№17610

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, Задачи на совместную работу, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4 часа. Один первый экскаватор затратит на эту работу 6 часов больше, чем один второй. За какое время может вырыть котлован каждый экскаватор, работая отдельно?

Ответ

{6;12}

Решение № 17608:

Для решения задачи о двух экскаваторах, работающих одновременно и отдельно, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, как \( t_1 \), а время, за которое второй экскаватор может вырыть котлован, как \( t_2 \).</li> <li>По условию задачи, один первый экскаватор затратит на эту работу на 6 часов больше, чем один второй экскаватор. Это можно записать как: \[ t_1 = t_2 + 6 \] </li> <li>Также известно, что два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4 часа. Это означает, что их совместная производительность равна \( \frac{1}{4} \) котлована в час.</li> <li>Производительность первого экскаватора равна \( \frac{1}{t_1} \) котлована в час, а производительность второго экскаватора равна \( \frac{1}{t_2} \) котлована в час.</li> <li>Совместная производительность двух экскаваторов равна сумме их индивидуальных производительностей: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \] </li> <li>Подставим \( t_1 = t_2 + 6 \) в уравнение: \[ \frac{1}{t_2 + 6} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \] </li> <li>Найдем общее значение производительностей: \[ \frac{t_2 + (t_2 + 6)}{t_2 \cdot (t_2 + 6)} = \frac{1}{4} \] </li> <li>Упростим числитель: \[ \frac{2t_2 + 6}{t_2^2 + 6t_2} = \frac{1}{4} \] </li> <li>Перемножим обе части уравнения на \( 4(t_2^2 + 6t_2) \): \[ 4(2t_2 + 6) = t_2^2 + 6t_2 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 8t_2 + 24 = t_2^2 + 6t_2 \] </li> <li>Приведем уравнение к квадратному виду: \[ t_2^2 - 2t_2 - 24 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение, используя формулу \( t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), и \( c = -24 \): \[ t_2 = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} \] \[ t_2 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} \] \[ t_2 = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ t_2 = \frac{2 \pm 10}{2} \] \[ t_2 = \frac{12}{2} \quad \text{или} \quad t_2 = \frac{-8}{2} \] \[ t_2 = 6 \quad \text{или} \quad t_2 = -4 \] </li> <li>Так как время не может быть отрицательным, выбираем \( t_2 = 6 \) часов.</li> <li>Теперь найдем \( t_1 \): \[ t_1 = t_2 + 6 = 6 + 6 = 12 \] </li> </ol> Таким образом, первый экскаватор может вырыть котлован за 12 часов, а второй экскаватор — за 6 часов. Ответ: первый экскаватор — 12 часов, второй экскаватор — 6 часов.