№17596

Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Предприятие должно было изготовить за несколько месяцев 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготавливать в месяц на 70 насосов больше, и на 1 месяц раньше срока перевыполнило задание на 30 насосов. За какой срок было изготовлено 6030 насосов?

Ответ

9

Решение № 17594:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим исходную производительность труда предприятия как \( P \) насосов в месяц.</li> <li>Обозначим количество месяцев, за которое предприятие должно было изготовить 6000 насосов, как \( M \).</li> <li>Таким образом, исходное уравнение: \[ P \cdot M = 6000 \] </li> <li>После увеличения производительности труда предприятие стало изготавливать \( P + 70 \) насосов в месяц.</li> <li>Предприятие перевыполнило задание на 30 насосов и сделало это на 1 месяц раньше, то есть за \( M - 1 \) месяцев.</li> <li>Таким образом, новое уравнение: \[ (P + 70) \cdot (M - 1) = 6030 \] </li> <li>Подставим \( P \cdot M = 6000 \) в новое уравнение: \[ (P + 70) \cdot (M - 1) = 6030 \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ P \cdot M - P + 70M - 70 = 6030 \] </li> <li>Подставим \( P \cdot M = 6000 \): \[ 6000 - P + 70M - 70 = 6030 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 6000 - P + 70M - 70 = 6030 \] \[ -P + 70M = 100 \] </li> <li>Выразим \( P \) из первого уравнения: \[ P = \frac{6000}{M} \] </li> <li>Подставим \( P \) в упрощенное уравнение: \[ -\frac{6000}{M} + 70M = 100 \] </li> <li>Умножим все на \( M \) для избавления от дроби: \[ -6000 + 70M^2 = 100M \] </li> <li>Перенесем все члены на одну сторону: \[ 70M^2 - 100M - 6000 = 0 \] </li> <li>Разделим все на 10 для упрощения: \[ 7M^2 - 10M - 600 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-600) = 100 + 16800 = 16900 \] \[ \sqrt{D} = 130 \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ M = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 130}{14} \] \[ M_1 = \frac{140}{14} = 10 \] \[ M_2 = \frac{-120}{14} \approx -8.57 \quad (\text{не подходит, так как количество месяцев не может быть отрицательным}) \] </li> <li>Таким образом, \( M = 10 \).</li> <li>Проверим решение: \[ P = \frac{6000}{10} = 600 \] \[ (600 + 70) \cdot (10 - 1) = 670 \cdot 9 = 6030 \] </li> </ol> Ответ: 9 месяцев.