№17606

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Арифметика, Дробные числа, Текстовые задачи, Текстовые арифметические задачи с использованием дробей, Задачи на совместную работу,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Две бригады должны были закончить работу за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада закончила оставшуюся работу за 7 дней. За сколько дней могла сделать всю работу каждая бригада, работая отдельно?

Ответ

{21;28}

Решение № 17604:

Для решения задачи о двух бригадах, которые должны были закончить работу за 12 дней, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим общую работу как 1 единицу работы.</li> <li>Пусть \(a\) — количество дней, за которое первая бригада может выполнить всю работу, а \(b\) — количество дней, за которое вторая бригада может выполнить всю работу.</li> <li>Производительность первой бригады равна \(\frac{1}{a}\) единиц работы в день, а производительность второй бригады равна \(\frac{1}{b}\) единиц работы в день.</li> <li>За 12 дней совместной работы обе бригады должны выполнить 1 единицу работы: \[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \cdot 12 = 1 \] </li> <li>За 8 дней совместной работы обе бригады выполнят часть работы: \[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \cdot 8 \] </li> <li>Оставшуюся часть работы вторая бригада выполняет за 7 дней: \[ \frac{1}{b} \cdot 7 \] </li> <li>Сумма этих частей работы должна быть равна 1 единице работы: \[ \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \cdot 8 + \frac{1}{b} \cdot 7 = 1 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \frac{8}{a} + \frac{8}{b} + \frac{7}{b} = 1 \] </li> <li>Объединим члены с \(b\) в знаменателе: \[ \frac{8}{a} + \frac{15}{b} = 1 \] </li> <li>Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{12}{a} + \frac{12}{b} = 1 \\ \frac{8}{a} + \frac{15}{b} = 1 \end{cases} \] </li> <li>Решим систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого: \[ \left(\frac{12}{a} + \frac{12}{b}\right) - \left(\frac{8}{a} + \frac{15}{b}\right) = 1 - 1 \] \[ \frac{4}{a} - \frac{3}{b} = 0 \] </li> <li>Решим это уравнение: \[ \frac{4}{a} = \frac{3}{b} \] \[ 4b = 3a \] \[ b = \frac{3}{4}a \] </li> <li>Подставим \(b = \frac{3}{4}a\) в первое уравнение: \[ \frac{12}{a} + \frac{12}{\frac{3}{4}a} = 1 \] \[ \frac{12}{a} + \frac{12 \cdot 4}{3a} = 1 \] \[ \frac{12}{a} + \frac{16}{a} = 1 \] \[ \frac{28}{a} = 1 \] \[ a = 28 \] </li> <li>Найдем \(b\): \[ b = \frac{3}{4} \cdot 28 = 21 \] </li> </ol> Таким образом, первая бригада смогла бы выполнить всю работу за 28 дней, а вторая бригада — за 21 день. Ответ: Первая бригада — 28 дней, вторая бригада — 21 день.