№35823

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Соседи по дому — Андрей и Михаил — совершают воскресные пешие прогулки по живописному парку с оплачиваемой для пешеходов дорогой. Андрей входит в парк раньше Михаила и проходит 1 км. После этого в парк входит Михаил и идёт со скоростью на 3 км/ч больше, чем Андрей. Через некоторое время Михаил догоняет Андрея. В тот же момент они поворачивают обратно и со скоростью 3 км/ч одновременно выходят из парка. а) При какой первоначальной скорости Андрея время его прогулки будет наименьшим? б) Какую сумму придётся заплатить при этом Андрею, если аренда дороги стоит 300 рублей за один час?

Ответ

3; 400

Решение № 35810:

а) Пусть \(v\) км/ч — скорость ходьбы Андрея от момента входа до момента, когда его догоняет Михаил. Тогда скорость ходьбы Михаила от момента входа до момента, когда он догоняет Андрея, равна \((v+3)\) км/ч. Пусть теперь \(t\) — время (в часах), за которое Михаил догоняет Андрея. Согласно условию получаем уравнение \((v+3)\cdot t=1+v\cdot t\), \(t=\frac{1}{3}\). Отсюда следует, что расстояние от входа в парк до поворота равно \(\left (1+\frac{1}{3}v\right )\) км, Андрей проходит его за \(\left (\frac{1}{v}+\frac{1}{3}\right )\) часов. На обратном пути это расстояние Андрей и Михаил преодолевают за одно и то же время: \(\frac{1+\frac{1}{3}v}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}v\). Таким образом, время Андрея \(t(v)\) на прохождение всего пути вычисляется по формуле \(t(v)=\frac{1}{v}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}v=\frac{1}{v}+\frac{2}{3}+\frac{1}{9}v\). Находим точку минимума \(t(v)\) с помощью производной. \(t'(v)=-\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{9}\). \(t'(v)=0\) при \(v=\pm 3\). Так как \(v>0\), то исследуем поведение \(t(v)\) на промежутках \((0; 3)\) и \((3; +\infty)\). \(t'(1)=-\frac{8}{9}\), значит, на промежутке \((0; 3)\) функция \(t(v)\) убывает. \(t'(4)=-\frac{1}{16}+\frac{1}{9}>0\), значит, на промежутке \((3; +\infty)\) функция \(t(v)\) возрастает. Отсюда следует, что при \(v=3\) будет минимальное значение \(t(v)\). б) \(t(3)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{9}\cdot 3=\frac{4}{3}\), \(300\cdot \frac{4}{3}=400\) (рублей). Ответ: а) 3 км/ч; 6) 400 рублей.