№17544

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, Основы элементарной алгебры, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Увеличив после этого свою скорость на 10 км/ч, он наверстал опоздание за 80 км. Определить скорость мотоциклиста до задержки.

Ответ

40

Решение № 17542:

Для решения задачи определим скорость мотоциклиста до задержки. Обозначим её как \( v \) км/ч. <ol> <li>Определим время, которое мотоциклист потратил бы на преодоление 80 км до задержки: \[ t_1 = \frac{80}{v} \] </li> <li>После задержки мотоциклист увеличил свою скорость на 10 км/ч, таким образом, его новая скорость: \[ v + 10 \] </li> <li>Определим время, которое мотоциклист потратил бы на преодоление 80 км после задержки: \[ t_2 = \frac{80}{v + 10} \] </li> <li>Так как мотоциклист наверстал опоздание за 80 км, разница во времени должна быть равна времени задержки (24 минуты или 0.4 часа): \[ t_1 - t_2 = 0.4 \] </li> <li>Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение: \[ \frac{80}{v} - \frac{80}{v + 10} = 0.4 \] </li> <li>Найдем общее знаменатель и упростим уравнение: \[ \frac{80(v + 10) - 80v}{v(v + 10)} = 0.4 \] \[ \frac{80v + 800 - 80v}{v(v + 10)} = 0.4 \] \[ \frac{800}{v(v + 10)} = 0.4 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \( v(v + 10) \): \[ 800 = 0.4 v(v + 10) \] \[ 800 = 0.4 v^2 + 4v \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 0.4: \[ 2000 = v^2 + 10v \] </li> <li>Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ v^2 + 10v - 2000 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 10 \), \( c = -2000 \): \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000)}}{2 \cdot 1} \] \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 8000}}{2} \] \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{8100}}{2} \] \[ v = \frac{-10 \pm 90}{2} \] </li> <li>Найдем два возможных решения: \[ v = \frac{80}{2} = 40 \quad \text{и} \quad v = \frac{-100}{2} = -50 \] </li> <li>Поскольку скорость не может быть отрицательной, выберем положительное значение: \[ v = 40 \] </li> </ol> Таким образом, скорость мотоциклиста до задержки составляла 40 км/ч. Ответ: 40 км/ч