№17614

Экзамены с этой задачей: Задачи на совместную работу Задачи на совместную работу

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 часа быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если работая вместе, они изготовят за 1 час 30 деталей?

Ответ

9

Решение № 17612:

Для решения задачи выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим количество часов, за которое первый рабочий изготавливает 60 деталей, как \( t_1 \).</li> <li>Обозначим количество часов, за которое второй рабочий изготавливает 60 деталей, как \( t_2 \).</li> <li>Из условия задачи следует, что \( t_1 = t_2 - 3 \).</li> <li>Изготовление деталей за час: <ul> <li>Первый рабочий: \( \frac{60}{t_1} \) деталей в час.</li> <li>Второй рабочий: \( \frac{60}{t_2} \) деталей в час.</li> </ul> </li> <li>Из условия задачи следует, что вместе они изготавливают 30 деталей за 1 час: \[ \frac{60}{t_1} + \frac{60}{t_2} = 30 \] </li> <li>Подставим \( t_1 = t_2 - 3 \) в уравнение: \[ \frac{60}{t_2 - 3} + \frac{60}{t_2} = 30 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \( t_2(t_2 - 3) \) для устранения знаменателей: \[ 60t_2 + 60(t_2 - 3) = 30t_2(t_2 - 3) \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим: \[ 60t_2 + 60t_2 - 180 = 30t_2^2 - 90t_2 \] \[ 120t_2 - 180 = 30t_2^2 - 90t_2 \] \[ 30t_2^2 - 210t_2 + 180 = 0 \] \[ t_2^2 - 7t_2 + 6 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ t_2 = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \] \[ t_2 = 6 \quad \text{или} \quad t_2 = 1 \] </li> <li>Поскольку \( t_2 \) должно быть больше 3 (так как \( t_1 = t_2 - 3 \) и \( t_1 \) должно быть положительным), выбираем \( t_2 = 6 \).</li> <li>Теперь найдем сколько часов потребуется второму рабочему для изготовления 90 деталей: \[ \text{Производительность второго рабочего} = \frac{60}{6} = 10 \text{ деталей в час} \] \[ \text{Время для изготовления 90 деталей} = \frac{90}{10} = 9 \text{ часов} \] </li> </ol> Таким образом, второй рабочий изготовит 90 деталей за 9 часов. Ответ: 9