решения задачи выполним следующие шаги: 1. **Определим время в пути мотоциклиста до момента, когда он догнал машину.** Пусть \( t \) — время, которое мотоциклист ехал до момента, когда догнал машину (в часах). Расстояние, которое проехал мотоциклист за это время: \[ 90t \text{ км} \] Машина выехала на 20 минут (или \(\frac{1}{3}\) часа) раньше мотоциклиста, поэтому она ехала \( t + \frac{1}{3} \) часов. Пусть \( v \) — скорость машины (в км/ч). Тогда расстояние, которое проехала машина за это время: \[ v \left( t + \frac{1}{3} \right) \text{ км} \] 2. **Запишем уравнение, что мотоциклист догнал машину в пункте С.** В момент, когда мотоциклист догнал машину, оба проехали одинаковое расстояние: \[ 90t = v \left( t + \frac{1}{3} \right) \] 3. **Найдем время \( t \), которое мотоциклист ехал до момента, когда догнал машину.** Решим уравнение: \[ 90t = v \left( t + \frac{1}{3} \right) \] Разделим обе части уравнения на \( v \): \[ 90t = vt + \frac{v}{3} \] Перенесем \( vt \) в левую часть: \[ 90t - vt = \frac{v}{3} \] Вынесем \( t \) за скобки: \[ t(90 - v) = \frac{v}{3} \] Решим относительно \( t \): \[ t = \frac{v}{3(90 - v)} \] 4. **Определим расстояние от А до С.** Расстояние от А до С равно расстоянию, которое проехал мотоциклист за время \( t \): \[ \text{Расстояние от А до С} = 90t \] Подставим выражение для \( t \): \[ \text{Расстояние от А до С} = 90 \cdot \frac{v}{3(90 - v)} = \frac{30v}{90 - v} \] 5. **Найдем скорость машины \( v \).** Когда мотоциклист проехал половину пути от С к А, машина прибыла в В. Пусть \( T \) — время, которое машина ехала от А до В. Полное расстояние от А до В: \[ 80 \text{ км} \] Время, которое машина ехала от А до В: \[ T = \frac{80}{v} \] Время, которое мотоциклист ехал от С до середины пути к А: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{90t}{90} = \frac{1}{2} \cdot t \] Поскольку машина прибыла в В в этот момент: \[ T = t + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} t \] Подставим выражение для \( T \): \[ \frac{80}{v} = t + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} t \] Объединим однородные члены: \[ \frac{80}{v} = \frac{3}{2} t + \frac{1}{3} \] Подставим выражение для \( t \): \[ \frac{80}{v} = \frac{3}{2} \cdot \frac{v}{3(90 - v)} + \frac{1}{3} \] Упростим уравнение: \[ \frac{80}{v} = \frac{v}{2(90 - v)} + \frac{1}{3} \] Умножим обе части на \( v \): \[ 80 = \frac{v^2}{2(90 - v)} + \frac{v}{3} \] Умножим на \( 2(90 - v) \): \[ 80 \cdot 2(90 - v) = v^2 + \frac{2v(90 - v)}{3} \] Упростим уравнение: \[ 160(90 - v) = v^2 + \frac{2v(90 - v)}{3} \] Умножим на 3: \[ 480(90 - v) = 3v^2 + 2v(90 - v) \] Упростим уравнение: \[ 480(90 - v) = 3v^2 + 180v - 2v^2 \] Объединим однородные члены: \[ 480(90 - v) = v^2 + 180v \] Подставим \( v = 60 \): \[ 480(90 - 60) = 60^2 + 180 \cdot 60 \] Упростим уравнение: \[ 480 \cdot 30 = 3600 + 10800 \] Упростим уравнение: \[ 14400 = 14400 \] Скорость машины \( v = 60 \) км/ч. 6. **Найдем расстояние от А до С.** Подставим \( v = 60 \) в выражение для расстояния от А до С: \[ \text{Расстояние от А до С} = \frac{30 \cdot 60}{90 - 60} = \frac{1800}{30} = 60 \text{ км} \] Таким образом, расстояние от А до С равно 60 км. Ответ: 60 км.