№35821

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

В офисном строении 8 этажей, на каждом из которых, кроме первого, находится кабинет начальника отдела. Управляющая жилищная компания объявила, что в день профилактического ремонта лифта он сделает всего один подъём сразу всех начальников отделов на один, указанный ими этаж. После подъёма начальники будут вынуждены идти в свои кабинеты по лестнице. В качестве компенсации за причинённые неудобства за каждый необходимый подъём на очередной этаж по лестнице каждому начальнику бу-дет начислено 200 рублей. За каждый аналогичный спуск — 100 рублей. Этаж необходимо выбрать так, чтобы общая сумма компенсаций была минимальной. Укажите в рублях эту сумму.

Ответ

1600

Решение № 35808:

Обозначим через \(k\) номер этажа, который соответствует условию задачи и указан начальниками. Тогда \(2\leq k\leq 8\), ровно один начальник окажется на своём \(k\)-м этаже, \((k-2)\) начальника будут спускаться по лестнице на свои этажи (так как ниже, чем \(k\)-и этаж, располагается \((k-1)\) этажей, притом на первом этаже нет ни одного начальника), \((8-k)\) начальников будут подниматься по лестнице на свои этажи. Те, кто будет спускаться на свои этажи, совершат \(1+2+...+(k-2)\) спусков, а те, кто будет подниматься, совершат \(1+2+...6(8-k)\) подъёмов (если \(k=8\), то полагаем сумму \(1+26...+(8-k)\) равной 0; если же \(k=2\), то сумма \(1+2+...+k-2\) считается равной 0). Поэтому общая сумма компенсаций равна \(100\cdot (1+2+...+(k-2))+200(1+2+...+(8-k))=\frac{ 100\cdot (k-1)\cdot (k-2)+200\cdot (9-k)\cdot (8-k)}{2}=50\cdot (k-1)\cdot (k-2)+100\cdot (9-k)\cdot (8-k)=50k^{2}-150k+100+7200-1700k+100k^{2}=150k^{2}-1850k+7300\). Квадратичная функция \(y=150x^{2}-1850x+7300\) принимает наименьшее значение при \(x=\frac{1850}{300}=б\frac{1}{6}\). Эта квадратичная функция симметрична относительно прямой \(x=6\frac{1}{6}\). Так как ближайшим целым числом к числу \(6\frac{1}{6}\) является число 6, то \(150k^{2}-1850k+7300\) принимает наименьшее значение при \(k=6\). Отсюда получаем общую сумму компенсаций: \(150\cdot 6^{2}-1850\cdot 6+7300=1600\) (рублей). Ответ: 1600 рублей.