№17583

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Один рабочий должен был изготовить 36 деталей, второй – 20 деталей. Первый делал в день на 2 детали больше, чем второй, и затратил на изготовление своего заказа на 1 день, чем второй. По сколько деталей делали в день рабочие?

Ответ

{2;4}

Решение № 17581:

Для решения задачи определим, сколько деталей делали в день рабочие. Обозначим количество деталей, которое делал второй рабочий в день, через \( x \). Тогда первый рабочий делал \( x + 2 \) деталей в день. <ol> <li>Пусть \( x \) — количество деталей, которое делал второй рабочий в день.</li> <li>Тогда первый рабочий делал \( x + 2 \) деталей в день.</li> <li>Определим количество дней, которое потребовалось каждому рабочему для выполнения своего заказа: \[ \text{Второй рабочий:} \quad \frac{20}{x} \] \[ \text{Первый рабочий:} \quad \frac{36}{x+2} \] </li> <li>По условию задачи, первый рабочий затратил на выполнение своего заказа на 1 день больше, чем второй рабочий: \[ \frac{36}{x+2} = \frac{20}{x} + 1 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \( x(x+2) \) для избавления от знаменателей: \[ 36x = 20(x+2) + x(x+2) \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 36x = 20x + 40 + x^2 + 2x \] \[ 36x = x^2 + 22x + 40 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 22x + 40 - 36x = 0 \] \[ x^2 - 14x + 40 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \( x^2 - 14x + 40 = 0 \) методом факторизации: \[ (x - 4)(x - 10) = 0 \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ x - 4 = 0 \quad \text{или} \quad x - 10 = 0 \] \[ x = 4 \quad \text{или} \quad x = 10 \] </li> <li>Проверим оба решения на соответствие условиям задачи: <ul> <li>Если \( x = 4 \): \[ \text{Второй рабочий:} \quad \frac{20}{4} = 5 \text{ дней} \] \[ \text{Первый рабочий:} \quad \frac{36}{4+2} = \frac{36}{6} = 6 \text{ дней} \] Условие задачи выполняется. </li> <li>Если \( x = 10 \): \[ \text{Второй рабочий:} \quad \frac{20}{10} = 2 \text{ дня} \] \[ \text{Первый рабочий:} \quad \frac{36}{10+2} = \frac{36}{12} = 3 \text{ дня} \] Условие задачи также выполняется. </li> </ul> </li> <li>Таким образом, возможны два решения: <ul> <li>Второй рабочий делал 4 детали в день, а первый — 6 деталей в день.</li> <li>Второй рабочий делал 10 деталей в день, а первый — 12 деталей в день.</li> </ul> </li> </ol> Ответ: 4 и 6 деталей в день или 10 и 12 деталей в день.