№17542

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по прямой Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи «на части» и «на уравнивание»,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Дорога от пункта А до пункта В идет сначала по ровному месту, затем в гору. Автомобиль, выехав из А в В, двигался по ровному месту со скоростью 70 км/ч, в гору – со скоростью 60 км/ч. Доехав до пункта В, он тотчас повернул назад и двигался под гору со скоростью 75 км/ч. Найдите длину ровного участка пути, если на весь путь от А до В и назад автомобиль затратил 3 ч 20 минут и проехал за это время 250 км.

Ответ

105

Решение № 17540:

Для решения задачи о движении автомобиля из пункта А в пункт В и обратно, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем известные данные: <ul> <li>Скорость автомобиля по ровному месту: \(70 \, \text{км/ч}\).</li> <li>Скорость автомобиля в гору: \(60 \, \text{км/ч}\).</li> <li>Скорость автомобиля под гору: \(75 \, \text{км/ч}\).</li> <li>Общее время в пути: \(3 \, \text{ч} \, 20 \, \text{мин} = 3 + \frac{20}{60} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \, \text{ч}\).</li> <li>Общая длина пути: \(250 \, \text{км}\).</li> </ul> </li> <li>Обозначим длину ровного участка пути как \(x \, \text{км}\), а длину участка в гору как \(y \, \text{км}\).</li> <li>Запишем уравнение для общей длины пути: \[ 2x + 2y = 250 \] Упростим это уравнение: \[ x + y = 125 \] </li> <li>Запишем уравнение для общего времени в пути: \[ \frac{x}{70} + \frac{y}{60} + \frac{y}{75} + \frac{x}{70} = \frac{10}{3} \] Упростим это уравнение: \[ \frac{2x}{70} + \frac{y}{60} + \frac{y}{75} = \frac{10}{3} \] </li> <li>Приведем все члены к общему знаменателю: \[ \frac{2x}{70} = \frac{x}{35}, \quad \frac{y}{60} = \frac{y}{60}, \quad \frac{y}{75} = \frac{y}{75} \] Общий знаменатель для 35, 60 и 75 равен 300. Тогда: \[ \frac{6x}{300} + \frac{5y}{300} + \frac{4y}{300} = \frac{10}{3} \] Упростим: \[ \frac{6x + 5y + 4y}{300} = \frac{10}{3} \] \[ \frac{6x + 9y}{300} = \frac{10}{3} \] Умножим обе части на 300: \[ 6x + 9y = 1000 \] </li> <li>Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 125 \\ 6x + 9y = 1000 \end{cases} \] </li> <li>Решим систему уравнений. Умножим первое уравнение на 6: \[ 6x + 6y = 750 \] Вычтем это уравнение из второго: \[ (6x + 9y) - (6x + 6y) = 1000 - 750 \] \[ 3y = 250 \] \[ y = \frac{250}{3} \approx 83.33 \, \text{км} \] </li> <li>Подставим \(y\) в первое уравнение: \[ x + \frac{250}{3} = 125 \] \[ x = 125 - \frac{250}{3} \] \[ x = 125 - 83.33 \] \[ x \approx 41.67 \, \text{км} \] </li> </ol> Таким образом, длина ровного участка пути составляет примерно \(41.67 \, \text{км}\). Ответ: \(41.67 \, \text{км}\).